Preparandosi alla NORMALE
Bè...è una calda mattina d'estate...e io cosa posso fare di bello? Mi vedo qualche prova della Normale
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza $d$ dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono di $k$, l'area del triangolo diminuisce di $m^2$. (Si indichino con $x$ e $y$, ponendo $x>y$, le misure ignote dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema.
ma secondo voi cos'è $m^2$?A cosa si riferisce?Deve essere un quadrato perfetto?
Va bè a questo punto vi faccio vedere come ho ragionato:
Dice di scrivere il problema algebricamente in un sistema misto...lo faccio
$x>Y$
$((x-k)(y-k))/2=A-m^2$
in base a quello che ho scritto vado avanti nell'equazione, sapendo che
$A=xy/2$
sostituisco ed esplicito $m^2$ (qualsiasi cosa sia)
$m^2=k/2(y+x-k)$
e adesso?
Come procedo?
Cosa dovrei dimostrare?
Bè io ho cominciato da questa, ma la traccia è alquanto ambigua e arrivare ad una soluzione sembra difficile...
Ecco il problema
Impostare algebricamente, in modo completo, il seguete problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazioni(almeno una delle une e una delle altre) che sia equivalente al problema stesso.
Problema: Costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza $d$ dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono di $k$, l'area del triangolo diminuisce di $m^2$. (Si indichino con $x$ e $y$, ponendo $x>y$, le misure ignote dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema.
ma secondo voi cos'è $m^2$?A cosa si riferisce?Deve essere un quadrato perfetto?
Va bè a questo punto vi faccio vedere come ho ragionato:
Dice di scrivere il problema algebricamente in un sistema misto...lo faccio
$x>Y$
$((x-k)(y-k))/2=A-m^2$
in base a quello che ho scritto vado avanti nell'equazione, sapendo che
$A=xy/2$
sostituisco ed esplicito $m^2$ (qualsiasi cosa sia)
$m^2=k/2(y+x-k)$
e adesso?
Come procedo?
Cosa dovrei dimostrare?
Risposte
"cdr89":
l'ultimo problema l'ho risolto "ad okkio"
$x=y=z=1$ e $p=2$
ma forse non è l'unica soluzione...
Come hai fatto a risolverlo "ad occhio"? Hai dato un'occhiata al link con la soluzione che ho postato?
"TomSawyer":
[quote="cdr89"]l'ultimo problema l'ho risolto "ad okkio"
$x=y=z=1$ e $p=2$
ma forse non è l'unica soluzione...
Come hai fatto a risolverlo "ad occhio"? Hai dato un'occhiata al link con la soluzione che ho postato?[/quote]
ora si ^_^ ho visto che anche +Steven+ ha postato la mia stessa soluzione...
cmq ho sostituito a p il primo numero primo, cioè 2, l'ho partizionato in 1+1
e c'è andato 
e cmq è solo 1 soluzione delle tante...
Pensavo avessi risolto ad occhio l'ultimo problema postato da digi88, cioè $x^p+y^p=p^z$.
@digi88
Come l'hai risolto tu? E' più lunga la tua soluzione di quella che ti ho linkato?
@digi88
Come l'hai risolto tu? E' più lunga la tua soluzione di quella che ti ho linkato?
"TomSawyer":
Pensavo avessi risolto ad occhio l'ultimo problema postato da digi88, cioè $x^p+y^p=p^z$.
@digi88
Come l'hai risolto tu? E' più lunga la tua soluzione di quella che ti ho linkato?
mi riferivo proprio a quello, ma è la soluzione + banale quella che ho dato!
Allora per evitare fraintendimenti, la prossima volta dì "ho trovato degli interi per cui vale quella roba", non "l'ho risolto", dato che si devono trovare tutti gli interi per cui vale quella roba .
.
"TomSawyer":
Allora per evitare fraintendimenti, la prossima volta dì "ho trovato degli interi per cui vale quella roba", non "l'ho risolto", dato che si devono trovare tutti gli interi per cui vale quella roba
OK
"TomSawyer":
Come l'hai risolto tu? E' più lunga la tua soluzione di quella che ti ho linkato?
