Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo2]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2 Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":non lo so... il problema non è come la intendo io... è come la intende il prof....

il testo è questo:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle due variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = A e^(-alphax)e^(-betay)$ (la "f" e no "F" l'ha scritta il prof), $0 0$, $beta>0$.

ora

$f(x,y) = A e^(-alphax)e^(-betay)$ -> pdf o cdf???

io ho capito che qulla è la cdf quindi l'ho derivata.... la nzione che ho derivato e che ho trovato, l'ho integrata e dali mi è uscito fuori quella A...

io l'ho sempre intesa così: quando scrive $f$ io intendo pdf sempre e con $F$ cdf. ma ora dice distribuzione cumulativa per cui in tal caso io intendo la cdf, perchè quella è la distribuzione cumulativa.

ora io ti consiglierei di risolvere entrambi i problemi: cioè la intendi prima come pdf, e poi come cdf. poi chiederai al tuo prof.

[Bartolomeo2]

quindi

- nel caso la consideri una PDF risolvo normalmente
- nel caso che la consideri una CDF prima dervio e poi risolvo normalmente... giusto?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":quindi

- nel caso la consideri una PDF risolvo normalmente
- nel caso che la consideri una CDF prima dervio e poi risolvo normalmente... giusto?

sì, per la pdf ti ho fornito pure i risultati; per la cdf derivi e poi...i risultati verranno pari pari ai precedenti tranne per il valore di $A$ che va diviso rispetto al precedente per il fattore $alpha*beta$; infatti in tal caso $f_(X Y)(x,y)=(dF_(X Y)(x,y))/(dxdy)=A*alpha*beta*e^(-alpha*x)*e^(-beta*y)$ per cui questa pdf è pari alla precedente ma moltiplicata per $alpha*beta$.
Quindi se $f_(X Y)(x,y)$ la consideri come pdf i risultati sono:
$A=beta(alpha+beta)$
$f_X(x)=(alpha+beta)e^(-(alpha+beta)x)u(x)$ da cui
$f_(Y|X)(y|x)=(f_(X Y)(x,y))/(f_X(x))=beta*e^(-beta(y-x))$

Se $f_(X Y)(x,y)$ la consideri come cdf i risultati sono:
$A=(alpha+beta)/(alpha)$
$f_X(x)=(alpha+beta)e^(-(alpha+beta)x)u(x)$ da cui
$f_(Y|X)(y|x)=(f_(X Y)(x,y))/(f_X(x))=beta*e^(-beta(y-x))$