Funzione densità di probabilità
Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:
Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2
Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:
$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:
$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$
Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...
vi ringrazio per il vostro aiuto...
Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2
Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:
$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:
$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$
Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...
vi ringrazio per il vostro aiuto...
Risposte
quindi l'unico modo per scrivere la funzione è come hai fatto tu...
"Bartolomeo":
quindi l'unico modo per scrivere la funzione è come hai fatto tu...
e credo proprio di sì, se ti fidi.
ah ok... no no eccome se mi fido 
cavolo fossi io come te...
cavolo fossi io come te...
"nicasamarciano":
$f_Y(y)=1/36*(18-y)/(sqrt(y-10))rect((y-12)/4)+1/72*(18-y+2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))rect((y-20)/12)$
la prima parte l'hai moltiplicata per 2 perchè è da considerare 2 volte (sia per $-sqrt(y-10)$ che per $sqrt(y-10)) giusto?
"Bartolomeo":
[quote="nicasamarciano"]
$f_Y(y)=1/36*(18-y)/(sqrt(y-10))rect((y-12)/4)+1/72*(18-y+2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))rect((y-20)/12)$
la prima parte l'hai moltiplicata per 2 perchè è da considerare 2 volte (sia per $-sqrt(y-10)$ che per $sqrt(y-10)) giusto?[/quote]
sì, il termine $2sqrt(y-10)$ si elide con $-2sqrt(y-10)$ mentre $18-y$ va moltiplicato per $2$ perchè è lo stesso in ambo i casi.
Trovo difficoltoso trovare lo scarto quadratico medio di questo esercizo... devo trovare la deviazione standard(che se ricordo bene è lo scarto quadratico medio) di $Z=X+Y$
Data la funzione densità di probabilità $f(x,y)=kxe^(-beta(y-1))$ con $0
Ho trovato $k=2beta^2/e^beta$... dunque $f_(XY)(x,y)=2xe^(-beta y)$
Ora mi trovo la media.. che mi è risultata $E[Z]=5/beta^4$.. fino a qui ok (Non dovrei aver fatto errori di calcolo... l'ho fatto 2 volte
)
Ora devo trovarmi la deviazione standard quindi.. trovo la varianza e poi faccio la radice.... allora.. ci sono 2 modi... ricordando che $Z=X+Y$
1) $VAR[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]$
2) $VAR[Z] = VAR[X+Y]=E[XY]-E[X]*E[Y]$
La mia difficolta sta qui... ad applicare queste due formule... potete indicarmi se quanto scritto di seguito è corretto?
$E[Z^2]=int_0^(+oo)int_o^y (x+y)^2 * 2xe^(-betay)beta^2$
$E[Z]^2=(5/beta^4)^2=25/beta^8$
Per il secondo caso invece....
$E[XY]=int_0^(+oo)int_o^y (xy) * 2xe^(-betay)beta^2$
Forti dubbi qui:
$E[X]=int_0^(+oo)int_o^y x * 2xe^(-betay)beta^2$
$E[Y]=int_0^(+oo)int_o^y y * 2xe^(-betay)beta^2$
Allora... sono esatte queste 5 cose scritte qui di seguito?
grazie
Data la funzione densità di probabilità $f(x,y)=kxe^(-beta(y-1))$ con $0
Ho trovato $k=2beta^2/e^beta$... dunque $f_(XY)(x,y)=2xe^(-beta y)$
Ora mi trovo la media.. che mi è risultata $E[Z]=5/beta^4$.. fino a qui ok (Non dovrei aver fatto errori di calcolo... l'ho fatto 2 volte
)Ora devo trovarmi la deviazione standard quindi.. trovo la varianza e poi faccio la radice.... allora.. ci sono 2 modi... ricordando che $Z=X+Y$
1) $VAR[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]$
2) $VAR[Z] = VAR[X+Y]=E[XY]-E[X]*E[Y]$
La mia difficolta sta qui... ad applicare queste due formule... potete indicarmi se quanto scritto di seguito è corretto?
$E[Z^2]=int_0^(+oo)int_o^y (x+y)^2 * 2xe^(-betay)beta^2$
$E[Z]^2=(5/beta^4)^2=25/beta^8$
Per il secondo caso invece....
$E[XY]=int_0^(+oo)int_o^y (xy) * 2xe^(-betay)beta^2$
Forti dubbi qui:
$E[X]=int_0^(+oo)int_o^y x * 2xe^(-betay)beta^2$
$E[Y]=int_0^(+oo)int_o^y y * 2xe^(-betay)beta^2$
Allora... sono esatte queste 5 cose scritte qui di seguito?
grazie
La formula corretta per la varianza di $Z$ è questa:
$Var(Z)=Var(X+Y)=E[X^2+Y^2+2XY]-(E[X]+E[Y])^2=E[X^2]+E[Y^2]+2E[XY]-E[X]^2-E[Y]^2-2E[X]E[Y]=2Cov(X,Y)+Var(X)+Var(Y)$.
$Var(Z)=Var(X+Y)=E[X^2+Y^2+2XY]-(E[X]+E[Y])^2=E[X^2]+E[Y^2]+2E[XY]-E[X]^2-E[Y]^2-2E[X]E[Y]=2Cov(X,Y)+Var(X)+Var(Y)$.
