Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.
Esercizio 1
$ 2sen^2x -1 = 0 $
Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:
$ sen^2x = 1/2 $
$ senx = +-sqrt(2)/2 $
E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo
$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:
$ x=45^o +k90^o $
Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:
$ x=180^o - alpha+k360^o $
Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni
$ 2sen^2x -1 = 0 $
Come si risolvono
Ho pensato di fare in questo modo:
$ sen^2x = 1/2 $
$ senx = +-sqrt(2)/2 $
E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo
$ C.E. : AA a in R | -1
Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:
$ x=45^o +k90^o $
Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:
$ x=180^o - alpha+k360^o $
Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni
Risposte
Qui credo convenga sfruttare le formule di duplicazione: $cos(2x)=2cos^2x -1$ e $sin(2x)= 2sinx cosx$.
Si ha $cos(2x)+1+sin(2x)=(sqrt3+3)/2$, cioè \[
\cos(2x)+\sin(2x)= \frac{\sqrt{3} +1}{2}
\]
Si ha $cos(2x)+1+sin(2x)=(sqrt3+3)/2$, cioè \[
\cos(2x)+\sin(2x)= \frac{\sqrt{3} +1}{2}
\]
Ma comunque mi impallo!
Moltiplica ambo i membri per $sqrt2/2$: a sinistra ottieni $cos(2x-pi/4)$, mentre a destra ottieni un $(sqrt6 + sqrt2)/4$,
che guarda caso è $cos(pi/12)$ (guarda qui).
che guarda caso è $cos(pi/12)$ (guarda qui).
"Gi8":
Moltiplica ambo i membri per $sqrt2/2$: a sinistra ottieni $cos(2x-pi/4)$, mentre a destra ottieni un $(sqrt6 + sqrt2)/4$,
che guarda caso è $cos(pi/12)$ (guarda qui).
Chiarissimo!
Mi chiedo perchè il mio testo ha pochi esempi di questo tipo di esercizi
Esercizio 28
$ cosx - senx = cos2x $
In questo caso, potrei fare un po come nell'esercizio precedente, ecco quì:
$ cosx - senx = 2cos^2x - 1 $
$ cosx - senx = cos2x $
In questo caso, potrei fare un po come nell'esercizio precedente, ecco quì:
$ cosx - senx = 2cos^2x - 1 $
$ cosx - sinx = cos2x ->cosx-sinx=cos^2x-sin^2x->$
$cosx-sinx=(cosx-sinx)(cosx+sinx)->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)=0$.
Quindi
1) $cos x-sinx=0->tanx=1->x=pi/4+kpi$;
2) $cosx+sinx-1=0->sqrt(2)sin(x+pi/4)=1->$
$sin(x+pi/4)=sqrt(2)/2$
da cui
a) $x+pi/4=pi/4+2kpi->x=2kpi$,
b) $x+pi/4=3/4pi+2kpi->x=pi/2+2kpi$.
$cosx-sinx=(cosx-sinx)(cosx+sinx)->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)=0$.
Quindi
1) $cos x-sinx=0->tanx=1->x=pi/4+kpi$;
2) $cosx+sinx-1=0->sqrt(2)sin(x+pi/4)=1->$
$sin(x+pi/4)=sqrt(2)/2$
da cui
a) $x+pi/4=pi/4+2kpi->x=2kpi$,
b) $x+pi/4=3/4pi+2kpi->x=pi/2+2kpi$.
"chiaraotta":
$cosx-sinx=(cosx-sinx)(cosx+sinx)->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)=0$.
Ok , per il quadrato, ma come hai fatto per ottenere quel 1 nella seconda parentesi
$ (cosx+sinx-1) $ 
Raccoglimento a fattor comune di $(cosx-sinx)$....
$cosx-sinx=(cosx-sinx)(cosx+sinx)->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx)-(cosx-sinx)=0->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)=0$.
$cosx-sinx=(cosx-sinx)(cosx+sinx)->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx)-(cosx-sinx)=0->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)=0$.
"chiaraotta":
Raccoglimento a fattor comune di $(cosx-sinx)$....
$cosx-sinx=(cosx-sinx)(cosx+sinx)->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx)-(cosx-sinx)=0->$
$(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)=0$.
