Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo2]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2 Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":[quote="nicasamarciano"]
sì ma la dipendenza di $f_Y(y)$ da $y$ dove sta?
La trasformazione è $x=+-sqrt(y)$ e poichè $1<=x<=2$ allora va presa solo la soluzione $x=sqrt(y)$ perchè l'altra non ha senso, per cui
$f_Y(y)=[(1/9x(x^4-1))/(2x)]_(x=sqrt(y))=1/18*(y^2-1)rect[(y-5/2)/3]$ cioè $1<=y<=4$

Oh mamma si scusa... che imbranato... ho dimenticato di scrivere l'ultima riga... a me viene diverso però
$1/18*(y^2-1)/2$.. c'ho un diviso 2 di troppo...[/quote]
il due al denominatore l'hai gia moltiplicato per $9$ e ti dà il $18$

[Bartolomeo2]

si giusto

grazie ancora

[Bartolomeo2]

che vuol dire sta cosa?

$f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta x)$ con $0
Le variabili sono indipendenti se $f_1(x)*f_1(y) =f(x,y)$ giusto? grazie

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":che vuol dire sta cosa?

$f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta x)$ con $0
Le variabili sono indipendenti se $f_1(x)*f_1(y) =f(x,y)$ giusto? grazie

errore nella traccia, la traccia è $f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta y)$ $0
Si vede ad occhio che sono indipendenti le due variabili aleatorie

[Bartolomeo2]

ehm susa la domanda.. sicuramente non lo capisco perchè sono ancora inesperto.. da cosa lo vedi "ad occhio" che sono indipendenti? ed è giusta quella formula che ho scritto?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ehm susa la domanda.. sicuramente non lo capisco perchè sono ancora inesperto.. da cosa lo vedi "ad occhio" che sono indipendenti? ed è giusta quella formula che ho scritto?

per verificare l'indipendenza devi provare che $f_(XY)(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)$

[fireball1]

Prima di tutto io però verificherei che $f_(X,Y)(x,y)$ sia
una densità per ogni $alpha$ e $beta$, controllando che
$intint_D ke^(-alphax)e^(-betay) dxdy = 1
dove $D={(x,y) in RR^2 :x>0,y>0}

[_nicola de rosa]

"fireball":Prima di tutto io però verificherei che $f_(X,Y)(x,y)$ sia
una densità per ogni $alpha$ e $beta$, controllando che
$intint_D ke^(-alphax)e^(-betay) dxdy = 1
dove $D={(x,y) in RR^2 >0,y>0}

si sta ovviamente supponendo $alpha>0,beta>0$

[Bartolomeo2]

"nicasamarciano":[quote="Bartolomeo"]che vuol dire sta cosa?

$f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta x)$ con $0
Le variabili sono indipendenti se $f_1(x)*f_1(y) =f(x,y)$ giusto? grazie

errore nella traccia, la traccia è $f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta y)$ $0
Si vede ad occhio che sono indipendenti le due variabili aleatorie[/quote]

Non dovrebbe essere $0

Cita

Segnala

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":[quote="nicasamarciano"][quote="Bartolomeo"]che vuol dire sta cosa?

$f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta x)$ con $0
Le variabili sono indipendenti se $f_1(x)*f_1(y) =f(x,y)$ giusto? grazie

errore nella traccia, la traccia è $f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta y)$ $0
Si vede ad occhio che sono indipendenti le due variabili aleatorie[/quote]

Non dovrebbe essere $0 per come è scritto il dominio è $D={(x,y) in RR^2 : x>0,y>0}
Perciò ti ho detto si vede ad occhio perchè $f_(XY)(x,y)$ è il prodotto di due pdf esponenziali.

[Bartolomeo2]

Non capisco più nienteeee

In un esercizio avevo "callare la densità di probabilità" e in un altro avevo "calcolare la FUNZIONE densità di probabilità"... mi hai fatto vedere due modi di risolvere questi 2 tipi di esercizi... ma riguardandoli mi pare che siano la stessa cosa....

l'unica differenza per caso sta negli estremi di integrazione??? o in quello che devo trovare???

