Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo2]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2 Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

[_Tipper]

Infatti non servono per calcolare la varianza (in questo caso la deviazione standard). Semplicemente, qualche post più su, mi aveva detto che aveva forti dubbi sulle formule per calcolare i valor medi.

[_nicola de rosa]

"Tipper":Suppongo che la densità di probabilità congiunta sia $f_{X,Y}(x,y)=2xe^{-\beta y}\beta^2$.

Le prime tre vanno bene, le ultime due, almeno a occhio, no:

$E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx$

$E[Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy$

PS: Negli integrali che hai scritto mancano un po' di differenziali...

in realtà facendo bene i conti si trova $f_(XY)(x,y)=beta^3*x*e^(-beta*y)$
Ora per le marginali $f_X(x)=int_{x}^{+infty}f_(XY)(x,y)dy=beta^2*x*e^(-beta*x)*u(x)$ mentre $f_Y(y)=int_{0}^{y}f_(XY)(x,y)dx=1/2*beta^3*y^2*e^(-beta*y)*u(y)$ con $u(x)={(1,,x>0),(0,,x<0):}$ e queste sono valide pdf marginali.
In tal modo si trova
$E[X+Y]=int int _D(x+y)f_(XY)(x,y)dxdy=5/(beta),E[(X+Y)^2]=int int _D(x+y)^2f_(XY)(x,y)dxdy=34/(beta^2)$ $->$ $Var[X+Y]=34/(beta^2)-25/(beta^2)=9/(beta^2)->sigma_Z=sqrt(Var[Z])=3/(beta)$
tali risultati sono ovviamente identici anche se fai uso delle marginali. infatti in tal caso si ha:
1)$E[X]=int_{0}^{+infty}x*f_X(x)dx=2/(beta),E[X^2]=int_{0}^{+infty}x^2*f_X(x)dx=6/(beta^2)->Var[X]=E[X^2]-E^2[X]=6/(beta^2)-4/(beta^2)=2/(beta^2)$
2)$E[Y]=int_{0}^{+infty}y*f_Y(y)dy=3/(beta),E[Y^2]=int_{0}^{+infty}y^2*f_Y(y)dy=12/(beta^2)->Var[Y]=E[Y^2]-E^2[Y]=12/(beta^2)-9/(beta^2)=3/(beta^2)$
3)$E[XY]=int int _Dxy^2f_(XY)(x,y)dxdy=8/(beta^2)->Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=8/(beta^2)-6/(beta^2)=2/(beta^2)$
4)$E[X+Y]=E[X]+E[Y]=2/(beta)+3/(beta)=5/(beta),E[(X+Y)^2]=E[X^2]+E[Y^2]+2*E[XY]=6/(beta^2)+12/(beta^2)+2*8/(beta^2)=34/(beta^2)$
Da ciò ricordando che $Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2*Cov(X,Y)$ si ha $Var[X+Y]=2/(beta^2)+3/(beta^2)+2*2/(beta^2)=9/(beta^2)$ da cui $sigma_Z=sqrt(Var[Z])=sqrt(9/(beta^2))=3/(beta)$.

Abbiamo ottenuto così gli stessi risultati di prima usando ora le marginali, mentre prima avevamo usato solo la congiunta.

[_Tipper]

"nicola de rosa":[quote="Tipper"]Suppongo che la densità di probabilità congiunta sia $f_{X,Y}(x,y)=2xe^{-\beta y}\beta^2$.

Le prime tre vanno bene, le ultime due, almeno a occhio, no:

$E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx$

$E[Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy$

PS: Negli integrali che hai scritto mancano un po' di differenziali...

in realtà facendo bene i conti si trova $f_(XY)(x,y)=beta^3*x*e^(-beta*y)$[/quote]
Beh, io non ho fatto i conti, per la densità di probabilità congiunta mi sono fidato di quello che aveva scritto Bartolomeo.