La mia non è una soluzione
è una quasi soluzione:Ho diviso i casi $p=2$ e $p>2$.
i) Se $p=2$ allora $x^2 + y^2 =2^z$.
x e y possono essere o entrambi pari o entrambi dispari.
Se x e y dispari allora si ha che ponendo $x=2m+1$ e $y=2n +1$ e poi sviluppando:
$4(m^2+m+n^2+n) +2=2^z$.
E quindi $LHS\equiv 2(4)$ ma $2^z \equiv 2(4)$ se e solo se $z=1$ da cui si deriva che deve essere$m=n=0$ e ancora $x=y=1$. Quindi se x e y sono dispari sono uguali a uno. (Questa è la soluzione trovata ad occhio da cdr89)
Se x e y sono pari saranno della forma $x=2^h * m$ e $y=2^k * n$ con m e n dispari. Svilppando si ha che:
$(m^2 +n^2)=2^(z-h)$.
Si è assunto che h=k e cosi deve essere altrimenti LHS non sarebbe potenza di 2. Sappiamo però che gli unici dispari che soddisfano quel tipo di equaione sono $m=n=1$. Da cui la soluzione generale per x e y pari è $x=y=2^h$ e $z=2h+1$.
Concludiamo il punto i) raccogliendo le soluzioni per $p=2$. $(1;1;1;2)$ U $(2^h;2^h;2h+1;2)$.
ii) $p>2$ e quindi p dispari. Allora si ha che:
$x+y|x^p + y^p$ e cosi la nostra equazione diventa:
$(x+y)((x^p+y^p)/(x+y))=p^z$.
Essendo p primo si ha necessariamente che $p=x+y$ e quindi:
$x^(x+y) +y^(x+y)=(x+y)^z$.
Con x+y dispari e quindi x e y con parità diverse. Inoltre se (a;b;z;p) è soluzione lo è anche (b;a;z;p).
Si nota che $(1;2;2;3)$ e $(2;1;2;3)$ sono soluzioni quindi inutile cercare l'assurdo diretto.
Bhe ora temo di dover ammettere i miei limiti, onestamente non credo di saper andare avanti da solo...almeno non per ora...
In conclusione la mia quasi soluzione è lunga e un po contorta oltre che INCOMPLETA
PS non escludo la presenza di errori.
che bello il topic sta andando avanti!!!
Io comunque non ci sarò x una settimana (vacanza), ma al mio ritorno avrò altri rompicapi da inserire...ora mi sto scervellando x uno che riguarda gli orologi...va bè....livello NORMALE si intende...
Bè a presto!!!
Io comunque non ci sarò x una settimana (vacanza), ma al mio ritorno avrò altri rompicapi da inserire...ora mi sto scervellando x uno che riguarda gli orologi...va bè....livello NORMALE si intende...
Bè a presto!!!
In un assolato e tranquillo sabato pomeriggio, sono qua a cercare una soluzione ad alcuni arcani quesiti “normali”.
Ecco il testo (Esame di Ammissione, A.A. 1963 – 64. Problema n. 4)
“Due cercatori d’oro hanno due grandi sacchi di pezzi d’oro. Il primo ha solo pezzi da 15 grammi, il secondo pezzi da 21 grammi. Può il primo pagare esattamente al secondo un debito di 27 grammi d’oro? Potrebbe invece il secondo pagare esattamente al primo un debito di 29 grammi d’oro?”
Allora io ho pensato che il primo deve dare $15x$ pezzi d’oro e riceverne di resto $21y$, dove $x$ e $y$ sono due numeri positivi e interi (si suppone infatti che non si possano spezzare i lingotti, altrimenti il problema sarebbe immediato, e che il numero di pezzi disponibili sia infinito).
Dunque si ottiene l’equazione diofantea $15x - 21y = 27$, che ammette soluzioni perché $GCD(15,21) = 3$ e $GCD(15,21)|27$.
