Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

[Bad90]

Esercizio 1

$ 2sen^2x -1 = 0 $

Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:

$ sen^2x = 1/2 $

$ senx = +-sqrt(2)/2 $

E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo

$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:

$ x=45^o +k90^o $

Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:

$ x=180^o - alpha+k360^o $



Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni

[peppe.carbone.90]

Esatto! Non si può fare

[Bad90]

Accipicchia, questo esercizio 22 mi sembra banale ma mi sto impallando:

$ senx - cosx = 1/sqrt2 $

Ho provato a togliere quel radicale a secondo membro, ma quando utilizzo le parametriche mi incasino con i radicali!

Adesso provo a risolverla quì:

$ senx - cosx = 1/sqrt2 $

$ senx - cosx = 1/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 $

$ senx - cosx = sqrt2/2 $

$ (2t)/(1+t^2) - (1-t^2)/(1+t^2)= sqrt2/2 $

$ (2t)/(1+t^2) - (1-t^2)/(1+t^2)-sqrt2/2 = 0 $

$ (4t - 2(1-t^2)-sqrt2*(1+t^2))/2 = 0 $

$ 4t - 2+2t^2-sqrt2-sqrt2t^2 = 0 $

$ 2t^2 -sqrt2t^2 +4t - 2-sqrt2 = 0 $

$ t^2 (2-sqrt2) +4t - (2+sqrt2) = 0 $

Se adesso continuo con i soliti passaggi, finisco con l'impallarmi! Dite che ho sbagliato qualcosa

[giammaria2]

Non hai sbagliato. Una delle soluzioni è l'angolo di 75°, quindi l'uso delle parametriche ti darà la tangente della sua metà ed è improbabile che figuri nella tua tabella. Proprio per evitare questo rischio, in genere si preferisce non usare le parametriche ma uno degli altri metodi; in questo caso è consigliabile quello dell'angolo aggiunto. Hai capito come funziona?

[Bad90]

"giammaria":in questo caso è consigliabile quello dell'angolo aggiunto. Hai capito come funziona?

Negli esercizi precedenti sono riuscito a comprenderlo perfettamente, ma in questo come posso impostare l'esercizio usando l'angolo aggiunto
Posso moltiplicare tutto per $ 1/2 $ oppure posso scegliere $ sqrt2 / 2 $
Sono riuscito

Ho preferito moltiplicare per $ sqrt2 / 2 $
Ma se avessi voluto moltiplicare per $ 1/2 $ dici che sarebbe stato lo stesso

[Bad90]

Esercizio 23

Come conviene impostare questa equazione?

$ sqrt3/2(cos^2x/2 -(1-cosx)/2)+1/2senx =1 $




Ho pensato di iniziare in questo modo:

$ sqrt3/2(cos^2x/2 - sen^2x/2)+1/2senx =1 $

Non sto riuscendo a risolverla



Adesso provo in questo modo:

$ sqrt3/2((1+cosx)/2 -(1-cosx)/2)+1/2senx =1 $

Alla fine c'e l'ho fatta

[Bad90]

Esercizio 24

Ho dei dubbi in merito ad alcuni passaggi della seguente:

$ sqrt3 sen 4x + cos4x =2 $

se $ 4x =y $ , allora

$ sqrt3 sen y + cosy =2 $

Utilizzando le parametriche, arrivo al seguente:

$ t = sqrt3 /2 $

Adesso so che deve essere così:

$ tg(x/2) = sqrt3 /2 $

Ma se ho impostato $ 4x =y $, adesso come faccio a risolverlo

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 24
$ sqrt3 sen 4x + cos4x =2 $

$ sqrt3 sin 4x + cos4x =2 -> sqrt(3)/2 sin 4x + 1/2cos4x =1->$
$ sin 4x cos (pi/6)+ cos4x sin(pi/6) =1->sin(4x+pi/6)=1->$
$4x+pi/6=pi/2+2kpi->4x=pi/3+2kpi->x=pi/12+kpi/2$.

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]Esercizio 24
$ sqrt3 sen 4x + cos4x =2 $

$ sqrt3 sin 4x + cos4x =2 -> sqrt(3)/2 sin 4x + 1/2cos4x =1->$
$ sin 4x cos (pi/6)+ cos4x sin(pi/6) =1->sin(4x+pi/6)=1->$
$4x+pi/6=pi/2+2kpi->4x=pi/3+2kpi->x=pi/12+kpi/2$.[/quote]

Hai ragione! Il miglior metodo e sempre questo

[giammaria2]

Chiaraotta ti ha mostrato come fare col metodo dell'angolo aggiunto, che è il migliore; volendo però continuare con le parametriche, devi ricordare che nel tuo caso si aveva $t=tg fracy 2$. Arrivi quindi a $tg fracy2=sqrt3/2$, da cui ricavi $y$; poi calcoli $x=y/4$.

[Bad90]

"giammaria":Chiaraotta ti ha mostrato come fare col metodo dell'angolo aggiunto, che è il migliore; volendo però continuare con le parametriche, devi ricordare che nel tuo caso si aveva $t=tg fracy 2$. Arrivi quindi a $tg fracy2=sqrt3/2$, da cui ricavi $y$; poi calcoli $x=y/4$.

Perfetto, adesso provo subito!

