Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo2]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2 Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

[Bartolomeo2]

cavolo... allora ho sbagliato anche l'esericizio precedente.... grazie ancora...

[Bartolomeo2]

Calcolo della varianza... allora... nel libro che ho (che non è universitario visto quelli universitari non erano disponibili e non li ho potuti comprare) mi fa vedere il calcolo della varianza... però il metodo che c'è scritto sul libro lo potrei applicare se io avessi una tabella con dei valori... quindi mi trovo in difficoltà...

Allora... data la funzione densità di probabilità $f(x,y)=A(x-y)(2-x)$ con $0
Allora deduco che al solito mi devo trovare il valore di A... da ui posso avere il valore di $f_(XY)(x,y)$, $f_X(x)$ e di $f_Y(y)$
calcolo la media... e poi per la varianza che devo fare?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Calcolo della varianza... allora... nel libro che ho (che non è universitario visto quelli universitari non erano disponibili e non li ho potuti comprare) mi fa vedere il calcolo della varianza... però il metodo che c'è scritto sul libro lo potrei applicare se io avessi una tabella con dei valori... quindi mi trovo in difficoltà...

Allora... data la funzione densità di probabilità $f(x,y)=A(x-y)(2-x)$ con $0
Allora deduco che al solito mi devo trovare il valore di A... da ui posso avere il valore di $f_(XY)(x,y)$, $f_X(x)$ e di $f_Y(y)$
calcolo la media... e poi per la varianza che devo fare?

La varianza di una v.a $X$ è pari a :$Var[X]=E[X^2]-E^2[X]$ cioè il valore quadratico medio ($E[X^2]$) meno la media al quadrato ($E^2[X]$). Nel tuo caso puoi procedere in due modi:
1)$E[X+Y]=int int_D(x+y)f_(XY)(x,y)dxdy$ $D={(x,y) in RR^2|0 $Var[X+Y]=E[(X+Y)^2]-E^2[X+Y]$ con $E[(X+Y)^2]=int int_D(x+y)^2f_(XY)(x,y)dxdy$
$D={(x,y) in RR^2|0 cioè in ambo i casi è l'applicazione del teorema per il calcolo della media, senza calcolare le pdf marginali ma usando solo la congiunta.

Secondo modo di procedere:
$E[X+Y]=E[X]+E[Y]=int_{-infty}^{+infty}xf_X(x)dx+int_{-infty}^{+infty}yf_Y(y)dy$ tenendo presente il dominio di definizione delle pdf marginali, che in tal caso ti servono. Analogamente si dimostra che (se vuoi te lo faccio)
$Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2Cov(X,Y),Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]*E[Y]$ ed hai bisogno delle pdf marginali.

[Bartolomeo2]

ti ringrazio... magari prima provo solo così non ti disturbo troppo... però se vuoi...

solo una cosa... che ho ancora un pò di confusione.. nell'esercizio di prima il mio dominio era $0
Poi però per trovare $f_X(x)$ e $f_Y(y)$ hai scritto così:

$f_X(x)=int_{x}^{+infty}8x^2*e^(-2y)dy$ e $f_Y(y)=int_{0}^{y}8x^2*e^(-2y)dx$

quindi.. la cosa che non capisco è come mai c'è questa differenza tra la definizione dei doini e gli estremi dell'integrale??

e un altra cosa la media $E[Y]$... qui l'integrale dev'essere tra 0 e $+oo$ vero?
grazie...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ti ringrazio... magari prima provo solo così non ti disturbo troppo... però se vuoi...

solo una cosa... che ho ancora un pò di confusione.. nell'esercizio di prima il mio dominio era $0
Poi però per trovare $f_X(x)$ e $f_Y(y)$ hai scritto così:

$f_X(x)=int_{x}^{+infty}8x^2*e^(-2y)dy$ e $f_Y(y)=int_{0}^{y}8x^2*e^(-2y)dx$

quindi.. la cosa che non capisco è come mai c'è questa differenza tra la definizione dei doini e gli estremi dell'integrale??

e un altra cosa la media $E[Y]$... qui l'integrale dev'essere tra 0 e $+oo$ vero?
grazie...

il dominio io l'ho decomposto in $0 Poi è ovvio che una volta che hai calcolato $f_X(x)$ che significa che essa è definita in $0

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[Bartolomeo2]

"nicasamarciano":
il dominio io l'ho decomposto in $0

Ma il dominio iniziale... quello per trovare $f_(XY)$ comunque non può essere suddiviso in quella maniera.. se no non riuscirei a trovare K... successivamente l'hai diviso.. così giusto?