Riscriviamola come $5x – 7y = 9$. Utilizzando l’algoritmo euclideo trovo
$7 = 5*1 + 2 $ (resto 2)
$5 = 2*2 + 1 $ (resto 1)
Ricavo dalle precedenti espressioni i resti:
$2 = 7 – 5*1 $
$1 = 5 – 2*2 $
Ora risaliamo al contrario:
$1 = 5 – 2*2 $
$1 = 5 – 2*(7-5)$
$1 = 5 – 2*7 +2*5 $
$1 = 3*5 -2*7$
Ora moltiplico ambedue i membri (II principio) per 9:
$9 = 27*5 -18*7$
$5*(27) – 7*(18)= 9 $
Dunque, ricordando la posizione iniziale
$5x – 7y = 9$
si constata facilmente che una soluzione è data dalla coppia (27; 18). In altre parole, il primo cercatore d’oro può pagare un debito di 27 g d’oro al secondo dandogli 27 lingotti (da 15g l’uno) e ricevendone 18 (da 21g l’uno) di resto.
La seconda richiesta invece non ha soluzione. Il secondo non può pagare al primo un debito di 29g d’oro perché (in virtù di un analogo ragionamento a quello sopra) si avrebbe l’equazione
$21x - 15y = 29$
e sarebbe GCD(21,15) = 3 che non è un divisore di 29.
Che cosa ne pensate??? Secondo voi è corretto? Spero di sì, comunque vi sarei davvero grato se mi diceste la vostra opinione al riguardo.... Grazie come al solito a tutti.
Paolo
Ecco il testo (Esame di Ammissione, A.A. 1963 – 64. Problema n. 4)
“Due cercatori d’oro hanno due grandi sacchi di pezzi d’oro. Il primo ha solo pezzi da 15 grammi, il secondo pezzi da 21 grammi. Può il primo pagare esattamente al secondo un debito di 27 grammi d’oro? Potrebbe invece il secondo pagare esattamente al primo un debito di 29 grammi d’oro?”
Allora io ho pensato che il primo deve dare $15x$ pezzi d’oro e riceverne di resto $21y$, dove $x$ e $y$ sono due numeri positivi e interi (si suppone infatti che non si possano spezzare i lingotti, altrimenti il problema sarebbe immediato, e che il numero di pezzi disponibili sia infinito).
Dunque si ottiene l’equazione diofantea $15x - 21y = 27$, che ammette soluzioni perché $GCD(15,21) = 3$ e $GCD(15,21)|27$.
Riscriviamola come $5x – 7y = 9$. Utilizzando l’algoritmo euclideo trovo
$7 = 5*1 + 2 $ (resto 2)
$5 = 2*2 + 1 $ (resto 1)
Ricavo dalle precedenti espressioni i resti:
$2 = 7 – 5*1 $
$1 = 5 – 2*2 $
Ora risaliamo al contrario:
$1 = 5 – 2*2 $
$1 = 5 – 2*(7-5)$
$1 = 5 – 2*7 +2*5 $
$1 = 3*5 -2*7$
Ora moltiplico ambedue i membri (II principio) per 9:
$9 = 27*5 -18*7$
$5*(27) – 7*(18)= 9 $
Dunque, ricordando la posizione iniziale
$5x – 7y = 9$
si constata facilmente che una soluzione è data dalla coppia (27; 18). In altre parole, il primo cercatore d’oro può pagare un debito di 27 g d’oro al secondo dandogli 27 lingotti (da 15g l’uno) e ricevendone 18 (da 21g l’uno) di resto.
La seconda richiesta invece non ha soluzione. Il secondo non può pagare al primo un debito di 29g d’oro perché (in virtù di un analogo ragionamento a quello sopra) si avrebbe l’equazione
$21x - 15y = 29$
e sarebbe GCD(21,15) = 3 che non è un divisore di 29.
Che cosa ne pensate??? Secondo voi è corretto? Spero di sì, comunque vi sarei davvero grato se mi diceste la vostra opinione al riguardo.... Grazie come al solito a tutti.
Paolo
P.S. scusate la lunghezza del messaggio, avevo bisogno di spazio!!!! Comunque non è esclusa la possibilità che io abbia detto un sacco di fesserie...
