Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo2]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2 Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Fatemi sapere

PS.: @ Nicola de rosa: sai rispondermi alla prima domanda??? grazie...

a cosa ti riferisci col fatemi sapere?

poi per cortesia ripetimi brevemente le domande. grazie.

[Bartolomeo2]

il "fatemi sapere" era riferito a questo:

"nicola de rosa":

Calcola la densità di probabilità della variabile aleatoria $\frac{1}{Y}$, moltiplicala per la densità di probabilità di $X$, in questo modo ottieni la densità di probabilità di $Z$.

sei sicuro?

Poi... in base a quanto scrive il mio prof in un esercizio... cioè:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle 2 variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = Ae^(-alphax)e^(-betay)$....etc etc

la mia domanda era

1)una funzione CUMULATIVA è esattamente una funzione densità di probabilità???? (cioè devo utilizzare lo stesso metodo per risolvere l'esercizio?)

mi pare di aver capito di no.. che non è così... ma che in questo esercizio è così invece...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":il "fatemi sapere" era riferito a questo:

[quote="nicola de rosa"]

Calcola la densità di probabilità della variabile aleatoria $\frac{1}{Y}$, moltiplicala per la densità di probabilità di $X$, in questo modo ottieni la densità di probabilità di $Z$.

sei sicuro?

[/quote]
perchè il modo di procedere l'ho mostrato, non è come ha detto Tipper che si calcola la $f_Z(z)$

1)una funzione CUMULATIVA è esattamente una funzione densità di probabilità???? (cioè devo utilizzare lo stesso metodo per risolvere l'esercizio?) 

la funzione di distribuzione cumulativa o CDF è $F_Z(z)=Pr(Z<=z)$ da cui $f_Z(z)=(dF_Z(z))/(dz)$

[Bartolomeo2]

ok allora grazie....

PS... ho un altro post sulle palline di urna.. non è che potrsti adrgli una controllatina pure li?


Grazie ancora a presto...

[_Tipper]

"nicola de rosa":

Calcola la densità di probabilità della variabile aleatoria $\frac{1}{Y}$, moltiplicala per la densità di probabilità di $X$, in questo modo ottieni la densità di probabilità di $Z$.

sei sicuro?

Io avevo pensato: dato che $X$ e $Y$ sono due variabili aleatorie indipendenti allora anche $X$ e $\frac{1}{Y}$ sono due variabili aleatorie indipendenti. Dato che la densità di probabilità di un prodotto di variabili aleatorie indipendenti è il prodotto delle densità ho pensato bene di calcolare così $f_Z(z)$, non va bene?

[_nicola de rosa]

"Tipper":[quote="nicola de rosa"]

Calcola la densità di probabilità della variabile aleatoria $\frac{1}{Y}$, moltiplicala per la densità di probabilità di $X$, in questo modo ottieni la densità di probabilità di $Z$.

sei sicuro?

Io avevo pensato: dato che $X$ e $Y$ sono due variabili aleatorie indipendenti allora anche $X$ e $\frac{1}{Y}$ sono due variabili aleatorie indipendenti. Dato che la densità di probabilità di un prodotto di variabili aleatorie indipendenti è il prodotto delle densità ho pensato bene di calcolare così $f_Z(z)$, non va bene?[/quote]
no non va bene perchè $g(X,Y)=X/Y$ è la trasformazione delle due variabili aleatorie. Ad esempio , se avessi $Z=X+Y$ sempre nell'ipotesi di indipendenza, generalizzando quanto detto da te, calcoli $f_X(x),f_Y(y)$ e poi le sommi. Ma tu sai che la pdf di una somma di variabili aleatorie indipendenti è la convoluzione delle due pdf.

Ma c'è pure un altro motivo: se si fa come dici tu $f_Z(z)$ dovrebbe dipendere solo ed esclusivamente da $z$, e questo non accade nel tuo modo di proseguire, perchè $f_Z(z)$ viene a dipendere solo da $x$ ed $y$ e non da $z$.

Chiaro?

