Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.
Esercizio 1
$ 2sen^2x -1 = 0 $
Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:
$ sen^2x = 1/2 $
$ senx = +-sqrt(2)/2 $
E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo
$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:
$ x=45^o +k90^o $
Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:
$ x=180^o - alpha+k360^o $
Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni
$ 2sen^2x -1 = 0 $
Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:
$ sen^2x = 1/2 $
$ senx = +-sqrt(2)/2 $
E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo
$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:
$ x=45^o +k90^o $
Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:
$ x=180^o - alpha+k360^o $
Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni
Risposte
$ -2cosx +1/2cosx + sqrt3/2sinx=0 ->-3/2cos x+sqrt(3)/2sin x=0->$
$sqrt(3)sin x=3cos x->tan x=sqrt(3)->x=60°+k180°$.
$sqrt(3)sin x=3cos x->tan x=sqrt(3)->x=60°+k180°$.
"chiaraotta":
$ -2cosx +1/2cosx + sqrt3/2sinx=0 ->-3/2cos x+sqrt(3)/2sin x=0->$
$sqrt(3)sin x=3cos x->tan x=sqrt(3)->x=60°+k180°$.
Quindi vuoi dire che si può fare in questo modo?
$ -2cosx +1/2cosx + sqrt3/2sinx=0 $
$ (-4cosx + cosx + sqrt(3)senx)/2=0 $
$ (-4cosx + cosx + sqrt(3)senx)=0 $
$ -3cosx + sqrt(3)senx=0 $
$ sqrt(3)senx=3cosx $
e poi .........................................
Vuoi dire che si può fare il minimo comune multiplo con i valori noti
E con la seguente penso valga lo stesso?!?!
$ senx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2senx =sqrt(3) $
$ (2senx +sqrt(3) cosx - senx -2sqrt(3))/2=0 $
$ senx +sqrt(3) cosx -2sqrt(3)=0 $
E poi come posso continuare
Essendoci un termine noto, non penso che si possa dividere per il coseno e sfruttare la tangente, vero
$ senx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2senx =sqrt(3) $
$ (2senx +sqrt(3) cosx - senx -2sqrt(3))/2=0 $
$ senx +sqrt(3) cosx -2sqrt(3)=0 $
E poi come posso continuare
Essendoci un termine noto, non penso che si possa dividere per il coseno e sfruttare la tangente, vero
$ sinx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2sinx =sqrt(3) ->1/2sinx +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)->$
$sinx cos (pi/3)+cosx sin(pi/3)=sqrt(3)-> sin( x+pi/3)=sqrt(3)->$
$text(impossibile, perché ) sqrt(3)>1$.
$sinx cos (pi/3)+cosx sin(pi/3)=sqrt(3)-> sin( x+pi/3)=sqrt(3)->$
$text(impossibile, perché ) sqrt(3)>1$.
"Bad90":Vero, come non si poteva fare qua:
Essendoci un termine noto, non penso che si possa dividere per il coseno e sfruttare la tangente, vero?
"Bad90":
Allora mi ritroverò con la seguente:
$ senx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2senx =sqrt(3) $
Non so se è possibile ciò che sto facendo, ma provo comunque
$ tgx +sqrt(3)/2 - 1/2tgx =sqrt(3) $
per lo stesso identico motivo.
Inoltre qua:
"Bad90":
$ tgx - 1/2tgx =sqrt(3)-sqrt(3)/2 $
$ tgx (1- 1/2) =sqrt(3)/2 $
$ tgx (1/2) =sqrt(3)/2 $
$ tg(x/2) =sqrt(3)/2 $
$ tg(x) =sqrt(3)/2 *2$
$ tgx =sqrt(3)$
sbagli pesantemente: $tg x - 1/2tg x=(1-1/2)tg x=1/2 tg x$ che non è $tg(x/2)$ , così come $tg(x/2)=(sqrt(3))/2$ non implica $tg x=sqrt(3)$
Queste sono equazioni lineari in seno e coseno, esistono metodi di risoluzione standard (metodo dell'angolo aggiunto che è quello che ti ha fatto vedere chiaraotta, metodo delle formule parametriche, metodo grafico) che credo dovresti rivedere per bene.
