Preparandosi alla NORMALE
Bè...è una calda mattina d'estate...e io cosa posso fare di bello? Mi vedo qualche prova della Normale
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza $d$ dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono di $k$, l'area del triangolo diminuisce di $m^2$. (Si indichino con $x$ e $y$, ponendo $x>y$, le misure ignote dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema.
ma secondo voi cos'è $m^2$?A cosa si riferisce?Deve essere un quadrato perfetto?
Va bè a questo punto vi faccio vedere come ho ragionato:
Dice di scrivere il problema algebricamente in un sistema misto...lo faccio
$x>Y$
$((x-k)(y-k))/2=A-m^2$
in base a quello che ho scritto vado avanti nell'equazione, sapendo che
$A=xy/2$
sostituisco ed esplicito $m^2$ (qualsiasi cosa sia)
$m^2=k/2(y+x-k)$
e adesso?
Come procedo?
Cosa dovrei dimostrare?
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza $d$ dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono di $k$, l'area del triangolo diminuisce di $m^2$. (Si indichino con $x$ e $y$, ponendo $x>y$, le misure ignote dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema.
ma secondo voi cos'è $m^2$?A cosa si riferisce?Deve essere un quadrato perfetto?
Va bè a questo punto vi faccio vedere come ho ragionato:
Dice di scrivere il problema algebricamente in un sistema misto...lo faccio
$x>Y$
$((x-k)(y-k))/2=A-m^2$
in base a quello che ho scritto vado avanti nell'equazione, sapendo che
$A=xy/2$
sostituisco ed esplicito $m^2$ (qualsiasi cosa sia)
$m^2=k/2(y+x-k)$
e adesso?
Come procedo?
Cosa dovrei dimostrare?
Risposte
eh ma comunque c'è il truccaccio, che @melia ha sistemato 
le 2005 volte sono coincidenti. non ti si chiede un polinomio che abbia 2005 radici coincidenti, è troppo facile.
ovviamente devono essere distinti i punti in cui assume il valore 2005.
le 2005 volte sono coincidenti. non ti si chiede un polinomio che abbia 2005 radici coincidenti, è troppo facile.
ovviamente devono essere distinti i punti in cui assume il valore 2005.
Ciao a tutti.
Questo problema dell'ammissione alla SNS di Pisa ed è già stato discusso poche pagine prima.
Volevo proporre una mia soluzione, dato che potrebbe essere l'unico tra tutti i problemi della SNS che per ora (forse) sono in grado di svolgere.
Sia $T$ un triangolo avente lati di lunghezza $a,b,c$ e siano $h_a$ ,$h_b$ ,$h_c$ le
altezze rispettive. Indicata con $A$ l'area del triangolo, si mostri che se vale l’equazione
$6A=a⋅h_b +b⋅h_c +c⋅h_a$
allora $T$ è un triangolo equilatero.
Ecco qua:
Ipotesi: $gamma:$ $6A=a⋅h_b +b⋅h_c +c⋅h_a$
Tesi: $a=b=c$
Sostituisco nell'equazione $gamma$ le altezze $h_b=(2A)/b, h_c=(2A)/c, h_a=(2A)/a$ e ottengo $6A=a((2A)/b) +b((2A)/c) +c((2A)/a)$
Dividendo ambo i membri per $2A$ risulta $a/b+b/c+c/a=3$
Che è uguale a $a/b+b/c+c/a=1+1+1$ e si ottiene sempre un' identità per $a/b=b/c=c/a=1$
Questa deduzione sinora non esclude tuttavia che possa esistere un triangolo scaleno, isoscele o rettangolo le cui proprietà rispettino l'equazione $gamma$.
Quindi, poichè $a,b,c in RR^+$, allora possiamo considerare il caso in cui $a=n, b=n+k,c=n+t$ con $a<=b
Quindi ho $n/(n+k)+(n+k)/(n+t)+(n+t)/n=3$ da cui voglio ricavare $n$ (che è il lato $a$ di $T$).
Segue: $(n^2+nt)n+(n^2+nk)(n+k)+(n+t)^2(n+k)=3n(n+k)(n+t)$
Svolgendo i calcoli si ottiene $nk^2-nkt+nt^2+t^2k=0$
$nk^2-nkt+nt^2=-t^2k$
$n(k^2-kt+t^2)=-t^2k$ $n=-(t^2k)/(k^2-kt+t^2)$ ma $-(t^2k)/(k^2-kt+t^2)$ è sempre negativo poichè il denominatore non può essere negativo ($k^2+t^2
Per $n<0$ avremmo il lato $a<0$ $rArr$ Assurdo.
Pertanto se vale l'equazione $gamma$ $rArr$ $a=b=c$.
Corretto?
Grazie in anticipo
Andrea R.
Questo problema dell'ammissione alla SNS di Pisa ed è già stato discusso poche pagine prima.
Volevo proporre una mia soluzione, dato che potrebbe essere l'unico tra tutti i problemi della SNS che per ora (forse) sono in grado di svolgere.