Che sbadato, adesso non mi rendo conto nemmeno di questi passaggi!
Ti ringrazio!
Esercizio 29
Sto avendo problemi con il seguente esercizio:
$ sqrt(3) senx sen2x + sen^2 2x =0 $
Ho fatto varie prove ma nessuna mi ha portato alla soluzione!
Sto avendo problemi con il seguente esercizio:
$ sqrt(3) senx sen2x + sen^2 2x =0 $
Ho fatto varie prove ma nessuna mi ha portato alla soluzione!
$sin2x(sqrt3sinx+sin2x)=0$
$sin2x=0 vv sqrt3sinx+2sinxcosx=0$
$2x=kpi vvsinx(sqrt3+2cosx)=0$
$x=kpi/2 vv sinx=0 vvcosx=-sqrt3/2$
$x=kpi/2 vv x=kpi vv x=pi+-pi/6+2kpi$
ed ora cancello la seconda soluzione perché già compresa nella prima.
$sin2x=0 vv sqrt3sinx+2sinxcosx=0$
$2x=kpi vvsinx(sqrt3+2cosx)=0$
$x=kpi/2 vv sinx=0 vvcosx=-sqrt3/2$
$x=kpi/2 vv x=kpi vv x=pi+-pi/6+2kpi$
ed ora cancello la seconda soluzione perché già compresa nella prima.
Pensavo che non si potesse fare in quel modo, io stavo utilizzando le formule di addizione.............., ma nom arrivavo alla soluzione!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Esercizio 30
Ho risolto il seguente esercizio:
$ ctgx - tgx = 4cos2x $
Dopo tutti i passaggi, sono arrivato al seguente passaggio e non sono sicuro se è fattibile, ecco quì:
$ (cos^2 - sen^2)/(senxcosx) = 4cos^2x -4sen^2x $
$ 1/(senxcosx) = (4(cos^2x -sen^2x))/((cos^2 - sen^2)) $
$ 1/(senxcosx) = 4 $
$ 4(senxcosx)=1 $
$ 4senxcosx= cos^2x +sen^2x $
$ tg^2x-4tgx+1=0 $
Se tutti i passaggi sono leciti, alla fine arrivo alle due giuste soluzioni:
$ x=75^o + k180^ovv x=15^o + k180^o $
Adesso non sto capededo il perchè il testo mi dice che c'è anche questa $ x=45^o + k90^o $ !
Cosa sto trascurando
Ho risolto il seguente esercizio:
$ ctgx - tgx = 4cos2x $
Dopo tutti i passaggi, sono arrivato al seguente passaggio e non sono sicuro se è fattibile, ecco quì:
$ (cos^2 - sen^2)/(senxcosx) = 4cos^2x -4sen^2x $
$ 1/(senxcosx) = (4(cos^2x -sen^2x))/((cos^2 - sen^2)) $
$ 1/(senxcosx) = 4 $
$ 4(senxcosx)=1 $
$ 4senxcosx= cos^2x +sen^2x $
$ tg^2x-4tgx+1=0 $
Se tutti i passaggi sono leciti, alla fine arrivo alle due giuste soluzioni:
$ x=75^o + k180^ovv x=15^o + k180^o $
Adesso non sto capededo il perchè il testo mi dice che c'è anche questa $ x=45^o + k90^o $ !
Cosa sto trascurando
Ciao. Qua:
e poi usi la legge di annullamento del prodotto, trovi anche le altre soluzioni che prima ti eri perso.
"Bad90":dividendo dài per sottinteso che sia $cos^2 x - sen^2 x!=0$, e così ti perdi delle soluzioni. Se invece di dividere raccogli tutto a primo membro: $ (cos^2x - sen^2x)/(senxcosx) - 4(cos^2x -sen^2x)=0$__$Rightarrow$__$(cos^2x -sen^2x)(1/(sen x cos x)-4)=0$ ,
$ (cos^2 - sen^2)/(senxcosx) = 4cos^2x -4sen^2x $
$ 1/(senxcosx) = (4(cos^2x -sen^2x))/((cos^2 - sen^2)) $
e poi usi la legge di annullamento del prodotto, trovi anche le altre soluzioni che prima ti eri perso.
