Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo2]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2 Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

[Andrea2976]

L'esercizio richiede di calcolare la densità e non la probabilità di Y (in (sqrt 2, sqrt 3)) che dovrebbe venire 1 (perché stai calcolando la probabilità su tutto lo spazio).
Il procedimento è simile al tuo, una volta trovata la costante C di normalizzazione devi calcolare la
P(Y

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[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2 Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

Innanzitutto calcoliamo $C: C*int_{2}^{3}(2-x)(x-3)dx=1$ $->$ $C*int_{2}^{3}(-x^2+5x-6)dx=C*[-x^3/3+5/2*x^2-6x]_{2}^{3}=C*1/6=1$ da cui $C=6$
Quindi $f_X(x)=6(2-x)(x-3)rect(x-5/2)$
Calcoliamo ora la pdf di $Y=sqrt(X)$. Innanzitutto osserviamo che la trasformazioine $y=sqrt(x)$ impone che $y>0$ perchè la radice di un numero reale è un numero positivo. Questa considerazione ci servirà dopo.
Innanzitutto per il teorema sulla trasformazione di variabili aleatorie si sa che se $Y=g(X)$ allora
$f_Y(y)=[(f_X(x))/(|g^{'}(x)|)]_(x=g^{-1}(y))$
In tal caso $x=y^2,g^{'}(x)=1/(2sqrt(x))$ per cui
$f_Y(y)=[(6(2-x)(x-3))/(1/(|2sqrt(x)|))]_(x=y^2)=6(2-y^2)(y^2-3)*|2sqrt(y^2)|=12*(2-y^2)(y^2-3)*|y| $. Avendo detto prima che $y>0$ allora $|y|=y$ per cui $f_Y(y)=12*(2-y^2)(y^2-3)*y$
Ora vediamo in quale intervallo varia $y$: se $2 $f_Y(y)=12*(2-y^2)(y^2-3)*y*rect((y-(sqrt(3)+sqrt(2))/2)/(sqrt(3)-sqrt(2)))$

[Bartolomeo2]

2 cose:

@ Andrea2976: cos è t?

@ nicasamarciano: cos è $rect(x-5/2)$ dove l'hai preso?

grazie ancora...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":2 cose:

@ Andrea2976: cos è t?

@ nicasamarciano: cos è $rect(x-5/2)$ dove l'hai preso?

grazie ancora...

La funzione $rect()$ è la funzione finestra rettangolare.
Se una funzione è definita in $[a,b]$ allora si usa scrivere $f(x)rect[(x-(a+b)/2)/(b-a)]$. Nel tuo caso la pdf è definita in $[2,3]$ allora ho scritto $rect[x-5/2]$ evitando di ripetere ogni volta $2<=x<=3$

[Bartolomeo2]

ahhh ok... onestamente è la prima volta che ne sento parlare... pensavo stessi moltiplicando per quella cosa

[Andrea2976]

t...è solo la variabile per la funzione di ripartizione.
Per calcolare la densità di una certa f(X), conoscendo la densità di X, di solito i metodi sono quelli enunciati da nicamars attraverso una trasformazione di variabile nell'integrale o come ho fatto io attrverso l'inversione di f nella funzione di ripartizione.

[Bartolomeo2]

ok grazie... tutto chiaro... dire "calcolare la densità di probabilità" e "calcolare la funzione di probabilità" è la stessa cosa no?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ok grazie... tutto chiaro... dire "calcolare la densità di probabilità" e "calcolare la funzione di probabilità" è la stessa cosa no?

bisogna stare attenti: se ti chiede di calcolare la funzione densità di probabilità allora devi calcolare la pdf $f_X(x)$ così come ti ho fatto vedere. se ti chiede di calcolare la funzione di ripartizione devi calcolare la cdf così definita: $F_X(x)=int_{-infty}^{x}f_X(x)dx$, che però puoi pure calcolare col teorema di trasformazione per le variabili aleaatorie analogo a quello per le pdf.

[Bartolomeo2]

ok... è quasi tutto chiaro... ma forse lo è ancora di più con un esempio.. allora nell'esercizio

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=Ke^(-alpha x)$ con $x>0$ e $K$ costante, determinare la funzione di probabilità di $Y=X+2$

mi pare di aver capito che devo calcolare
$int_o^(+infty) Ke^(-alpha x)dx$ devo porre pure questo uguale a 1? e come lo risolvo... come un integrale improprio?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ok... è quasi tutto chiaro... ma forse lo è ancora di più con un esempio.. allora nell'esercizio

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=Ke^(-alpha x)$ con $x>0$ e $K$ costante, determinare la funzione di probabilità di $Y=X+2$

mi pare di aver capito che devo calcolare
$int_0^(+infty) Ke^(-alpha x)dx$ devo porre pure questo uguale a 1? e come lo risolvo... come un integrale improprio?

Innanzitutto devi trovare $K:K*int_{0}^{+infty}e^(-alpha x)dx=1$
Ti renderai conto che tale integrale converge in $(0,+infty)$ se e solo se $alpha>0$ e con questa restrizione
$int_{0}^{+infty}e^(-alpha x)dx=1/(alpha)$ da cui $K/alpha=1->K=alpha$
Ora calcoliamo $f_Y(y)$: la trasformazione è $x=y-2$ e se $x>0->y>2$ e sfruttando il teorema precedentemente evidenziato in cui $x=y-2,g^{'}(x)=1$ si ha:
$f_Y(y)=alpha*e^(-alpha*(y-2))u(y-2)$ dove la funzione $u(x)$ è la funzione gradino così definita: $u(x)={(1,,x>0),(0,,x<0):}$

[Bartolomeo2]

hai calcolato in pratica

$lim_(z rightarrow +infty)(-1/alpha e^(-alpha z))=0$ giusto?

per questo ti viene solo $1/alpha k$ no?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":hai calcolato in pratica

$lim_(z rightarrow +infty)(-1/alpha e^(-alpha z))=0$ giusto?

per questo ti viene solo $1/alpha k$ no?

certo, ed è per questo che $alpha>0$ altrimenti se $alpha<0$$lim_(z rightarrow +infty)(-1/alpha e^(-alpha z))=+infty$

[Bartolomeo2]

ahhh ecco ecco.... mi hai risparmiato pure una domanda... gentilissimo... grazie ancora...