Grazie ancora... Pol
Grazie ancora... Pol
per quanto possa contare la mia risposta, secondo me hai fatto bene
ti propongo però anche la mia soluzione, perchè il confronto è sempre costruttivo e perchè così posso imparare qualche cosa anche io se la mia soluzione è sbagliata
allora...chiedere se sia possibile che il primo cercatore paghi esattamente un debito di 27 grammi di oro al secondo cercatore, fermo restando che il rpimo dispone di lingotti del valore di 15 grammi ciascuno e il secondo dispone di lingotti del valore di 21 grammi ciascuno, equivale a chiedere se l'equazione $15x - 21 y = 27$ ammette coppie di soluzioni in $NNxNN$...detto ciò, trovando (ad esempio) $x$ in funzione di $y$ si ha che $x=(9+7y)/5$: a questo punto perchè la coppia risolutiva $(x;y)$ appartenga a $NNxNN$ occorre che per almeno un $y in NN$ si abbia che $(9+7y)/5$ sia divisibile per $5$; detto ciò, osserviamo che nella divisione per $5$ il $9$ da come resto $4$ mentre $7y$ da come resto un multiplo di $7$, inoltre dal momento che il resto di $7y:5$ è il resto di $y:5$ moltiplicato per 7 e nella divisione di $y$ per $5$ i possibili resti sono $0,1,2,3,4$, i possibili resti di $7y:5$ sono $0,7,14,21,28$; perchè $9+7y$ sia divisibile per $5$ occorre dunque che la somma dei resti sia divisibile per $5$, cosa che si ha se il resto di $7y:5$ è $21$, condizione per avere la quale il minimo valore di $y$ è il $18$ in corrispondenza del quale si ha $x=27$
quanto alla seconda domanda con ragionamento del tutto analogo e verificando le somme dei resti si perviene alla risposta negativa
spero di non avere commesso degli orrori
ciao
ti propongo però anche la mia soluzione, perchè il confronto è sempre costruttivo e perchè così posso imparare qualche cosa anche io se la mia soluzione è sbagliata
allora...chiedere se sia possibile che il primo cercatore paghi esattamente un debito di 27 grammi di oro al secondo cercatore, fermo restando che il rpimo dispone di lingotti del valore di 15 grammi ciascuno e il secondo dispone di lingotti del valore di 21 grammi ciascuno, equivale a chiedere se l'equazione $15x - 21 y = 27$ ammette coppie di soluzioni in $NNxNN$...detto ciò, trovando (ad esempio) $x$ in funzione di $y$ si ha che $x=(9+7y)/5$: a questo punto perchè la coppia risolutiva $(x;y)$ appartenga a $NNxNN$ occorre che per almeno un $y in NN$ si abbia che $(9+7y)/5$ sia divisibile per $5$; detto ciò, osserviamo che nella divisione per $5$ il $9$ da come resto $4$ mentre $7y$ da come resto un multiplo di $7$, inoltre dal momento che il resto di $7y:5$ è il resto di $y:5$ moltiplicato per 7 e nella divisione di $y$ per $5$ i possibili resti sono $0,1,2,3,4$, i possibili resti di $7y:5$ sono $0,7,14,21,28$; perchè $9+7y$ sia divisibile per $5$ occorre dunque che la somma dei resti sia divisibile per $5$, cosa che si ha se il resto di $7y:5$ è $21$, condizione per avere la quale il minimo valore di $y$ è il $18$ in corrispondenza del quale si ha $x=27$
quanto alla seconda domanda con ragionamento del tutto analogo e verificando le somme dei resti si perviene alla risposta negativa
spero di non avere commesso degli orrori
ciao
ciao WiZaRd.
Ti ringrazio per la tua esauriente risposta. Sono contento che i risultati alla fine siano uguali e concordo in pieno quando dici
Mai stato più d'accordo. Grazie ancora.
A presto, allora. Ciao ciao
Paolo
Ti ringrazio per la tua esauriente risposta. Sono contento che i risultati alla fine siano uguali e concordo in pieno quando dici
"WiZaRd":
ti propongo però anche la mia soluzione, perchè il confronto è sempre costruttivo
Mai stato più d'accordo. Grazie ancora.
