Preparandosi alla NORMALE
Bè...è una calda mattina d'estate...e io cosa posso fare di bello? Mi vedo qualche prova della Normale
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza $d$ dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono di $k$, l'area del triangolo diminuisce di $m^2$. (Si indichino con $x$ e $y$, ponendo $x>y$, le misure ignote dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema.
ma secondo voi cos'è $m^2$?A cosa si riferisce?Deve essere un quadrato perfetto?
Va bè a questo punto vi faccio vedere come ho ragionato:
Dice di scrivere il problema algebricamente in un sistema misto...lo faccio
$x>Y$
$((x-k)(y-k))/2=A-m^2$
in base a quello che ho scritto vado avanti nell'equazione, sapendo che
$A=xy/2$
sostituisco ed esplicito $m^2$ (qualsiasi cosa sia)
$m^2=k/2(y+x-k)$
e adesso?
Come procedo?
Cosa dovrei dimostrare?
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza $d$ dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono di $k$, l'area del triangolo diminuisce di $m^2$. (Si indichino con $x$ e $y$, ponendo $x>y$, le misure ignote dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema.
ma secondo voi cos'è $m^2$?A cosa si riferisce?Deve essere un quadrato perfetto?
Va bè a questo punto vi faccio vedere come ho ragionato:
Dice di scrivere il problema algebricamente in un sistema misto...lo faccio
$x>Y$
$((x-k)(y-k))/2=A-m^2$
in base a quello che ho scritto vado avanti nell'equazione, sapendo che
$A=xy/2$
sostituisco ed esplicito $m^2$ (qualsiasi cosa sia)
$m^2=k/2(y+x-k)$
e adesso?
Come procedo?
Cosa dovrei dimostrare?
Risposte
"angus89":
allora vediamo un pò...stai affermando che i divisori di $x+y$ sono gli stessi di $x^p+Y^p$...
ma come lo dimostri...certo questo vale se diciamo che i divisori di $x$ sono gli stessi di $x^p$...ma per una somma non sò...o almeno dimostramelo...
ammesso che sia anche così...
E' giusto.
Poichè vale
$x^p+y^p=(x+y)*sum_(k=0)^(n-1) (-1)^k*x^(n-k-1)*y^k$
Allora se un numero divide $x+y$, divide anche il primo membro (non è vero il viceversa).
"angus89":
[quote="fu^2"]se x è pari e y è dispari (o viceversa) $x^p+y^p$ sarà un numero dispari, formato dai divisori di x+y,
allora vediamo un pò...stai affermando che i divisori di $x+y$ sono gli stessi di $x^p+Y^p$...
ma come lo dimostri...certo questo vale se diciamo che i divisori di $x$ sono gli stessi di $x^p$...ma per una somma non sò...o almeno dimostramelo...
ammesso che sia anche così...
"angus89":
[quote="fu^2"]$x^p+y^p!=modp^z$ $AA_(x,y,p,zinNN$ con p primo.
Che vuol dire questo?
la sintassi non riesco a capirla...per caso volevi scrivere
$x^p+y^p!=p^z mod(di cosa?di p?)$
enche se fosse...cosa abbiamo dimostrato con ciò?
puoi chiarire questi punti?
[/quote]
semplicemente questa scrittura vuol dire che la divisione $(x^p+y^p)/p^z$ da sempre resto, in quanto i divisori del numeratore non può essere p.
mi sono accorto che manca uno zero la sintassi che volevo scrivere è $x^p+y^p!=0modp^z$ in quanto i divisori di $x^p+y^p$ come detto prima sono x+y e non p.