Sia $T$ un triangolo avente lati di lunghezza $a,b,c$ e siano $h_a$ ,$h_b$ ,$h_c$ le
altezze rispettive. Indicata con $A$ l'area del triangolo, si mostri che se vale l’equazione
$6A=a⋅h_b +b⋅h_c +c⋅h_a$
allora $T$ è un triangolo equilatero.
Ecco qua:
Ipotesi: $gamma:$ $6A=a⋅h_b +b⋅h_c +c⋅h_a$
Tesi: $a=b=c$
Sostituisco nell'equazione $gamma$ le altezze $h_b=(2A)/b, h_c=(2A)/c, h_a=(2A)/a$ e ottengo $6A=a((2A)/b) +b((2A)/c) +c((2A)/a)$
Dividendo ambo i membri per $2A$ risulta $a/b+b/c+c/a=3$
Che è uguale a $a/b+b/c+c/a=1+1+1$ e si ottiene sempre un' identità per $a/b=b/c=c/a=1$
Questa deduzione sinora non esclude tuttavia che possa esistere un triangolo scaleno, isoscele o rettangolo le cui proprietà rispettino l'equazione $gamma$.
Quindi, poichè $a,b,c in RR^+$, allora possiamo considerare il caso in cui $a=n, b=n+k,c=n+t$ con $a<=b
Quindi ho $n/(n+k)+(n+k)/(n+t)+(n+t)/n=3$ da cui voglio ricavare $n$ (che è il lato $a$ di $T$).
Segue: $(n^2+nt)n+(n^2+nk)(n+k)+(n+t)^2(n+k)=3n(n+k)(n+t)$
Svolgendo i calcoli si ottiene $nk^2-nkt+nt^2+t^2k=0$
$nk^2-nkt+nt^2=-t^2k$
$n(k^2-kt+t^2)=-t^2k$ $n=-(t^2k)/(k^2-kt+t^2)$ ma $-(t^2k)/(k^2-kt+t^2)$ è sempre negativo poichè il denominatore non può essere negativo ($k^2+t^2
Per $n<0$ avremmo il lato $a<0$ $rArr$ Assurdo.
Pertanto se vale l'equazione $gamma$ $rArr$ $a=b=c$.
Corretto?
Grazie in anticipo
Andrea R.
Mi pare di sì.
Grazie
"angus89":
Allora...ho trovato un problema che almeno per me è proprio tosto...non riesco ad attaccarlo...ecco qui
anno 1983/1984 quesito 3
Siano $a$ e $b$ due numeri razionali positivi tali che $a+b=1$; provare la disugualianza
$(a+2/2)^2+(b+2/b)^2<=81/2$
Per quali valori di $a$ e $b$ vale il segno di uguale?
Ok...provare che la disugualianza sia sempre valida magari alla fine riesco anche a dimostrarlo...
Ma trovare quando vale l'ugualianza è un'impresa...
In pratica è una caccia agli zeri, ma aimè si arriva ad un'equazione di 6 grado...
Ho provato a trovare gli zeri per sostituzione per poi usare Ruffini ma niente...
Come posso trovare gli zeri?
C'è qualche metodo che non conosco?
Come si risolve questo esercizio?
anche se quest'esercizio risale ai tempi di Mosè vorrei dare una soluzione anche io XD
comunque a mio avviso è strabiliante che ci si riesca anche maggiorando i termini
iltesto del N3 dell'AA 1983/84
chiede di provare che per a e b positivi e tali che a+b=1, allora
(1) (a+2/a)^2+(b+2/b)^2 >= 81/2
Dalla diseguaglianza tra media armonica e media geometrica si ricava che 1>= 4ab.
Trasformando la (1) usando la (a+b)^2=1, si arriva alla seguente
(1-2ab)(1+(2/(ab))^2)+8 >=81/2
che è facilmente verificata.
chiede di provare che per a e b positivi e tali che a+b=1, allora
(1) (a+2/a)^2+(b+2/b)^2 >= 81/2
Dalla diseguaglianza tra media armonica e media geometrica si ricava che 1>= 4ab.
Trasformando la (1) usando la (a+b)^2=1, si arriva alla seguente
(1-2ab)(1+(2/(ab))^2)+8 >=81/2
che è facilmente verificata.
"sprmnt21":
iltesto del N3 dell'AA 1983/84
chiede di provare che per a e b positivi e tali che a+b=1, allora
$(1) (a+2/a)^2+(b+2/b)^2 >= 81/2$
Dalla diseguaglianza tra media armonica e media geometrica si ricava che $1>= 4ab$.
Trasformando la (1) usando la $(a+b)^2=1$, si arriva alla seguente
$(1-2ab)(1+(2/(ab))^2)+8 >=81/2$
che è facilmente verificata.
Un modo leggermente diverso è il seguente (si fa uso dell'ipotesi a+b=1 e delle classiche diseguaglianza tra media quadratica, aritmetica, geometrica, armonica):
$(a+2/a)^2+(b+2/b)^2 >=$
$>= 2 ((a+2/a+b+2/b)/2)^2 =2(1/2+1/a+1/b)^2 >=$
$>= 2(1/2+2sqrt{ab})^2 >=$
$>= 2(1/2 + 4)^2 = 81/2$
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