"chiaraotta":
$ sinx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2sinx =sqrt(3) ->1/2sinx +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)->$
$sinx cos (pi/3)+cosx sin(pi/3)=sqrt(3)-> sin( x+pi/3)=sqrt(3)->$
$text(impossibile, perché ) sqrt(3)>1$.
Da quanto ha detto Pallit questo è il metodo dell'angolo aggiunto! Penso sia lo stesso metodo di quello che non stavo capendo all'inizio, quando ho postato l'immagine....
Li mi diceva che moltiplicava per $ 1/2 $ entrambi i membri, mentre quì mi sembra che si sia fatto un minimo comune multiplo del primo membro, senza operare sul secondo membro! Questo è quello che ho dedotto io, ma non sono sicuro che sia corretto quanto sto dicendo!
In sostanza vorrei sapere come si utilizza questo metodo
Come faccio a capire qual'è l'angolo per la quale moltiplicare l'equazione
Vi ringrazio!
Il mio testo non parla del metodo dell'angolo aggiunto
In rete non sto riuscendo a trovare nulla!
Qualcuno ha qualche appunto da postarmi? Voglio imparare questo metodo
Grazie!
Voglio capire come a cosa ha pensato per fare questi passaggi:
$ sinx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2sinx =sqrt(3) ->1/2sinx +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)->$
$sinx cos (pi/3)+cosx sin(pi/3)=sqrt(3)-> sin( x+pi/3)=sqrt(3)->$
Ma dal primo passaggio al secondo ha fatto questo?
$ sinx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2sinx =sqrt(3) ->(sinx - 1/2sinx) +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)-> $
$ ((2sinx - sinx)/2) +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)->1/2sinx +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3) $
Ha fatto in questo modo
In rete non sto riuscendo a trovare nulla!
Qualcuno ha qualche appunto da postarmi? Voglio imparare questo metodo
Grazie!
Voglio capire come a cosa ha pensato per fare questi passaggi:
$ sinx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2sinx =sqrt(3) ->1/2sinx +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)->$
$sinx cos (pi/3)+cosx sin(pi/3)=sqrt(3)-> sin( x+pi/3)=sqrt(3)->$
Ma dal primo passaggio al secondo ha fatto questo?
$ sinx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2sinx =sqrt(3) ->(sinx - 1/2sinx) +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)-> $
$ ((2sinx - sinx)/2) +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)->1/2sinx +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3) $
Ha fatto in questo modo
Su Wikipedia lo chiama metodo dell'angolo ausiliario, ed illustra anche altri metodi, mi pare decentemente; se trovo dei link ben fatti te li posto, ma per quello che mi sembra di capire dalle tue difficoltà, credo che avresti bisogno di un buon libro di quarta liceo scientifico...
Ma se ha fatto questi passaggi, penso di aver compreso! Vorrei avere una conferma se è così?!?!?
$ sinx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2sinx =sqrt(3) ->(sinx - 1/2sinx) +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)-> $
$ ((2sinx - sinx)/2) +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)->1/2sinx +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3) $
Ha fatto in questo modo
Comunque la traccia di partenza è la seguente:
$ cos(90^o - x) +sen(120^o -x) = sqrt(3) $
Non capisco perchè il mio testo da come soluzione questo $ x=60^o +k360^o $ mentre mi sembra che è impossibile
$ sinx +sqrt(3)/2 cosx - 1/2sinx =sqrt(3) ->(sinx - 1/2sinx) +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)-> $
$ ((2sinx - sinx)/2) +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3)->1/2sinx +sqrt(3)/2 cosx =sqrt(3) $
Ha fatto in questo modo
Comunque la traccia di partenza è la seguente:
$ cos(90^o - x) +sen(120^o -x) = sqrt(3) $
Non capisco perchè il mio testo da come soluzione questo $ x=60^o +k360^o $ mentre mi sembra che è impossibile
Inizio a semplificare l'equazione sommando i termini simili....
"chiaraotta":
Inizio a semplificare l'equazione sommando i termini simili....