[Bartolomeo2]

Aaaalt..... riscrivo tutto... che onestamente non ho capito niente di quello che vi siete detti...

allora... la mia funzione densità di probabilità è la seguente $f(x,y) = Kxe^(-beta(y-1))$ con $0
Intanto scrivo la mia densità di probabilità congiunta (metto i numeri all'inizio così poi potete indicarmi la riga in cui sbaglio):

1) --> $k:k*int_o^(+oo) int_o^y xe^(-beta(y-1)) dxdy = 1$

2) --> $k*int_o^(+oo) [1/2x^2e^(-beta(y-1))]_0^y dx = 1$

3) --> $k*int_o^(+oo) 1/2y^2e^(-beta(y-1)) dx = 1$

4) --> $1/2ke^beta*int_o^(+oo) y^2e^(-betay) dx = 1$

5) --> $1/2ke^beta*[-1/betay^2e^(-betay)-2/(beta^2)ye^(-betay)-2/(beta^3)e^(-betay)]_0^(+oo) = 1$

6) --> $1/2ke^beta*2/(beta^3) = 1$

7) --> $k(e^beta)/(beta^3)=1$

8) --> $k=(beta^3)/(e^beta)$

Ah no ecco... mi sa che ora è giusto.. allora... la densità di probabilità congiunta è:

9) --> $f_(XY)(x,y)= (beta^3)/(e^beta)xe^(-beta(y-1)) = beta^3 x e^(-betay)$

Ora ricalcolo la mia media $E[Z] = E[X+Y]$

10) --> $E[Z]=int_0^(+oo)int_0^ybeta^3(x+y)xe^(-betay)dxdy =$

11) -->$=beta^3int_0^(+oo)int_0^y (x^2e^(-betay)+xye^(-betay))dxdy =$

12) -->$=beta^3int_0^(+oo)[(1/3x^3e^(-betay)+1/2x^2ye^(-betay))]_0^ydy =$

13) -->$=beta^3int_0^(+oo)(1/3y^3e^(-betay)+1/2y^3e^(-betay))dy =$

14) -->$=5/6beta^3int_0^(+oo)y^3e^(-betay)dy =$

15) -->$=5/6beta^3*[-1/betay^3e^(-betay)-3/beta^2y^2e^(-betay)-6/beta^3ye^(-betay)-6/beta^4e^(-betay)]_0^(+oo) =$

16) -->$=5/beta$

Questa è la media... mi pare combaci pure questa... (naturalmente tenendo conto che $beta>0$)

Ok se ci sono errori segnalatemi

Per quanto riguarda la deviazione standard ora...
spegatemi che non ho capito.. perchè non me ne devo fare nulla delle pdf visto che ho la congiunta??? solo perchè è più semplice? più sbrigativo???

grazie

[_Tipper]

Perché la varianza vale: $Var(Z)=E[Z^2]-E[Z]^2=E[(X+Y)^2]-E[X+Y]^2$. Ora, sia $E[(X+Y)^2]$ che $E[X+Y]$ si calcolano conoscendo la congiunta, in quanto $E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dxdy$.

[_nicola de rosa]

ti ho fatto vedere che i risultati combaciano sia se consideri che non le marginali, di cui per i tuoi scopi, cioè per il calcolo della deviazione standard di $Z=X+Y$, puoi fare tranquillamente a meno. ma se ti viene chiesto di calcolare pure le marginali te le ho calcolate ed i risultati ovviamente combaciano.

[Bartolomeo2]

ok vi ringrazio....

[Bartolomeo2]

facendo esercizi mi sono sorte un paio di domande....

1)una funzione CUMULATIVA è esattamente una funzione densità di probabilità???? (cioè devo utilizzare lo stesso metodo per risolvere l'esercizio?)

2) La probabilità condizionata della variabile y è $f(y|x)$ oppure $f(x|y)$ ???

3) (il piu lungo) Due v. a. X e Y, indipendenti, hanno una distribuzione esponenziale $f(x)=e^(-x)$ e $g(y)=e^(-y)$. Determinare la $h(z)$, $Z=X/Y$ e $P[1

grazie...

[_Tipper]

Se per funzione cumulativa intendi la funzione di distribuzione, allora posso dirti che la densità di probabilità è la derivata della funzione di distribuzione.

$f(x|y)$ è una funzione di $x$, in quanto $y$ è fissato, vale l'inverso per $f(y|x)$

Calcola la densità di probabilità della variabile aleatoria $\frac{1}{Y}$, moltiplicala per la densità di probabilità di $X$, in questo modo ottieni la densità di probabilità di $Z$.
Per calcolare $P(1

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[Bartolomeo2]

allora... ricominciamo.... vediamo quello che ho capito...

1) ho una funzione cumulativa.... la integro e trovo la funzione di distriubuzione... giusto?

2) La probabilità condizionata della variabile y è $f(y|x)$.. ho capito bene?

[_Tipper]

"Bartolomeo":1) ho una funzione cumulativa.... la integro e trovo la funzione di distriubuzione... giusto?

No, ti ho soltanto chiesto se con funzione cumulativa intendi la funzione di distribuzione di probabilità, cioè la funzione definita come $F_X(\xi)=P(X \le \xi)$.

