Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo2]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2 Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

[Bartolomeo2]

l'ho supposto io da un altro esercizio che aveva fatto il prof... in pratica la funzione era la stessa... però il dominio era $0\le x\le y \le +infty$... invece il mio è $0< y< x < +infty$.... lui aveva diviso il dominio così:
$ 0 \le x \le y$ e $0 \le y \le infty$ mentre io ho fatto così
$ 0 < y < x$ e $0 < x < infty$ (sempre scopiazzando da quello che ha fatto il prof)


a lui K veniva $K=alpha+beta^2$ a me viene $alpha^2+ beta$....
però a questo punto l'esercizio non continua più....

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":l'ho supposto io da un altro esercizio che aveva fatto il prof... in pratica la funzione era la stessa... però il dominio era $0\le x\le y \le +infty$... invece il mio è $0< y< x < +infty$.... lui aveva diviso il dominio così:
$ 0 \le x \le y$ e $0 \le y \le infty$ mentre io ho fatto così
$ 0 < y < x$ e $0 < x < infty$ (sempre scopiazzando da quello che ha fatto il prof)


a lui K veniva $K=alpha+beta^2$ a me viene $alpha^2+ beta$....
però a questo punto l'esercizio non continua più....

Innanzitutto affinchè gli integrali da te svolti convergano deve essere $alpha>0,alpha+beta>0$ altrimenti quando fai il limite per $x->+infty$ il limite non viene nullo bensì $infty$
va bene. a me viene $k=alpha*(alpha+beta)$
Ora per verificare l'indipendenza devi calcolare le pdf marginali cioè
$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f_(XY)(x,y)dy,f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f_(XY)(x,y)dx$ e vedere se il prodotto coincide con $f_(XY)(x,y)$

[Bartolomeo2]

quindi devo calcolare entrambi gli integrali tra $0$ e $+infty$... oppure devo rispettare quegli estremi così come li ha definiti il prof... quindi nel caso di y il cui dominio è $0

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[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":quindi devo calcolare entrambi gli integrali tra $0$ e $+infty$... oppure devo rispettare quegli estremi così come li ha definiti il prof... quindi nel caso di y il cui dominio è $0
certo, devi stare attento agli estremi di integrazione
se per domani hai ancora problemi, ti risolverò io l'esercizio. ma sforzati ancora un pochino.

[Bartolomeo2]

uhm.. allora... prima ho definito entrambi gli integrali tra 0 e $+infty$.... ho moltiplicato ma il risultato viene diverso... poi ho rispettato i domini posti all'inizio... ma anche in quel caso il risultato viene sbagliato....

[Bartolomeo2]

Ho ricalcolato tutto cambiando i domini....

prima $0 poi $y e infini $0

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[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Ho ricalcolato tutto cambiando i domini....

prima $0 poi $y e infini $0
$f_X(x)=int_{0}^{x}f_(XY)(x,y)dy=(alpha*(alpha+beta))/(beta)*e^(-alpha*x)*(1-e^(-beta*x))u(x)$
$f_Y(y)=int_{y}^{+infty}f_(XY)(x,y)dy=(alpha+beta)*e^(-(alpha+beta)*y)u(y)$
Quindi noti che $f_(XY)(x,y)!=f_X(x)*f_Y(y)$ per cui le variabili non sono indipendenti

[Bartolomeo2]

ahhh avevo capito che avevi detto che le due variabili ERANO indipendenti... quindi pensavo di sbagliare qualcosa nei calcoli.... ok grazie...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ahhh avevo capito che avevi detto che le due variabili ERANO indipendenti... quindi pensavo di sbagliare qualcosa nei calcoli.... ok grazie...

se consideri come dominio iniziale $x>0,y>0$ le due variabili sono chiaramente indipendenti. Poichè io avevo inteso il dominio come $x>0,y>0$ perciò ti avevo detto che erano indipendenti

[Bartolomeo2]

ahhhhh ok ok... quindi l'indipendenza o meno di una variabile anche data dal dominio.... grazie gentilissimo...

[Bartolomeo2]

ecco... ora dovrei trovare la media di Z= XY.... allora ... la media si dovrebbe calcolare (nel caso di una variabile)

$E[g(x)]=int_(-oo)^(+oo)g(x)*f_X(x)dx$ nel caso di una funzione a due varibili invece credo che devo sostituire $f_X(x)$ con $f_(XY)(x,y)$... ma $g(x)$ con cosa lo sostituisco? grazie...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ecco... ora dovrei trovare la media di Z= XY.... allora ... la media si dovrebbe calcolare (nel caso di una variabile)

$E[g(x)]=int_(-oo)^(+oo)g(x)*f_X(x)dx$ nel caso di una funzione a due varibili invece credo che devo sostituire $f_X(x)$ con $f_(XY)(x,y)$... ma $g(x)$ con cosa lo sostituisco? grazie...