P.S.: Ora provo a fare il disegno...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":[quote="nicasamarciano"]
il dominio io l'ho decomposto in $0

Ma il dominio iniziale... quello per trovare $f_(XY)$ comunque non può essere suddiviso in quella maniera.. se no non riuscirei a trovare K... successivamente l'hai diviso.. così giusto?

P.S.: Ora provo a fare il disegno...[/quote]
sì volevo dire che i miei estremi di integrazione sono stati $0

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[Bartolomeo2]

mamma mia è sottilissima.... mi mette una confusione... per quanto riguarda il grafico... allora.. il dominio dovrebbe essere tutta quella parte del piano che sta sopra la bisettrice... (bisettrice esclusa)... dovrebbe essere così...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":mamma mia è sottilissima.... mi mette una confusione... per quanto riguarda il grafico... allora.. il dominio dovrebbe essere tutta quella parte del piano che sta sopra la bisettrice... (bisettrice esclusa)... dovrebbe essere così...

ecco per cui alla fine le pdf entrambe sono definite in $(0,+infty)$. Risolto questo problema devi trovare gli estremi di integrazione, e questi li ricavi dal dominio $0

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[Bartolomeo2]

ok graize...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ok graize...

figurati, l'importante è che l'hai capito.

[Bartolomeo2]

la deviazione standard è la varianza no?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":la deviazione standard è la varianza no?

è la radice quadrata della varianza

[Bartolomeo2]

ah quindi sarebbe lo scarto quadratico medio ma con un altro nome... grazie ancora ...

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":ah quindi sarebbe lo scarto quadratico medio ma con un altro nome... grazie ancora ...

$sigma_X=sqrt(sigma_(X)^2)=sqrt(E[(X-mu_X)^2])$

[Bartolomeo2]

Allora... penso di essere diventato bravo ... spero... mando un esercizio completo così se è corretto non rompo più con queste funzioni...

$f(x)=K(-x^2+2x+8)$ con $-2 le x le 4$

Devo calcolare $Y=x^2+10$

Cominciamo...

$K:K*int_(-2)^4(-x^2+2x+8)dx=1$
$K*[-1/3x^3+x^2+8x]_(-2)^4=K*(-64/3+16+32-8/3-4+16)=K*(60-24)=36K=1$ Da qui $K=1/36$

Ora devo calcolare $Y=x^2+10$ -> $y=x^2+10$

Quindi $f_X(x)=1/36(-x^2+2x+8)$
Calcolo $g'(x)$... quindi:

$g(x)=Y=y=x^2+10$
$g'(x)=2x$

Mi ricavo anche $x$ -> $x=sqrt(y-10)$

A questo punto posso calcolare la $f_Y(y)$
$F_Y(y)=(1/36(-x^2+2x+8))/(|2x|)=(-x^2+2x+8)/(72|x|)=(-y+18+2sqrt(y-10))/(72sqrt(y-10))$

Ora devo vedere il suo campo di variabilità... inzialmente era $-2 le x le 4$
quindi
$-2 le sqrt(y-10) le 4$
$4 le y-10 le 16$
$16 le y le 26$

Soluzione:

$F_Y(y)=(-y+18+2sqrt(y-10))/(72sqrt(y-10))$ con $16 le y le 26$

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Allora... penso di essere diventato bravo ... spero... mando un esercizio completo così se è corretto non rompo più con queste funzioni...