"Palliit":
e poi usi la legge di annullamento del prodotto, trovi anche le altre soluzioni che prima ti eri perso.
Accipicchia, allora non si tratta di aver sbagliato i passaggi, ma di passaggi che non conviene fare per evitare di perdere delle soluzioni!
Scusate, ma adesso mi chiedo se per non perdermi delle soluzioni, vi è qualche regola in particolare
Esercizio 31
Ho risolto la seguente equazione e sono arrivato alla conclusione che è realmente impossibile, solo che ragionandoci un pò su, mi sono chiesto se è possibile stimare la soluzione che "impossibile", mediante altri elementi! Mi spiego......
Questa è la traccia, scrivo solo il punto che secondo me potrebbe determinare l'impossibilità dell'equazione....
$ (2cosx)/(1+cos 2x) = (1-cos2x)/(sen2x) $
Arrivo al punto che segue e secondo me potrebbe bastare per dire che è impossibile in quando non è una identità:
$ 1/cosx = (senx)/cosx $
Non può essere perchè una cotangente non può essere nello stesso tempo una tangete, vero
Se ovviamente continuo, ciò che mi fa dire che è impossibile, è questo:
$ cosx-senxcosx = 0 $
$ cosx(1-senx) = 0 $
$ cosx = 0 $
$ 1-senx=0 $
Il che è impossibile perchè il coseno è zero e quindi è impossibile!
Giusto
Ho risolto la seguente equazione e sono arrivato alla conclusione che è realmente impossibile, solo che ragionandoci un pò su, mi sono chiesto se è possibile stimare la soluzione che "impossibile", mediante altri elementi! Mi spiego......
Questa è la traccia, scrivo solo il punto che secondo me potrebbe determinare l'impossibilità dell'equazione....
$ (2cosx)/(1+cos 2x) = (1-cos2x)/(sen2x) $
Arrivo al punto che segue e secondo me potrebbe bastare per dire che è impossibile in quando non è una identità:
$ 1/cosx = (senx)/cosx $
Non può essere perchè una cotangente non può essere nello stesso tempo una tangete, vero
Se ovviamente continuo, ciò che mi fa dire che è impossibile, è questo:
$ cosx-senxcosx = 0 $
$ cosx(1-senx) = 0 $
$ cosx = 0 $
$ 1-senx=0 $
Il che è impossibile perchè il coseno è zero e quindi è impossibile!
Giusto
"Bad90":
Non può essere perchè una cotangente non può essere nello stesso tempo una tangete, vero
Falso perché l'equazione $tgx =ctgx$ è perfettamente risolubile; inoltre nella tua formula non vedo alcuna cotangente ma, al massimo, una secante.
Nella continuazione, il minimo comun denominatore è $cosx$, quindi dando denominatore comune ottieni solo $1=sinx$.
Affermi poi che "Il che è impossibile perchè il coseno è zero e quindi è impossibile!" ed è vero ma il C.E. avrebbe dovuto essere trovato guardando l'equazione iniziale, così:
${(cos2x!=-1->2x!=pi+2kpi->x!=pi/2+kpi),(sen2x!=0->2x!=kpi->x!=kpi/2):}->x!=kpi/2$
In un post precedente dici
adesso mi chiedo se per non perdermi delle soluzioni, vi è qualche regola in particolareC'è e la conosci: non si può dividere per qualcosa se non si sa con sicurezza che è diversa da zero. In particolare occorre molta attenzione se quel qualcosa contiene l'incognita.
"giammaria":
In un post precedente diciadesso mi chiedo se per non perdermi delle soluzioni, vi è qualche regola in particolare.
C'è e la conosci: non si può dividere per qualcosa se non si sa con sicurezza che è diversa da zero.
Hai perfettamente ragione, se ho dell'incognite, devo essere attento se non sono certo dei possibili valori!
"Bad90":
Esercizio 31
...in quando non è una identità:
$ 1/cosx = (senx)/cosx $
Non può essere perchè una cotangente non può essere nello stesso tempo una tangete, vero
...
Scusa, ma non riesco proprio a capire. Per favore puoi spiegare?
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