"angus89":[/quote]
ovvero
$2x^p=p^z$
che sinceramente mi sembra un'equazione troppo diversa da quella di partenza, pertanto non sarebbe una soluzione...non sò...fammi capire
sinceramente la soluzione la vedo come caso particoalre di quella data all'inizio. comunque sia la soluzione che ho trovato è valida, prova a sostituire...
anche se i test della NORMALE sono finiti, non facciamo morire questa discussione che di problemi simpatici alla portata di tutti ne stavano venendo fuori 
continuiamo a far vivere la discussione!
propongo un problemino:
quanti sono i numeri naturali n tali che n-52 e n+53 siano entrambi dei quadrati perfetti?
continuiamo a far vivere la discussione!
propongo un problemino:
quanti sono i numeri naturali n tali che n-52 e n+53 siano entrambi dei quadrati perfetti?
"fu^2":
anche se i test della NORMALE sono finiti, non facciamo morire questa discussione che di problemi simpatici alla portata di tutti ne stavano venendo fuori
continuiamo a far vivere la discussione!
propongo un problemino:
quanti sono i numeri naturali n tali che n-52 e n+53 siano entrambi dei quadrati perfetti?
Il ragionamento è lungo ma penso che vada:
$n+53-n+52= 105$ che è un numero dispari. Quindi i due quadrati dovranno essere necessariamente 1 pari e uno dispari. Poichè la differenza $k^2- (k-1)^2 $con n crescente da i numeri dispari in ordine crescente, una coppia di numeri si troverà sicuramente trovando i quadrati di due numeri consecutivi che danno come differenza $105$. Questi numeri sono 53 e 52. Ci ricaviamo n iniziale relativo a questi due numeri che è $2756$.
Ora per i numeri $>53$ la differenza tra un numero è il suo precedente diventa $>105$, quindi a maggior ragione $ L^2- (L-p)^2 $ con $p>1$ e $L>53$ sarà $>105$. Non ci resta che riflettere sui numeri $<53$.
Dobbiamo trovare altri numeri la cui differenza dei quadrati da $105$. Poichè i numeri devono essere uno pari e uno dispari (per la considerazione fatta all'inizio) non ci resta che cercare i numeri che rispondo a questa relazione:
$K^2-(K-M)^2 = 105$ Da qui possiamo ricavare la $N= K^2-53$
con $M $deve essere sempre un numero dispari $>1$ .
I calcoli sembrano lunghi, ma quando si fa il problema e ci si regola si snelliscono notevolmente
Le soluzioni che mi vengono sono :
$n1=2756$
$n2=308$
$n3=68$
$n4=116$
$n+53-n+52= 105$ che è un numero dispari. Quindi i due quadrati dovranno essere necessariamente 1 pari e uno dispari. Poichè la differenza $k^2- (k-1)^2 $con n crescente da i numeri dispari in ordine crescente, una coppia di numeri si troverà sicuramente trovando i quadrati di due numeri consecutivi che danno come differenza $105$. Questi numeri sono 53 e 52. Ci ricaviamo n iniziale relativo a questi due numeri che è $2756$.
Ora per i numeri $>53$ la differenza tra un numero è il suo precedente diventa $>105$, quindi a maggior ragione $ L^2- (L-p)^2 $ con $p>1$ e $L>53$ sarà $>105$. Non ci resta che riflettere sui numeri $<53$.
Dobbiamo trovare altri numeri la cui differenza dei quadrati da $105$. Poichè i numeri devono essere uno pari e uno dispari (per la considerazione fatta all'inizio) non ci resta che cercare i numeri che rispondo a questa relazione:
$K^2-(K-M)^2 = 105$ Da qui possiamo ricavare la $N= K^2-53$
con $M $deve essere sempre un numero dispari $>1$ .