A presto, allora. Ciao ciao
Paolo
"Si consideri l’espressione
$4^x+4^y+4^z$
dove x, y, z sono interi non negativi.
(I) Provare che la quantità sopra scritta è un quadrato perfetto per infinite terne di interi $(x,y,z)$.
(II) Determinare tutte le terne di interi non negativi $(x,y,z)$ tali che la quantità sopra scritta sia un quadrato perfetto."
Esame di Ammissione SNS, a.a. 2006-2007
Buongiorno a tutti. Avete idee per questo quesito? E' da un po' di tempo che ci sto lavorando ma non riesco ad uscirne... confido nella vostra pazienza e nel vostro aiuto.... vi prego..
grazie in anticipo,
Paolo
$4^x+4^y+4^z$
dove x, y, z sono interi non negativi.
(I) Provare che la quantità sopra scritta è un quadrato perfetto per infinite terne di interi $(x,y,z)$.
(II) Determinare tutte le terne di interi non negativi $(x,y,z)$ tali che la quantità sopra scritta sia un quadrato perfetto."
Esame di Ammissione SNS, a.a. 2006-2007
Buongiorno a tutti. Avete idee per questo quesito? E' da un po' di tempo che ci sto lavorando ma non riesco ad uscirne... confido nella vostra pazienza e nel vostro aiuto.... vi prego..
grazie in anticipo,
Paolo
La soluzione dell'ultimo test fu publicata sul sito della scuola, ma ultimamanete ci sono andato ed è stata rimossa.
Avevo dato uno sguardo alla soluzione di questo quesito, ma non la ricordo perchè fu molto veloce (se avessi saputo che la levavano...).
Ti dico solo una cosa, non per scoraggiarti: il procedimento del secondo punto era abbastanza lungo.
Per il primo, unisco vaghi ricordi al ragionamento attuale, pertanto la mia soluzione forse è diversa.
$4^x+4^y+4^z$
Consideriamo una buona terna, che potrebbe essere
$x=0$
$y=z=1$
che restituisce 9, accettabile.
Ora poniamo
$x=alpha$, $y=z=alpha+1$
ottenendo
$4^(alpha)+4^(alpha+1)+4^(alpha+1)=4^(alpha)+4*4^(alpha)+4*4^(alpha)=9*4^(alpha)$
L'ultimo termine è un quadrato perchè prodotto di due quadrati (infatti $4^(alpha)=(2^(alpha))^2$)
Questa è la prima parte, che prova l'infinità delle terne al variare di $alpha$.
Se hai fortuna puoi trovare qualcuno bravo per la seconda parte, o qualcuno che l'ha letta e la ricorda.
Buona serata.
Avevo dato uno sguardo alla soluzione di questo quesito, ma non la ricordo perchè fu molto veloce (se avessi saputo che la levavano...).
Ti dico solo una cosa, non per scoraggiarti: il procedimento del secondo punto era abbastanza lungo.
Per il primo, unisco vaghi ricordi al ragionamento attuale, pertanto la mia soluzione forse è diversa.
$4^x+4^y+4^z$
Consideriamo una buona terna, che potrebbe essere
$x=0$
$y=z=1$
che restituisce 9, accettabile.
Ora poniamo
$x=alpha$, $y=z=alpha+1$
ottenendo
$4^(alpha)+4^(alpha+1)+4^(alpha+1)=4^(alpha)+4*4^(alpha)+4*4^(alpha)=9*4^(alpha)$
L'ultimo termine è un quadrato perchè prodotto di due quadrati (infatti $4^(alpha)=(2^(alpha))^2$)
Questa è la prima parte, che prova l'infinità delle terne al variare di $alpha$.
Se hai fortuna puoi trovare qualcuno bravo per la seconda parte, o qualcuno che l'ha letta e la ricorda.
Buona serata.
grazie mille +Steven+.. sei stato davvero molto gentile... in effetti è vero.. non avevo pensato di fare le posizioni e di introdurre il parametro $alpha$... comunque non ti preoccupare per la seconda parte... grazie e buona serata anche a te.