$E[g(X,Y)]=int int_D g(x,y)*f_(XY)(x,y)dxdy$ con $D$ il dominio
$E[Z]=E[XY]=int int_D xy*f_(XY)(x,y)dxdy$ con $D={(x,y)in R^2| x>0,0

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[Bartolomeo2]

grazie...
In un esercizio mi dice:
Data la funzione densità di probabilità .... calcolare la densità di probabilità di $Y=X^2$ e la media di $X$ e $X^2$...

in pratica devo calcolare la media ponendo prima $g(x)= x^2$ e poi ricalcolandola ma stavolta con $g(x)=x$ giusto??

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":grazie...
In un esercizio mi dice:
Data la funzione densità di probabilità .... calcolare la densità di probabilità di $Y=X^2$ e la media di $X$ e $X^2$...

in pratica devo calcolare la media ponendo prima $g(x)= x^2$ e poi ricalcolandola ma stavolta con $g(x)=x$ giusto??

sì

[Bartolomeo2]

Data la funzione densità di probabilità $f(x,y)=Kx^2e^(-2y)$ con $0
ho due domande:
1) Cosa vuol dire $f(y|x)$ ??? è la stessa cosa di $f(x,y)$???

2)Per determinare la media $X=x$ ma $Y$ ?????

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Data la funzione densità di probabilità $f(x,y)=Kx^2e^(-2y)$ con $0
ho due domande:
1) Cosa vuol dire $f(y|x)$ ??? è la stessa cosa di $f(x,y)$???

2)Per determinare la media $X=x$ ma $Y$ ?????

$f(Y|X)=(f_(XY)(x,y))/(f_X(x))$ cioè devi determinare le pdf marginali. anche per calcolare $E[Y]$ un modo è quello di calcolare $f_Y(y)$ da cui $E[Y]=int_{-infty}^{+infty}y*f_Y(y)dy$ tenendo presente il dominio di definizione della pdf

[Bartolomeo2]

cavolo mi tende a più infinito....

$f_(XY)(x,y)=8x^2e^(-2y)$ trovare $f_X(x)$ non è stato difficile...

$f_X(x)= 4x^2$

il problema sta ora nel trovare la media... per farlo dovrei trovare $f_Y(y)$ ma questo mi tende a più infinito... infatti

$f_Y(y)=int_0^(+oo) 8x^2e^(-2y) = 8e^(-2y)[1/3x^3]_0^(+oo)$

L'altra formula non so come utilizzarla in quanto non so quanto vale Y.... che devo fare?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":cavolo mi tende a più infinito....

$f_(XY)(x,y)=8x^2e^(-2y)$ trovare $f_X(x)$ non è stato difficile...

$f_X(x)= 4x^2$

il problema sta ora nel trovare la media... per farlo dovrei trovare $f_Y(y)$ ma questo mi tende a più infinito... infatti

$f_Y(y)=int_0^(+oo) 8x^2e^(-2y) = 8e^(-2y)[1/3x^3]_0^(+oo)$

L'altra formula non so come utilizzarla in quanto non so quanto vale Y.... che devo fare?

stai pasticciando: ma ti sembra che $4x^2,0
Il tuo dominio è $0 vedi che $f_X(x)=int_{x}^{+infty}8x^2*e^(-2y)dy=4x^2*e^(-2x)u(x)$ cioè $0
Poi devi ricavare $f_Y(y)$ e troverai $f_Y(y)=int_{0}^{y}8x^2*e^(-2y)dx=8/3*y^3*e^(-2y)u(y)$, ed ora calcoli le medie che ti servono

[Bartolomeo2]

Allora la mia funzione è quella ceh avevo scritto sopra... $kx^2e^(-2y)$ con $0
quindi $f_(XY)(x,y)=8x^2e^-2y$

ora non dovrebbe essere $f_X(x)=int_(-oo)^(+oo)f_(XY)(x,y)dy=int_0^(+oo)8x^2e^(-2y)dy$

e

$f_Y(y)=int_(-oo)^(+oo)f_(XY)(x,y)dx=int_0^(+oo)8x^2e^(-2y)dx$

????

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Allora la mia funzione è quella ceh avevo scritto sopra... $kx^2e^(-2y)$ con $0
quindi $f_(XY)(x,y)=8x^2e^-2y$

ora non dovrebbe essere $f_X(x)=int_(-oo)^(+oo)f_(XY)(x,y)dy=int_0^(+oo)8x^2e^(-2y)dy$

e

$f_Y(y)=int_(-oo)^(+oo)f_(XY)(x,y)dx=int_0^(+oo)8x^2e^(-2y)dx$

????

per ogni pdf deve valere che il suo integrale deve dare 1, cioè la proprietà di normalizzazione deve valere qualsiasi sia la pdf, è una proprietà caratterizzante.
poi disegnati il dominio e vedi quali sono gli estremi di integrazione, ti troverai con quelli che ti ho detto io.

pcon gli estremi che dici tu, la tua non è affatto una pdf.