[_Tipper]

"Bartolomeo":2) La probabilità condizionata della variabile y è $f(y|x)$.. ho capito bene?

Non capisco che vuol dire della variabile y... y è la variabile fissata, cioè nota, o meno?

[Bartolomeo2]

no ecco allora... il mio prof scrive:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle 2 variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = Ae^(-alphax)e^(-betay)$....etc etc

[_Tipper]

"Bartolomeo":no ecco allora... il mio prof scrive:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle 2 variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = Ae^(-alphax)e^(-betay)$....etc etc

Allora è $f(y|x)$, perché se $y$ è variabile significa che $x$ è fissata.

[Bartolomeo2]

e la funzione cumulativa??? devo integrarla o è la funzione di distribuzione di probabilità?

[_Tipper]

Io per funzione cumulativa ho sempre inteso la funzione di distribuzione, ma scritta in quel modo mi sembra più una densità... Sul testo la funzione è scritta con una f minuscola o maiuscola?

[Bartolomeo2]

minuscola... esattamente per come è scritta sopra...

non so proprio come comportarmi...

[_nicola de rosa]

Ti calcolo la $F_Z(z)=Pr(Z<=z)$ e $f_Z(z)=(dF_Z(z))/(dz)$ nel caso $Z=X/Y$ e poi la particolarizzerò al caso esponenziale.
$F_Z(z)=Pr(Z<=z)=Pr(X/Y<=z)$
Ora la disuguaglianza $x/y<=z={(x<=zy,,y>0),(x>=zy,,y<0):}$ da cui
$F_Z(z)=int_{0}^{+infty}dyint_{-infty}^{zy}f_(XY)(x,y)dx+int_{-infty}^{0}dyint_{zy}^{+infty}f_(XY)(x,y)dx$.
Ora $f_Z(z)=(dF_Z(z))/(dz)=int_{0}^{+infty}yf_(XY)(zy,y)dy-int_{-infty}^{0}yf_(XY)(zy,y)dy=int_{-infty}^{+infty}|y|f_(XY)(zy,y)dy$

Ti fornisco un ulteriore metodo per calcolare $f_Z(z)$ utilizzando il metodo della variabile ausiliaria, cioè aggiungendo una trasformazione fittizia, e come trasformazione fittizia introduciamo la trasformazione $W=Y$ per cui si hanno due trasformazioni:
${(Z=X/Y),(W=Y):}$ cioè ${(x=zw),(y=w):}$. Lo Jacobiano della trasformazione è $J(x,y)=(d(z,w))/(d(x,y))=[(1/y,-x/y^2),(0,1)]$ per cui $Det[J]=1/y=1/w$ ($Det[]$ indica il determinante dello iacobiano) per cui tramite il teorema di trasformazione di coppie di variabili aleatorie si ha $f_(ZW)(z,w)=|w|*f_(XY)(zw,w)$ per cui si trova $f_Z(z)=int_{-infty}^{+infty}|w|*f_(XY)(zw,w)dw=int_{-infty}^{+infty}|y|f_(XY)(zy,y)dy$ dal momento che $w=y$, e troviamo un risultato già trovato precedentemente.

Nel caso particolare $f_X(x)=e^(-x)u(x),f_Y(y)=e^(-y)u(y)$ ed essendo indipendenti
$f_(XY)(zy,y)=e^(-zy)*e^(-y)u(zy)u(y)$.
Ora poichè $y>0$ allora $u(zy)u(y)={(1,,z>0),(0,,z<0):}$ per cui $u(zy)u(z)=u(z)$ da cui
$f_Z(z)=int_{0}^{+infty}ye^(-zy)*e^(-y)u(z)dy=u(z)int_{0}^{+infty}ye^(-y(1+z))dy=u(z)*[-y/(z+1)e^(-y(1+z))-1/(z+1)^2e^(-y(1+z))]_{0}^{+infty}$=$1/(z+1)^2u(z)$ per cui
$Pr(1<=Z<=2)=int_{1}^{2}1/(z+1)^2dz=[-1/(z+1)]_{1}^{2}=1/2-1/3=1/6$

[_nicola de rosa]

Calcola la densità di probabilità della variabile aleatoria $\frac{1}{Y}$, moltiplicala per la densità di probabilità di $X$, in questo modo ottieni la densità di probabilità di $Z$.

sei sicuro?

[Bartolomeo2]

Fatemi sapere

PS.: @ Nicola de rosa: sai rispondermi alla prima domanda??? grazie...