Ciao
Paolo
Ciao
Paolo
"+Steven+":
Ti dico solo una cosa, non per scoraggiarti: il procedimento del secondo questito era abbastanza lungo.
A occhio e croce direi proprio di si...
"V per Vendetta":
[quote="+Steven+"] Ti dico solo una cosa, non per scoraggiarti: il procedimento del secondo questito era abbastanza lungo.
A occhio e croce direi proprio di si...[/quote]
Il problema numero 2 in sintesi è trovare le infinite soluzioni di: $4^x+4^y+4^z=k^2$.
Forse si può ricondurlo a $(a+b)^2$.
Forse si può ricondurlo a $(a+b)^2$.
"V per Vendetta":
Il problema numero 2 in sintesi è trovare le infinite soluzioni di: $4^x+4^y+4^z=k^2$.
Forse si può ricondurlo a $(a+b)^2$.
io ci ho già provato.. era su quello che si basava essenzialmente il mio "metodo"... comunque se hai sangue freddo (come il tuo nick suggerisce
) e sei un temerario accomodati pure... fammi sapere...
Ehehehe le diofantee della normale hanno sempre un qualcosa di interessante ...
Vediamo se ho dimenticato qualke terna o se ci sono riuscito ad ammazzarlo del tutto questo problemino....
Per Iniziare
-Se $(x;y;z)$ è una soluzione lo sono anche le sue permutazioni.
-Prenderemo in seguito, senza perdere di generalità $x\geq y\geq z\geq 0$.
-Tre soluzioni immediate sono $(1;1;0)$, $(2;2;1)$ e $(3;3;2)$. Soluzioni meno immediate sono $(4;3;1)$ e $(5;4;2)$.
Dividiamo il problema in casi più semplici:
Caso 1: $x=y=z$
L'espressione in questo caso diventa:
$3\cdot 4^x=n^2$
Ma ovviamente nessuna potenza di 4 è divisibile per tre e quindi in LHS c'è il fattore 3 con esponente sicuramente dispari, il che è impossibile per un quadrato.
Caso 2: $x=y\ne z$
L'espressione diventa:
$2\cdot4^x+4^z=4^z(2^{2x-2z+1}+1)=n^2$
Da cui si ricava, ponendo per comodità $2x-2z+1=2m+1$, che:
$2\cdot 4^m=(k-1)(k+1)$
Con $k$ evidentemente dispari. Quindi si avrà che solo uno dei due fattori di RHS sarà divisibile per 4 e l'altro per 2, ossia:
$k-1=2$ e $k+1=4^m$
Quindi necessariamente $m=1$ e $x=y=z+1$. Questa famiglia di soluzioni comprende anche le soluzioni immediate di cui sopra.
Quindi la terna $(z+1;z+1;z)$ e le sue permutazioni rappresentano infinite soluzioni, ecco quindi la risposta alla prima domanda.
Caso 3: $x\ne y\ne z$
Per quanto posto nelle condizioni preliminari possiamo raccogliere un fattore:
$4^z\cdot(4^{x-z}+4^{y-z}+1)=n^2$
Da cui si ricava che:
$4^q\cdot(4^p+1)=k^2-1=(k-1)\cdot(k+1)$
Dove si è posto per comodità $q=y-z$ e $p=x-y$. Considerando ques'ultima equazione $mod(3)$ e $mod(4)$ si ricava che $k$ deve essere un multiplo di $3$ dispari. Questo ci indica come sopra che solo uno dei due fattori di RHS sarà divisibile per $4$ ma ora non abbiamo un fattore 2 in LHS, necessariamente dobbiamo avere quindi il fattore 2 con esponente pari anche in RHS. Questo si ottine se il fattore di RHS divisibile per 4 è una potenza di due con esponente dispari e maggiore di due.
Formalizzando si avrà che $k=2\cdot 4^m \pm 1$, ma per le condizioni poste su $k$ il segno meno va scartato. Andando a sostituire abbiamo quindi che:
$4^{q+p}+4^q+1=(2\cdot 4^m + 1)^2=4^{2m+1}+4^{m+1}+1$
Per il principio di identità dei polinomi si ricava che $p+q=2m+1$ e $q=m+1$. Ritornando alle varibili del testo, $x=z + 2m+1$ e $y=z+m+1$.