E allora è come ho replicato io
"Bad90":
...Comunque la traccia di partenza è la seguente:
$ cos(90^o - x) +sen(120^o -x) = sqrt(3) $
Non capisco perchè il mio testo da come soluzione questo $ x=60^o +k360^o $ mentre mi sembra che è impossibile
Se l'equazione è
$ cos(90^o - x) +sin(120^o -x) = sqrt(3) $,
allora risolverei così ($cos(90^o - x)=sinx$):
$sin x+sin120°cosx-cos120°sinx=sqrt(3)->$
$sin x+sqrt(3)/2cosx+1/2sinx=sqrt(3)->$
$3/2sin x+sqrt(3)/2cosx=sqrt(3)->$
$sqrt(3)/2sinx+1/2cosx=1->$
$sinxcos30°+cosxsin30°=1->sin(x+30°)=1->$
$x+30°=90°+k360°->x=60°+k360°$.
Esercizio 21
Allora, grazie ai consigli di chiarotta penso di aver compreso finalmente questo metodo dell'angolo aggiunto....
Ecco una nuova traccia:
$ sen (150^o - x) -cos(240^o-x)=2 $
$ [sen150^ocosx - cos150^o senx]-[cos240^ocosx + sen240^osenx] =2 $
$ [1/2cosx + sqrt3/2senx]-[-1/2cosx -sqrt3/2senx] =2 $
$ 1/2cosx + sqrt3/2senx+1/2cosx +sqrt3/2senx =2 $
$ (1/2cosx +1/2cosx) +( sqrt3/2senx+sqrt3/2senx) =2 $
$ ((cosx +cosx)/2) +( (sqrt3senx+sqrt 2senx)/2) =2 $
$ 2/2cosx +(2sqrt3)/2senx =2 $
$ cosx +sqrt3senx =2 $
Adesso utilizzo le parametriche e arrivo alla soluzione
$ x=60^o +k360^o $
Ho fatto tutto bene
Allora, grazie ai consigli di chiarotta penso di aver compreso finalmente questo metodo dell'angolo aggiunto....
Ecco una nuova traccia:
$ sen (150^o - x) -cos(240^o-x)=2 $
$ [sen150^ocosx - cos150^o senx]-[cos240^ocosx + sen240^osenx] =2 $
$ [1/2cosx + sqrt3/2senx]-[-1/2cosx -sqrt3/2senx] =2 $
$ 1/2cosx + sqrt3/2senx+1/2cosx +sqrt3/2senx =2 $
$ (1/2cosx +1/2cosx) +( sqrt3/2senx+sqrt3/2senx) =2 $
$ ((cosx +cosx)/2) +( (sqrt3senx+sqrt 2senx)/2) =2 $
$ 2/2cosx +(2sqrt3)/2senx =2 $
$ cosx +sqrt3senx =2 $
Adesso utilizzo le parametriche e arrivo alla soluzione
$ x=60^o +k360^o $
Ho fatto tutto bene
Forse il tuo libro non si spiega chiaramente; provo a darti un po' di teoria. Pensa che $sinx$ e $cosx$ siano due diverse incognite ed osserva che tipo di equazione ottieni. I casi particolari che riguardano i tuoi ultimi esercizi sono:
1) Quell'equazione è di primo grado, ed allora diciamo che è lineare; in altre parole, un'equazione (goniometrica) lineare ha una formula del tipo $asinx+bcosx+c=0$. I metodi per risolverla sono molti: puoi usare le parametriche, o il metodo grafico, o quello dell'angolo aggiunto (detto anche angolo ausiliario, e qualcuno non dà gli nome: è quello dell'immagine che hai postato)
2) Tutti i termini di quell'equazione hanno lo stesso grado, ed allora diciamo che è omogenea; ad esempio $asinx+bcosx=0$ è omogenea di primo grado mentre $2sin^2x+sinxcosx-3cos^2x=0$ è omogenea di secondo grado. Mi pare di capire che il tuo libro non le abbia ancora trattate; alcune delle tue equazioni erano omogenee di primo grado ma erano anche lineari e probabilmente il libro intendeva che tu le risolvessi come lineari. Il dividere per $cosx$ (suggeritoti da chiaraotta) è il metodo di soluzione delle omogenee e di solito viene preferito perché più veloce; richiede però qualche cautela, che vedrai presto.