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Non capisco più nienteeee

In un esercizio avevo "callare la densità di probabilità" e in un altro avevo "calcolare la FUNZIONE densità di probabilità"... mi hai fatto vedere due modi di risolvere questi 2 tipi di esercizi... ma riguardandoli mi pare che siano la stessa cosa....

l'unica differenza per caso sta negli estremi di integrazione??? o in quello che devo trovare???

è la stessissima cosa: sempre l'applicazione del teorema di trasformazione sulle variabili aleatorie: è logico poi che cambiano gli intervalli di definizione delle pdf in conseguenza della pdf di partenza. ma ho applicato sempre lo stesso teorema. cosa non ti convince?

[Bartolomeo2]

mi pareva di aver capito che dovevo trovare due cose diverse... in una la densità e in una la funzione di densità... però alla fine trovo sempre $f_Y(y)$...

forse quindi la differenza sta solo nel fatto degli estremi d'integrazione...

se uno va a infinto devo trovare la FUNZIONE di probabilità altrimenti devo trovae la DENSITA'... giusto?



P.S.: Mi dispiace che per ogni piccolo intoppo devo postare qui ma il libro ancora mi deve arrivare...

grazie ancora..

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":mi pareva di aver capito che dovevo trovare due cose diverse... in una la densità e in una la funzione di densità... però alla fine trovo sempre $f_Y(y)$...

forse quindi la differenza sta solo nel fatto degli estremi d'integrazione...

se uno va a infinto devo trovare la FUNZIONE di probabilità altrimenti devo trovae la DENSITA'... giusto?



P.S.: Mi dispiace che per ogni piccolo intoppo devo postare qui ma il libro ancora mi deve arrivare...

grazie ancora..

non ti fissare sui nomi: o funzione di probabilità o densità è la stessa cosa.
il procedimento seguito è lo stesso: ovviamente in ogni calcolo cambieranno gli intervalli di definizione perchè cambieranno le pdf.

[Bartolomeo2]

ok grazie...

se $x=sqrt y$ e $0

Cita

Segnala

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ok grazie...

se $x=sqrt y$ e $0
$0

Cita

Segnala

[Bartolomeo2]

oh grazie....

$f(x)=Axe^(-x)$ con $0
$A=1$

la funzione $f_Y(y)=(e^(-sqrt y))/2$

Ecco devo trovare la media... mi sembra sia più facile calcolarla con la formula

$E[g(x)]=int_(-infty)^(+infty)g(x)*f_X(x)dx= int_0^(+infty) x^3e^-x dx = lim_(x rarr +infty) [-x^3e^(-x)-3x^2e^(-x)-6xe^(-x)+6e^(-x)]-6 =-6$

Ecco... il punto in cui ho i dubbi è il calcolo della media.... è negativa.... può essere?

grazie ancora...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":oh grazie....

$f(x)=Axe^(-x)$ con $0
$A=1$

la funzione $f_Y(y)=(e^(-sqrt y))/2$

Ecco devo trovare la media... mi sembra sia più facile calcolarla con la formula

$E[g(x)]=int_(-infty)^(+infty)g(x)*f_X(x)dx= int_0^(+infty) x^3e^-x dx = lim_(x rarr +infty) [-x^3e^(-x)-3x^2e^(-x)-6xe^(-x)+6e^(-x)]-6 =-6$

Ecco... il punto in cui ho i dubbi è il calcolo della media.... è negativa.... può essere?

grazie ancora...