I calcoli sembrano lunghi, ma quando si fa il problema e ci si regola si snelliscono notevolmente
Le soluzioni che mi vengono sono :
$n1=2756$
$n2=308$
$n3=68$
$n4=116$
Io ho ragionato così:
la mia soluzione è molto (anzi direi uguale) simile a quella di Laura.
infatti anche io ho ragionato così
il problema è che i calcoli sono tanti e lunghi... speravo di trovare una soluzione meno "calcolosa" va beh...
edit: klarence leggendo la tua ultima frase sembra che hai trovato modo di fare i calcoli in modo veloce, sbaglio? nel caso come hai fatto?
ps bella la tua soluzione!
infatti anche io ho ragionato così
il problema è che i calcoli sono tanti e lunghi... speravo di trovare una soluzione meno "calcolosa" va beh...
edit: klarence leggendo la tua ultima frase sembra che hai trovato modo di fare i calcoli in modo veloce, sbaglio? nel caso come hai fatto?
ps bella la tua soluzione!
"fu^2":
edit: klarence leggendo la tua ultima frase sembra che hai trovato modo di fare i calcoli in modo veloce, sbaglio? nel caso come hai fatto?
ps bella la tua soluzione!
Non è che sono proprio velocissimi, ma quando ad esempio prendi in considerazione la relazione k^2-(k-9)^2 e la differenza viene 500, non vai a considerare i numeri proprio precedenti ad essi, ma consideri numeri molto minori di quelli che ti danno come differenza 500. E se durante i calcoli le differenza diventa minore di 105 senza tuttavia assumere mai il valore 105, di certo non proseguo fino ad arrivare allo 0...
Non è facilissimo da spiegare così ma ti assicuro che i calcoli si snelliscono.
"fu^2":
la mia soluzione è molto (anzi direi uguale) simile a quella di Laura.
infatti anche io ho ragionato così
il problema è che i calcoli sono tanti e lunghi... speravo di trovare una soluzione meno "calcolosa" va beh...
edit: klarence leggendo la tua ultima frase sembra che hai trovato modo di fare i calcoli in modo veloce, sbaglio? nel caso come hai fatto?
ps bella la tua soluzione!
I sistemi non li devi risolvere completamente, ti basta sommare le 2 equazioni e trovare solo p o solo q; di conseguenza ricavi n.
P.S. si vede che i sistemi sono determinati.
"laura.todisco":
[quote="fu^2"]la mia soluzione è molto (anzi direi uguale) simile a quella di Laura.
infatti anche io ho ragionato così
il problema è che i calcoli sono tanti e lunghi... speravo di trovare una soluzione meno "calcolosa" va beh...
edit: klarence leggendo la tua ultima frase sembra che hai trovato modo di fare i calcoli in modo veloce, sbaglio? nel caso come hai fatto?
ps bella la tua soluzione!
I sistemi non li devi risolvere completamente, ti basta sommare le 2 equazioni e trovare solo p o solo q; di conseguenza ricavi n.
P.S. si vede che i sistemi sono determinati.
[/quote]
giusto!
Tratto dal test della normale di quest'anno:
-posto che $2a+3b$ è divisibile per $11$, mostrare che $a^2-5b^2$ è divisibile per $11$
p.s. importantissimo: $a$ e $b$ sono numeri interi
-posto che $2a+3b$ è divisibile per $11$, mostrare che $a^2-5b^2$ è divisibile per $11$
p.s. importantissimo: $a$ e $b$ sono numeri interi
Si ha per ipotesi
$2a+3b\equiv0(mod11)$
Per ovvi motivi risulterà vera anche
$(2a+3b)(2a-3b)\equiv0(mod11)$
Sviluppando
$4a^2-9b^2\equiv0(mod11)$
Moltiplichiamo per tre
$12a^2-27b^2\equiv0(mod11)$ (1)
e poichè è sicuramente vera
$11a^2-22b^2\equiv0(mod11)$ (2)
Possiamo sottrarre la (1) con la (2) e ottenere la tesi
$a^2-5b^2\equiv0(mod11)$
$2a+3b\equiv0(mod11)$
Per ovvi motivi risulterà vera anche
$(2a+3b)(2a-3b)\equiv0(mod11)$
Sviluppando
$4a^2-9b^2\equiv0(mod11)$
Moltiplichiamo per tre
$12a^2-27b^2\equiv0(mod11)$ (1)
e poichè è sicuramente vera
$11a^2-22b^2\equiv0(mod11)$ (2)
Possiamo sottrarre la (1) con la (2) e ottenere la tesi
$a^2-5b^2\equiv0(mod11)$
"+Steven+":
Si ha per ipotesi
$2a+3b\equiv0(mod11)$
Per ovvi motivi risulterà vera anche
$(2a+3b)(2a-3b)\equiv0(mod11)$
Sviluppando
$4a^2-9b^2\equiv0(mod11)$
Moltiplichiamo per tre
$12a^2-27b^2\equiv0(mod11)$ (1)
e poichè è sicuramente vera
$11a^2-22b^2\equiv0(mod11)$ (2)
Possiamo sottrarre la (1) con la (2) e ottenere la tesi
$a^2-5b^2\equiv0(mod11)$
Penso vada bene, ma c'è anche un'altra strada completamente diversa.