$t=tg fracy 2$

$ tg(y/2)=sqrt3/2 $

Come devo continuare Come faccio a ricavare $ y $

$ (y/2)=sqrt3/2 => y=sqrt3 $

Dici così?

[Bad90]

Esercizio 25

$ cos (3/2) x - sen(3/2) x =1 $


Questo come posso risolverlo
Ho provato con il metodo dell'angolo aggiunto ma non va

[chiaraotta1]

$ cos (3/2 x) - sin(3/2 x) =1 ->sqrt(2)cos(3/2x+pi/4)=1->$
$cos(3/2x+pi/4)=sqrt(2)/2->3/2x+pi/4=+-pi/4+2kpi$
1) $3/2x+pi/4=+pi/4+2kpi->3/2x=2kpi->x=4/3kpi$,
2) $3/2x+pi/4=-pi/4+2kpi->3/2x=-pi/2+2kpi->x=-pi/3+4/3kpi$.

[Bad90]

"chiaraotta":

$ cos (3/2 x) - sin(3/2 x) =1 ->sqrt(2)cos(3/2x+pi/4)=1->$

$cos(3/2x+pi/4)=sqrt(2)/2->3/2x+pi/4=+-pi/4+2kpi$

1) $3/2x+pi/4=+pi/4+2kpi->3/2x=2kpi->x=4/3kpi$,

2) $3/2x+pi/4=-pi/4+2kpi->3/2x=-pi/2+2kpi->x=-pi/3+4/3kpi$.

Adesso rivedo tutto! Ti ringrazio! Solo che non sto capendo il primo passaggio, cioe' questo:

$ sqrt(2)cos(3/2x+pi/4)=1 $

Come hai fatto ad arrivare a questo?

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 24

Ho dei dubbi in merito ad alcuni passaggi della seguente:

$ sqrt3 sen 4x + cos4x =2 $

Con le parametriche ($tan((4x)/2)=tan(2x)$):
$ sqrt(3) sin(4x) + cos(4x) =2 ->sqrt(3)(2tan(2x))/(1+tan^2(2x))+(1-tan^2(2x))/(1+tan^2(2x))=2->$
$2sqrt(3)tan(2x)+1-tan^2(2x)=2[1+tan^2(2x)]->$
$3tan^2(2x)-2sqrt(3)tan(2x)+1=0->[sqrt(3)tan(2x)-1]^2=0->$
$tan(2x)=1/sqrt(3)->2x=pi/6+kpi->x=pi/12+kpi/2$.

[chiaraotta1]

"Bad90":... non sto capendo il primo passaggio, cioe' questo:

$ sqrt(2)cos(3/2x+pi/4)=1 $

Come hai fatto ad arrivare a questo?

$ cos (3/2 x) - sin(3/2 x) =sqrt(2)[sqrt(2)/2cos(3/2x)-sqrt(2)/2sin(3/2x)]=$
$=sqrt(2)[cos(3/2x)cos(pi/4)-sin(3/2x)sin(pi/4)]=sqrt(2)cos(3/2x+pi/4)$.

[Bad90]

Ok, ti ringrazio

[Bad90]

Esercizio 26

$ 2sqrt3 senx(sqrt3/2 cosx - 1/2 senx) +sqrt3/2 =sqrt3 $

Ho iniziato a fare in questo modo:

$ 2sqrt3 senx(sen60^o cosx - cos60^o senx) +sqrt3/2 =sqrt3 $

$ 2sqrt3 senx[sen(60^o - x)] +sqrt3/2 =sqrt3 $

Ma poi se continuo, non riesco ad arrivare al risultato corretto!

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 26

$ 2sqrt3 senx(sqrt3/2 cosx - 1/2 senx) +sqrt3/2 =sqrt3 $
...

$ 2sqrt(3) sinx(sqrt(3)/2 cosx - 1/2 sinx) +sqrt(3)/2 =sqrt(3) $
$ 2 sinx(sqrt(3)/2 cosx - 1/2 sinx) +1/2 =1 $
$ 2 sinx(sqrt(3) cosx - sinx) -1 =0 $
$ 2sqrt(3) sinxcosx - 2sin^2x -sin^2x-cos^2x =0 $
$ 2sqrt(3) sinxcosx - 3sin^2x-cos^2x =0 $
$ 3sin^2x-2sqrt(3) sinxcosx +cos^2x =0 $
$ [sqrt(3)sinx-cosx]^2 =0$
$sqrt(3)sinx=cosx$
$tan(x)=1/sqrt(3)->x=pi/6+kpi$.

[Bad90]

Sei arrivata ad un quadrato, mentre io sono arrivato ad una equazione quadratica risolvendola con la formula ...............
Hai diviso tutto per $ sqrt3 $ ed a questo non ci stavo pensando, ma la prossima volta so che posso farlo! Ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 27

Sto avendo problemi con la seguente:

$ 2cos^2 x + 2senx cosx = (sqrt(3)+3)/(2) $

Ho provato a risolverla portando il due della frazione del secondo membro al primo membro moltiplicando tutto il primo membro per due, poi il secondo membro l'ho moltiplicato per la relazione fondamentale!
Alla fine mi sono trovato con un po di radicali, ma non ho trovato la soluzione del testo!
Alternativamente al mio modo, cioe' quello di dividere tutto per il coseno quadro, come posso fare?