Quindi tutte le terne della forma $(z+2m+1;z+m+1;z)$ con le rispettive permutazioni sono soluzioni della diofantea al variare di $m\in NN$.
Queste terne unite a quelle del caso 2 danno tutte le soluzioni intere non negative della diofneta data.
La soluzione è un po lunga ma mi sembra corretta e non usa nulla di speciale, solo qualke idea carina...ditemi voi se c'è qualke errore o altro....
...Vediamo se ho dimenticato qualke terna o se ci sono riuscito ad ammazzarlo del tutto questo problemino....
Per Iniziare
-Se $(x;y;z)$ è una soluzione lo sono anche le sue permutazioni.
-Prenderemo in seguito, senza perdere di generalità $x\geq y\geq z\geq 0$.
-Tre soluzioni immediate sono $(1;1;0)$, $(2;2;1)$ e $(3;3;2)$. Soluzioni meno immediate sono $(4;3;1)$ e $(5;4;2)$.
Dividiamo il problema in casi più semplici:
Caso 1: $x=y=z$
L'espressione in questo caso diventa:
$3\cdot 4^x=n^2$
Ma ovviamente nessuna potenza di 4 è divisibile per tre e quindi in LHS c'è il fattore 3 con esponente sicuramente dispari, il che è impossibile per un quadrato.
Caso 2: $x=y\ne z$
L'espressione diventa:
$2\cdot4^x+4^z=4^z(2^{2x-2z+1}+1)=n^2$
Da cui si ricava, ponendo per comodità $2x-2z+1=2m+1$, che:
$2\cdot 4^m=(k-1)(k+1)$
Con $k$ evidentemente dispari. Quindi si avrà che solo uno dei due fattori di RHS sarà divisibile per 4 e l'altro per 2, ossia:
$k-1=2$ e $k+1=4^m$
Quindi necessariamente $m=1$ e $x=y=z+1$. Questa famiglia di soluzioni comprende anche le soluzioni immediate di cui sopra.
Quindi la terna $(z+1;z+1;z)$ e le sue permutazioni rappresentano infinite soluzioni, ecco quindi la risposta alla prima domanda.
Caso 3: $x\ne y\ne z$
Per quanto posto nelle condizioni preliminari possiamo raccogliere un fattore:
$4^z\cdot(4^{x-z}+4^{y-z}+1)=n^2$
Da cui si ricava che:
$4^q\cdot(4^p+1)=k^2-1=(k-1)\cdot(k+1)$
Dove si è posto per comodità $q=y-z$ e $p=x-y$. Considerando ques'ultima equazione $mod(3)$ e $mod(4)$ si ricava che $k$ deve essere un multiplo di $3$ dispari. Questo ci indica come sopra che solo uno dei due fattori di RHS sarà divisibile per $4$ ma ora non abbiamo un fattore 2 in LHS, necessariamente dobbiamo avere quindi il fattore 2 con esponente pari anche in RHS. Questo si ottine se il fattore di RHS divisibile per 4 è una potenza di due con esponente dispari e maggiore di due.
Formalizzando si avrà che $k=2\cdot 4^m \pm 1$, ma per le condizioni poste su $k$ il segno meno va scartato. Andando a sostituire abbiamo quindi che:
$4^{q+p}+4^q+1=(2\cdot 4^m + 1)^2=4^{2m+1}+4^{m+1}+1$
Per il principio di identità dei polinomi si ricava che $p+q=2m+1$ e $q=m+1$. Ritornando alle varibili del testo, $x=z + 2m+1$ e $y=z+m+1$.
Quindi tutte le terne della forma $(z+2m+1;z+m+1;z)$ con le rispettive permutazioni sono soluzioni della diofantea al variare di $m\in NN$.
Queste terne unite a quelle del caso 2 danno tutte le soluzioni intere non negative della diofneta data.
La soluzione è un po lunga ma mi sembra corretta e non usa nulla di speciale, solo qualke idea carina...ditemi voi se c'è qualke errore o altro....
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