Dimostrazione teorema spettrale per matrici
Potreste dirmi se la seguente dimostrazione è valida? Le uniche che trovo su internet sono inerenti agli endomorfismi autoaggiunti (che so essere equivalenti se si scelgono basi ortonormali).
Devo dimostrare che :
1) Sia $A$, una matrice simmetrica, allora $A$ è diagonalizzabile.
2) Sia $A$ simmetrica allora è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale.
3) Sia $A$ diagonalizzabile e se esiste $Q$ ortogonale tale che $Q^T*A*Q=D$, $D$ diagonale, allora A è simmetrica.
Dimostrazione
1) Sia $A$ una matrice simmetrica associato ad endomorfismo $f$ rispetto ad una base ortonormale $B$, dunque $f$ è autoaggiunto. Allora esiste una base $B'$ ortonormale formata da autovettori, dunque $f$ è diagonalizzabile ovvero la matrice $D$ associata a $f$ rispetto a $B'$ è diagonale. Poiché le matrici di un endomorfismo rispetto a basi diverse sono tutte simili allora A è diagonalizzabile ovvero esiste una matrice $P$ (matrice di passaggio da B a B') t.c. $P^-1*A*P=D$. Inoltre poiché la matrice di passaggio tra due basi ortonormali è ortogonale, ho dimostrato anche 2).
3)Poiché $Q^T*A*Q=D$ allora $A=Q*D*Q^T$ e quindi $A^T=(Q*D*Q^T)^T=Q*D*Q^T=A$ In quanto $D^T=D$
I miei dubbi sono inerenti alla dimostrazione del punto 1) in quanto ho usato praticamente il teorema spettrale inerente agli endomorfismi autoaggiunti e quindi credo sia errato. Si può giungere alla conclusione in maniera più semplice?
Grazie mille!
Devo dimostrare che :
1) Sia $A$, una matrice simmetrica, allora $A$ è diagonalizzabile.
2) Sia $A$ simmetrica allora è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale.
3) Sia $A$ diagonalizzabile e se esiste $Q$ ortogonale tale che $Q^T*A*Q=D$, $D$ diagonale, allora A è simmetrica.
Dimostrazione
1) Sia $A$ una matrice simmetrica associato ad endomorfismo $f$ rispetto ad una base ortonormale $B$, dunque $f$ è autoaggiunto. Allora esiste una base $B'$ ortonormale formata da autovettori, dunque $f$ è diagonalizzabile ovvero la matrice $D$ associata a $f$ rispetto a $B'$ è diagonale. Poiché le matrici di un endomorfismo rispetto a basi diverse sono tutte simili allora A è diagonalizzabile ovvero esiste una matrice $P$ (matrice di passaggio da B a B') t.c. $P^-1*A*P=D$. Inoltre poiché la matrice di passaggio tra due basi ortonormali è ortogonale, ho dimostrato anche 2).
3)Poiché $Q^T*A*Q=D$ allora $A=Q*D*Q^T$ e quindi $A^T=(Q*D*Q^T)^T=Q*D*Q^T=A$ In quanto $D^T=D$
I miei dubbi sono inerenti alla dimostrazione del punto 1) in quanto ho usato praticamente il teorema spettrale inerente agli endomorfismi autoaggiunti e quindi credo sia errato. Si può giungere alla conclusione in maniera più semplice?
Grazie mille!
Risposte
La cosa che devi dimostrare è essenzialmente il teorema spettrale, sebbene ci siano dei modi di dimostrare solo questo pezzo (simmetrica \(\Rightarrow\) diagonalizzabile).
Tra l'altro, su quale campo stai prendendo gli spazi vettoriali?
Tra l'altro, su quale campo stai prendendo gli spazi vettoriali?
Reale, non credevo si potesse definire il teorema per campi complessi.
Posso concludere che la dimostrazione è sbagliata?
Posso concludere che la dimostrazione è sbagliata?
"paolo1712":
non credevo si potesse definire il teorema
Enunciare il teorema (i teoremi non si definiscono, si enunciano e poi si dimostrano).
:S mi suonava calzante. Grazie per la correzione!
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