Piccolo inciso: non dimenticare mai dove sono definite le pdf:
$f_Y(y)=(e^(-sqrt y))/2*u(y)$ cioè $0 Un piccolo errore nel calcolo della media:
$int_{0}^{+infty}x^3*e^(-x)dx=[-x^3e^(-x)-3x^2e^(-x)-6xe^(-x)-6e^(-x)]_{0}^{+infty}=6$

[Bartolomeo2]

sto provando a farne una con due variabili... quella che menzionavo ieri....pensavo fosse più semplice... la riscrivo:

Data la funzione densità di probabilità $f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta y)$ con $0
Allora la prima cosa che ho fatto è trovare $f_(XY)(x,y)$ con un bell'integrale doppio.... quindi...

$K:K*int_0^infty int_0^x e^(-alpha x)e^(-beta y)dxdy=$ (Ho diviso così gli estremi degli integrali prendendo spuntato da un esercizio che aveva svolto il prof)
$=K*int_0^infty [-1/beta e^(-alpha x)e^(-beta y)]_0^x dx=$
$K*int_0^infty 1/beta (-e^(-alpha x) e^(-beta x)+ e^(-alpha x))dx=$
$=K/beta[1/(alpha+beta)e^(-(alpha+beta)x)-1/alpha e^(-alpha x)]_0^infty=$
$=K/beta *lim_(x rarr +infty)(1/(alpha+beta)e^(-(alpha+beta) x)-1/alpha e^(-alpha x))-1/(alpha+beta)+1/alpha]=$

Da qui ho dedotto che $alpha+beta>0$ e $alpha>0$ (forse si riferiva a questo fireball??)... continuando...

$=K/(alpha^2+beta)=1$ quindi $K=alpha^2+beta$ da qui:

$f_(XY)(x,y)=(alpha^2+beta)e^(-alpha x)e^(-beta y)$

ora dovrei trovare $f_X(x)$ e $f_Y(y)$ per verificare se le due variabili sono indipendenti (io non lo capisco ad occhio... ancora.. forse perchè non ho ancora visto un caso in cui le due variabili sono dipendenti... boh)... comunque... da qui in poi gli appunti che ho si fanno molto confusi.... e non capisco come il prof ha trovato quelle due funzioni.....

come devo fare??? grazie ancora..

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":sto provando a farne una con due variabili... quella che menzionavo ieri....pensavo fosse più semplice... la riscrivo:

Data la funzione densità di probabilità $f(x,y)=ke^(-alpha x)e^(-beta y)$ con $0
Allora la prima cosa che ho fatto è trovare $f_(XY)(x,y)$ con un bell'integrale doppio.... quindi...

$K:K*int_0^infty int_0^x e^(-alpha x)e^(-beta y)dxdy=$ (Ho diviso così gli estremi degli integrali prendendo spuntato da un esercizio che aveva svolto il prof)
$=K*int_0^infty [-1/beta e^(-alpha x)e^(-beta y)]_0^x dx=$
$K*int_0^infty 1/beta (-e^(-alpha x) e^(-beta x)+ e^(-alpha x))dx=$
$=K/beta[1/(alpha+beta)e^(-(alpha+beta)x)-1/alpha e^(-alpha x)]_0^infty=$
$=K/beta *lim_(x rarr +infty)(1/(alpha+beta)e^(-(alpha+beta) x)-1/alpha e^(-alpha x))-1/(alpha+beta)+1/alpha]=$

Da qui ho dedotto che $alpha+beta>0$ e $alpha>0$ (forse si riferiva a questo fireball??)... continuando...

$=K/(alpha^2+beta)=1$ quindi $K=alpha^2+beta$ da qui:

$f_(XY)(x,y)=(alpha^2+beta)e^(-alpha x)e^(-beta y)$

ora dovrei trovare $f_X(x)$ e $f_Y(y)$ per verificare se le due variabili sono indipendenti (io non lo capisco ad occhio... ancora.. forse perchè non ho ancora visto un caso in cui le due variabili sono dipendenti... boh)... comunque... da qui in poi gli appunti che ho si fanno molto confusi.... e non capisco come il prof ha trovato quelle due funzioni.....

come devo fare??? grazie ancora..

ma il dominio $0

Cita

Segnala