Aiutooo....
e queste 2 cose che sono???
$1) VAR[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]$
$2) VAR[Z]=VAR[X+Y]=E[XY]-E[X]⋅E[Y]$ ????
e queste 2 cose che sono???
$1) VAR[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]$
$2) VAR[Z]=VAR[X+Y]=E[XY]-E[X]⋅E[Y]$ ????
"Bartolomeo":
$1) VAR[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]$
Questa sopra va bene.
"Bartolomeo":
$2) VAR[Z]=VAR[X+Y]=E[XY]-E[X]⋅E[Y]$
Questa sopra non va bene, infatti $Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$
Ah ok.. allora... vediamo.. intanto quello che ho scritto qui va bene??? se si allora dovrei essere in grado anche di ricavarmi la seconda formula come l'hai scritta tu 
"Bartolomeo":
La mia difficolta sta qui... ad applicare queste due formule... potete indicarmi se quanto scritto di seguito è corretto?
$E[Z^2]=int_0^(+oo)int_o^y (x+y)^2 * 2xe^(-betay)beta^2$
$E[Z]^2=(5/beta^4)^2=25/beta^8$
Per il secondo caso invece....
$E[XY]=int_0^(+oo)int_o^y (xy) * 2xe^(-betay)beta^2$
Forti dubbi qui:
$E[X]=int_0^(+oo)int_o^y x * 2xe^(-betay)beta^2$
$E[Y]=int_0^(+oo)int_o^y y * 2xe^(-betay)beta^2$
Allora... sono esatte queste 5 cose scritte qui di seguito?
grazie
Suppongo che la densità di probabilità congiunta sia $f_{X,Y}(x,y)=2xe^{-\beta y}\beta^2$.
Le prime tre vanno bene, le ultime due, almeno a occhio, no:
$E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx$
$E[Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy$
PS: Negli integrali che hai scritto mancano un po' di differenziali...
Le prime tre vanno bene, le ultime due, almeno a occhio, no:
$E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx$
$E[Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy$
PS: Negli integrali che hai scritto mancano un po' di differenziali...
Ah si già vero... allora...
$f_X(x,y)= int_0^y 2xe^(-beta y)beta^2 dy$
$f_Y(x,y)= int_0^+oo 2xe^(-beta y)beta^2 dx$
dunque
$E[X]=\int_0^yx*2xe^(-beta y)beta^2dx$
$E[Y]=\int_0^+oox*2xe^(-beta y)beta^2dy$
giusto?
$f_X(x,y)= int_0^y 2xe^(-beta y)beta^2 dy$
$f_Y(x,y)= int_0^+oo 2xe^(-beta y)beta^2 dx$
dunque
$E[X]=\int_0^yx*2xe^(-beta y)beta^2dx$
$E[Y]=\int_0^+oox*2xe^(-beta y)beta^2dy$
giusto?
"Bartolomeo":
Ah si già vero... allora...
$f_X(x,y)= int_0^y 2xe^(-beta y)beta^2 dy$
$f_Y(x,y)= int_0^+oo 2xe^(-beta y)beta^2 dx$
No, sono queste corrette:
$f_X(x)= \{(\int_x^{+\infty} 2xe^{-\beta y}\beta^2 dy, "se "x \ge 0),(0, "else"):}$
$f_Y(y)=\{(int_0^y 2xe^{-\beta y}\beta^2 dx, "se "y \ge 0), (0, "else"):}$
non capisco... perchè consideri anche il caso $x<0$ e $y<0$??? il dominio va da 0 a $+oo$...
per quanto riguarda gli estremi si.. ho visto che li ho sbagliati....
per quanto riguarda gli estremi si.. ho visto che li ho sbagliati....
Ti sbagli: è il supporto che va $0$ a $+\infty$.
Allora il secondo integrale va da 0 a $y$... quindi y è sempre maggiore di 0.... no?
Per $y$ positivi la densità di probabilità è data da quell'integrale, per $y$ negativi la densità di probabilità vale $0$.
Avendo la congiunta è inutile calcolare le marginali per trovare $Var[Z]=Var[X+Y]=E[(X+Y)^2]-E^2[X+Y]$
Infatti per definizione
$E[(X+Y)^2]=int int_D(x+y)^2f_(XY)(x,y)dxdy$
$E[X+Y]=int int_D(x+y)f_(XY)(x,y)dxdy$ dove $D in RR^2$ è il dominio di definizione della pdf congiunta per cui
$sigma_Z=sqrt(Var[Z])=sqrt(E[(X+Y)^2]-E^2[X+Y])$
Infatti per definizione
$E[(X+Y)^2]=int int_D(x+y)^2f_(XY)(x,y)dxdy$
$E[X+Y]=int int_D(x+y)f_(XY)(x,y)dxdy$ dove $D in RR^2$ è il dominio di definizione della pdf congiunta per cui
$sigma_Z=sqrt(Var[Z])=sqrt(E[(X+Y)^2]-E^2[X+Y])$
Stava calcolando le marginali per determinare $E[X]$ ed $E[Y]$.
"Tipper":
Stava calcolando le marginali per determinare $E[X]$ ed $E[Y]$.
e a che ti servono se devi calcolare $sigma_Z$?passi per le marginali senza sfruttare la congiunta
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