[_Tipper]

Son proprio di fuori... il prodotto delle densità di due variabili aleatorie indipendenti è la congiunta, non la densità del prodotto... L'ho sempre detto, devo smettere di drogarmi...

[Bartolomeo2]

"nicola de rosa":
...
Nel caso particolare $f_X(x)=e^(-x)u(x),f_Y(y)=e^(-y)u(y)$ ed essendo indipendenti
$f_(XY)(zy,y)=e^(-zy)*e^(-y)u(zy)u(y)$.

Mi pare l'esercizio inizi da qui... allora... non capisco bene questo pezzo... come mai devo calcolare la $f_(XY)$ in $(zy,y)$ e non in $(x,y)$ ??

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":[quote="nicola de rosa"]
...
Nel caso particolare $f_X(x)=e^(-x)u(x),f_Y(y)=e^(-y)u(y)$ ed essendo indipendenti
$f_(XY)(zy,y)=e^(-zy)*e^(-y)u(zy)u(y)$.

Mi pare l'esercizio inizi da qui... allora... non capisco bene questo pezzo... come mai devo calcolare la $f_(XY)$ in $(zy,y)$ e non in $(x,y)$ ??[/quote]
perchè ti ho fatto vedere che per la trasformazione $Z=X/Y$ si ha
$f_Z(z)=int_{-infty}^{+infty}|y|f_(XY)(zy,y)dy$

[Bartolomeo2]

ah ok ok.. grazie

[Bartolomeo2]

Ho provato a fare anche l'altro esercizio... ma ho dubbi sulla sua correttezza... posto qui di seguito il testo e il suo svolgimento:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle due variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = A e^(-alphax)e^(-betay)$ (la "f" e no "F" l'ha scritta il prof), $0 0$, $beta>0$.

Allora.. ecco quello che ho fatto...

1) Mi sono calcolato l'integrale generale della funzione cumulativa, trovando così la funzione densità di probabilità (mi pare di aver capito che devo fare così):
$f_(XY)(x,y)=Aintinte^(-alphax)e^(-betay)dxdy=A/(alphabeta)e^(-alphax)e^(-betay)$

2) Eguaglio a uno la funzone densità di probabilità, dunque mi trovo A:
$A/(alphabeta)int_0^(+oo)int_0^ye^(-alphax)e^(-betay)dxdy=1$ -> $A=alphabeta^2(alpha+beta)$

3) Mi calcolo $f_X(x)$:
$f_X(x)=int_x^(+oo)alphabeta^2(alpha+beta)e^(-alphax)e^(-betay)dy=alphabeta(alpha+beta)e^(-alphax)e^(-betax)$

4) Per concludere, mi trovo la mia $f(y|x)$:
$f(y|x)=(f_(XY)(x,y))/(f_X(x))=betae^(beta(y-x))$


Che ne dite?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Ho provato a fare anche l'altro esercizio... ma ho dubbi sulla sua correttezza... posto qui di seguito il testo e il suo svolgimento:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle due variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = A e^(-alphax)e^(-betay)$ (la "f" e no "F" l'ha scritta il prof), $0 0$, $beta>0$.

Allora.. ecco quello che ho fatto...

1) Mi sono calcolato l'integrale generale della funzione cumulativa, trovando così la funzione densità di probabilità (mi pare di aver capito che devo fare così):
$f_(XY)(x,y)=Aintinte^(-alphax)e^(-betay)dxdy=A/(alphabeta)e^(-alphax)e^(-betay)$

2) Eguaglio a uno la funzone densità di probabilità, dunque mi trovo A:
$A/(alphabeta)int_0^(+oo)int_0^ye^(-alphax)e^(-betay)dxdy=1$ -> $A=alphabeta^2(alpha+beta)$

3) Mi calcolo $f_X(x)$:
$f_X(x)=int_x^(+oo)alphabeta^2(alpha+beta)e^(-alphax)e^(-betay)dy=alphabeta(alpha+beta)e^(-alphax)e^(-betax)$

4) Per concludere, mi trovo la mia $f(y|x)$:
$f(y|x)=(f_(XY)(x,y))/(f_X(x))=betae^(beta(y-x))$


Che ne dite?