[Bartolomeo2]

"nicasamarciano":
$f_Y(y)=alpha*e^(-alpha*(y-2))u(y-2)$ dove la funzione $u(x)$ è la funzione gradino così definita: $u(x)={(1,,x>0),(0,,x<0):}$

E' la stessa cosa di scrivere $f_Y(y)=alpha*e^(-alpha*(y-2))$ con $y>2$ ????

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":[quote="nicasamarciano"]
$f_Y(y)=alpha*e^(-alpha*(y-2))u(y-2)$ dove la funzione $u(x)$ è la funzione gradino così definita: $u(x)={(1,,x>0),(0,,x<0):}$

E' la stessa cosa di scrivere $f_Y(y)=alpha*e^(-alpha*(y-2))$ con $y>2$ ????[/quote]
certissimo. io per non portarmi dietro $y>2$ uso la funzione gradino che è deputata a ciò.

[Bartolomeo2]

"funzione di probabilità" e "legge di probabilità" è la stessa cosa?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":"funzione di probabilità" e "legge di probabilità" è la stessa cosa?

te l'ho già detto: in realtà andrebbe esplicitata meglio la richiesta: o funzione densità di probabilita (pdf per variabili aleatorie continue) o funzione masse di probabilità (pmf, l'analoga della pdf per variabili aleatorie discrete) o funzione di ripartizione (cdf). Tuttavia ogni autore le chiama in una maniera, però dal contesto si capisce di cosa si intende.

[Bartolomeo2]

ah ok.... il fatto è che sono una serie di esecizi presi da esami passati (purtroppo ancora attendo il libro e gli unici a disposizione sono questi)... questo chiedeva


Una popolazione è caratterizzata da una legge di probabilità data da $f(x)=1/9x(x^4-1)$ con $1 \le x \le 2$
Calcolare la legge di probabilità della variabile $Y=X^2$ ed il valore della sua media...

l'ho risolto come il precendente... ho considerato come se fosse $c=1/9$ quindi sono passato direttamente al punto in cui calcolavo $f_Y(y)=(f_X(x))/|g'(x)|$ che in questo esercizio valeva $f_Y(y)=(1/9x(x^4-1))/(2x)=1/18*(x^4-1)/2$ con $1 \le y \le 4$


Richiedeva questo l'esercizio?
(Il calcolo di quale media devo fare?)

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ah ok.... il fatto è che sono una serie di esecizi presi da esami passati (purtroppo ancora attendo il libro e gli unici a disposizione sono questi)... questo chiedeva


Una popolazione è caratterizzata da una legge di probabilità data da $f(x)=1/9x(x^4-1)$ con $1 \le x \le 2$
Calcolare la legge di probabilità della variabile $Y=X^2$ ed il valore della sua media...

l'ho risolto come il precendente... ho considerato come se fosse $c=1/9$ quindi sono passato direttamente al punto in cui calcolavo $f_Y(y)=(f_X(x))/|g'(x)|$ che in questo esercizio valeva $f_Y(y)=(1/9x(x^4-1))/(2x)=1/18*(x^4-1)/2$ con $1 \le y \le 4$


Richiedeva questo l'esercizio?
(Il calcolo di quale media devo fare?)

sì ma la dipendenza di $f_Y(y)$ da $y$ dove sta?
La trasformazione è $x=+-sqrt(y)$ e poichè $1<=x<=2$ allora va presa solo la soluzione $x=sqrt(y)$ perchè l'altra non ha senso, per cui
$f_Y(y)=[(1/9x(x^4-1))/(2x)]_(x=sqrt(y))=1/18*(y^2-1)rect[(y-5/2)/3]$ cioè $1<=y<=4$

Poi la media io credo chi chieda $E[Y]$ e la si può calcolare in 2 modi:
1)$E[g(X)]=int_{-infty}^{+infty}g(x)*f_X(x)dx$ e in tal caso
$E[Y]=E[X^2]=int_{1}^{2}x^2*1/9*x*(x^4-1)dx=1/9*int_{1}^{2}(x^7-x^3)dx=1/9*[x^8/8-x^4/4]_{1}^{2}=25/8$

2)Un altro modo per calcolarla sarebbe quello di sfruttare $f_Y(y)$ cioè
$E[Y]=E[X^2]=int_{1}^{4}y*f_Y(y)dy=1/18*int_{1}^{4}y*(y^2-1)dy=1/18*[y^4/4-y^2/2]_{1}^{4}=25/8$

[Bartolomeo2]

"nicasamarciano":
sì ma la dipendenza di $f_Y(y)$ da $y$ dove sta?
La trasformazione è $x=+-sqrt(y)$ e poichè $1<=x<=2$ allora va presa solo la soluzione $x=sqrt(y)$ perchè l'altra non ha senso, per cui
$f_Y(y)=[(1/9x(x^4-1))/(2x)]_(x=sqrt(y))=1/18*(y^2-1)rect[(y-5/2)/3]$ cioè $1<=y<=4$

Oh mamma si scusa... che imbranato... ho dimenticato di scrivere l'ultima riga... a me viene diverso però
$1/18*(y^2-1)/2$.. c'ho un diviso 2 di troppo...