$f(x)=K(-x^2+2x+8)$ con $-2 le x le 4$

Devo calcolare $Y=x^2+10$

Cominciamo...

$K:K*int_(-2)^4(-x^2+2x+8)dx=1$
$K*[-1/3x^3+x^2+8x]_(-2)^4=K*(-64/3+16+32-8/3-4+16)=K*(60-24)=36K=1$ Da qui $K=1/36$

Ora devo calcolare $Y=x^2+10$ -> $y=x^2+10$

Quindi $f_X(x)=1/36(-x^2+2x+8)$
Calcolo $g'(x)$... quindi:

$g(x)=Y=y=x^2+10$
$g'(x)=2x$

Mi ricavo anche $x$ -> $x=sqrt(y-10)$

A questo punto posso calcolare la $f_Y(y)$
$F_Y(y)=(1/36(-x^2+2x+8))/(|2x|)=(-x^2+2x+8)/(72|x|)=(-y+18+2sqrt(y-10))/(72sqrt(y-10))$

Ora devo vedere il suo campo di variabilità... inzialmente era $-2 le x le 4$
quindi
$-2 le sqrt(y-10) le 4$
$4 le y-10 le 16$
$16 le y le 26$

Soluzione:

$F_Y(y)=(-y+18+2sqrt(y-10))/(72sqrt(y-10))$ con $16 le y le 26$

$y=x^2+10->x=+-sqrt(y-10)$ e sono entrambe accettabili, in particolare per $-2 Ora se $-2-2<-sqrt(y-10)<0->010 se $0010 Per cui dobbiamo considerare separatamente i due intervalli $10 $f_Y()=(1/36(-x^2+2x+8))/(2|x|)rect((y-12)/4)_(x=-sqrt(y-10))+(1/36(-x^2+2x+8))/(2|x|)rect((y-18)/16)_(x=+sqrt(y-10))$=
$1/72*(-y+10-2sqrt(y-10)+8)/(sqrt(y-10))rect((y-12)/4)+1/72*(-y+10+2sqrt(y-10)+8)/(sqrt(y-10))rect((y-18)/16)$=
$1/72*(18-y-2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))rect((y-12)/4)+1/72*(18-y+2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))rect((y-18)/16)$

Tuttavia possiamo scrivere la pdf in un modo alternativo ancora. infatti possiamo suddividere l'intervallo $10 $f_Y(y)=1/36*(18-y)/(sqrt(y-10))rect((y-12)/4)+1/72*(18-y+2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))rect((y-20)/12)$

Il secondo modo è più elegante perchè scrive la pdf come somma di due contributi in due intervalli disgiunti, mentre nel primo caso i due intervalli si sovrapponevano. comunque sono due modi di scrivere la pdf, ma sono analoghi. Infatti l'area sottesa è sempre 1.

La pdf che tu avevi trovato non soddisfa che l'area sottesa è 1, e questo è un indice di errore commesso nel calcolo della pdf stessa, o degli estremi di definizione.

[Bartolomeo2]

cavolacccio... grazie.... ancora una volta gentilissimo...

[Bartolomeo2]

"nicasamarciano":$f_Y(y)=1/36*(18-y)/(sqrt(y-10))rect((y-12)/4)+1/72*(18-y+2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))rect((y-20)/12)$

equivale a dire

$f_Y(y)=1/36*(18-y)/(sqrt(y-10))+1/72*(18-y+2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))$ con $10 le y le 26$???

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":[quote="nicasamarciano"]$f_Y(y)=1/36*(18-y)/(sqrt(y-10))rect((y-12)/4)+1/72*(18-y+2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))rect((y-20)/12)$

equivale a dire

$f_Y(y)=1/36*(18-y)/(sqrt(y-10))+1/72*(18-y+2sqrt(y-10))/(sqrt(y-10))$ con $10 le y le 26$???[/quote]
NOOOOOO! perchè il primo contributa vale in un intervallo ed il secondo in un altro. infatti se provi a fare come hai detto tu, vedrai che l'area sottesa non è 1