A me viene $A=beta(alpha+beta)$
$f_X(x)=(alpha+beta)e^(-(alpha+beta)x)u(x)$ da cui
$f_(Y|X)(y|x)=(f_(X Y)(x,y))/(f_X(x))=beta*e^(-beta(y-x))$

nota che la tua $f_X(x)$ non ha area sottesa pari ad $1$ cioè non soddisfa la condizione di normalizzazione

[Bartolomeo2]

Allora credo di aver fatto un passaggio in più... in pratica io ho integrato (senza estremi.. quindi integrali generali) la funzione che mi ha dato il prof... e mi sono trovato una funzione.... poi ho integrato questa funzione che ho trovato qui per trovare il valore di A....

Trovo $A=(alpha+beta)beta$ se pongo uguale a 1 la funzione che mi ha dato il prof...

Io invece ho posto uguale a 1 l'integrale generale della funzione che mi ha dato il prof... non so se sono stato chiaro...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Allora credo di aver fatto un passaggio in più... in pratica io ho integrato (senza estremi.. quindi integrali generali) la funzione che mi ha dato il prof... e mi sono trovato una funzione.... poi ho integrato questa funzione che ho trovato qui per trovare il valore di A....

Trovo $A=(alpha+beta)beta$ se pongo uguale a 1 la funzione che mi ha dato il prof...

Io invece ho posto uguale a 1 l'integrale generale della funzione che mi ha dato il prof... non so se sono stato chiaro...

tu intendevi la CDF e non la pdf. comunque per ottenere la pdf devi derivare la CDF, e per ottenere la CDF devi integrare la pdf.

[Bartolomeo2]

quindi ho sbagliato il punto 1..... non devo integrare la funzione che mi ha dato il prof ma la devo derivare!!!!

[Bartolomeo2]

Ma una cosa... la devo derivare in x o in y?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Ma una cosa... la devo derivare in x o in y?

$f_(X Y)(x,y)=(d^2F_(X Y)(x,y))/(dxdy)$ indipendentemente dall'ordine di derivazione parziale cioè è la stessa cosa se derivi prima rispetto ad $x$ e poi ad $y$ e viceversa. Le derivate sono parziali ovviamente. analogamente
$F_(X Y)(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f_(X Y)(x,y)dxdy$

[Bartolomeo2]

Niente da fare.. a me A viende diverso... ora mi viene $A=beta/alpha+1$

"A" mi viene uguale a te solo se integro direttamente la funzione che mi da il prof... ma quella non è una funzione cumulativa?

Quindi... prima di trovare A non devo trovarmi la funzione densità di probabilità, quindi derivare la funzione che mi da il prof???

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Niente da fare.. a me A viende diverso... ora mi viene $A=beta/alpha+1$

"A" mi viene uguale a te solo se integro direttamente la funzione che mi da il prof... ma quella non è una funzione cumulativa?

Quindi... prima di trovare A non devo trovarmi la funzione densità di probabilità, quindi derivare la funzione che mi da il prof???

ma tu la intendi come cdf o pdf la tua funzione? se sta scritto cumulativa è cdf e per ricavare la pdf devi derivare.
Ora $A=beta/alpha+1$ come lo hai trovato?
se quella è cdf, per trovare la pdf devi derivarla non integrarla. dopo averla derivata calcoli $A$ imponendo la condizione di normalizzazione cioè l'area sottesa è unitaria

[Bartolomeo2]

non lo so... il problema non è come la intendo io... è come la intende il prof....

il testo è questo:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle due variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = A e^(-alphax)e^(-betay)$ (la "f" e no "F" l'ha scritta il prof), $0 0$, $beta>0$.

ora

$f(x,y) = A e^(-alphax)e^(-betay)$ -> pdf o cdf???

io ho capito che qulla è la cdf quindi l'ho derivata.... la nzione che ho derivato e che ho trovato, l'ho integrata e dali mi è uscito fuori quella A...