Ho dato solo una rapida occhiata al 21, ma mi sembra giusto; controlla il risultato sul libro.
1) Quell'equazione è di primo grado, ed allora diciamo che è lineare; in altre parole, un'equazione (goniometrica) lineare ha una formula del tipo $asinx+bcosx+c=0$. I metodi per risolverla sono molti: puoi usare le parametriche, o il metodo grafico, o quello dell'angolo aggiunto (detto anche angolo ausiliario, e qualcuno non dà gli nome: è quello dell'immagine che hai postato)
2) Tutti i termini di quell'equazione hanno lo stesso grado, ed allora diciamo che è omogenea; ad esempio $asinx+bcosx=0$ è omogenea di primo grado mentre $2sin^2x+sinxcosx-3cos^2x=0$ è omogenea di secondo grado. Mi pare di capire che il tuo libro non le abbia ancora trattate; alcune delle tue equazioni erano omogenee di primo grado ma erano anche lineari e probabilmente il libro intendeva che tu le risolvessi come lineari. Il dividere per $cosx$ (suggeritoti da chiaraotta) è il metodo di soluzione delle omogenee e di solito viene preferito perché più veloce; richiede però qualche cautela, che vedrai presto.
Ho dato solo una rapida occhiata al 21, ma mi sembra giusto; controlla il risultato sul libro.
"giammaria":
Ho dato solo una rapida occhiata al 21, ma mi sembra giusto; controlla il risultato sul libro.
Grazie per avermi fatto chiarezza! Si, ho verificato il risultato del testo ed è tutto ok!
Finalmente ho compreso gli step risolutivi di questo tipo di equazioni!
Ti ringrazio!
"Bad90":
Esercizio 21
$ sen (150^o - x) -cos(240^o-x)=2 $
...
$cosx +sqrt3senx =2$
...
Oppure, da
$cosx +sqrt3senx =2$,
dividendo per $2$, si ottiene nuovamente
$sqrt(3)/2sinx+1/2cosx=1->$
$sinxcos30°+cosxsin30°=1->sin(x+30°)=1->$
$x+30°=90°+k360°->x=60°+k360°$.
In un esercizio mi sono trovato con questi radicali:
$ sqrt6 - sqrt3 - sqrt2 - 2 $
Possono essere trattati in questo modo?
$ sqrt(6-3-2) - 2 = sqrt1 -2 = 1-2 =-1 $
$ sqrt6 - sqrt3 - sqrt2 - 2 $
Possono essere trattati in questo modo?
$ sqrt(6-3-2) - 2 = sqrt1 -2 = 1-2 =-1 $
Esercizio 22
Ma nel seguente esercizio. come posso iniziare? Questa è la traccia:
$ senx - cosx = 1/sqrt2 $
Quel radicale a secondo membro, posso trattarlo in questo modo?
$ sqrt2senx - sqrt2cosx = 1 $
Oppure mi conviene fare in questo modo?
$ senx - cosx = 1/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 =>senx - cosx = sqrt2/2 $
Ma nel seguente esercizio. come posso iniziare? Questa è la traccia:
$ senx - cosx = 1/sqrt2 $
Quel radicale a secondo membro, posso trattarlo in questo modo?
$ sqrt2senx - sqrt2cosx = 1 $
Oppure mi conviene fare in questo modo?
$ senx - cosx = 1/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 =>senx - cosx = sqrt2/2 $
"Bad90":
In un esercizio mi sono trovato con questi radicali:
$ sqrt6 - sqrt3 - sqrt2 - 2 $
Possono essere trattati in questo modo?
$ sqrt(6-3-2) - 2 = sqrt1 -2 = 1-2 =-1 $
Bad, hai studiato i radicali? Dà un'occhiata alla teoria e potrai rispondere da solo alla tua domanda...
In particolare, guarda come si esegue la somma/differenza.
"JoJo_90":
Bad, hai studiato i radicali? Dà un'occhiata alla teoria e potrai rispondere da solo alla tua domanda...
In particolare, guarda come si esegue la somma/differenza.
Si, ho visto e non si può fare, solo che sto avendo i dubbi perchè un esercizio non sto riuscendo a risolverlo
Mi sto imbattendo nell'esercizio 22
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