Puoi dirmi almeno la tipologia?
Cosa sfrutta? criteri di divisibilità, algebra, ecc...
ps: era un problema a se stante, o un "sotto problema"? Dimmi anche che numero era
Cosa sfrutta? criteri di divisibilità, algebra, ecc...
ps: era un problema a se stante, o un "sotto problema"? Dimmi anche che numero era
"+Steven+":
Puoi dirmi almeno la tipologia?
Cosa sfrutta? criteri di divisibilità, algebra, ecc...
ps: era un problema a se stante, o un "sotto problema"? Dimmi anche che numero era
Le domande che mi hai fatto a cosa si riferiscono?
Il problema che ho proposto era l'ultimo, il numero 5, ed era un problema a se stante.
Mi riferisco alla soluzione alternativa a cui alludevi.
Su cosa si fonda?
Mi pare di aver capito che sei andato a Pisa. Come ti è andata?
Su cosa si fonda?
Mi pare di aver capito che sei andato a Pisa. Come ti è andata?
"+Steven+":
Mi riferisco alla soluzione alternativa a cui alludevi.
Su cosa si fonda?
Mi pare di aver capito che sei andato a Pisa. Come ti è andata?
Diciamo che sfrutta per lo più l'algebra (pensa alle scomposizioni).
Però anzichè partire dalla relazione certa , cioè $2a+3b$ , parti da $a^2-5b^2$ e dimostra, sfruttando la prima relazione, che il numero che verrà deve essere necessariamente divisibile per 11.
p.s. si sono andato a Pisa. Matematica penso sia andata bene, ma Fisica è stata un disastro (vorrei vedere la faccia che il professore farà quando leggerà il mio compito...) .
p.p.s. rileggi il mio primo post, quello della traccia, ho aggiunto una ipotesi importante.
Da
$2a+3b=11k$
discende
$a=frac{11k-3b}{2}$
Pertanto risulta
$a^2-5b^2=frac{(11k-3b)^2}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk-20b^2}{4}=11cdotfrac{11k^2-b^2-6bk}{4}$
$2a+3b=11k$
discende
$a=frac{11k-3b}{2}$
Pertanto risulta
$a^2-5b^2=frac{(11k-3b)^2}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk-20b^2}{4}=11cdotfrac{11k^2-b^2-6bk}{4}$
"+Steven+":
Da
$2a+3b=11k$
discende
$a=frac{11k-3b}{2}$
Pertanto risulta
$a^2-5b^2=frac{(11k-3b)^2}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk}{4}-5b^2=frac{121k^2+9b^2-66bk-20b^2}{4}=11cdotfrac{11k^2-b^2-6bk}{4}$
Proprio quello che intendevo io, anche se la tua soluzione risulta + ''elegante''.
Proprio quello che intendevo io, anche se la tua soluzione risulta + ''elegante''.
Naa.
Tutto fumo e niente arrosto.
La seconda è più intuitiva, era la prima cosa a cui dovevo pensare.
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