Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Seguendo il Sernesi, riporto il discorso\ragionamento che poi porterà a dimostrare l'esistenza e l'unicità della forma canonica di Jordan.Vengono date queste definizioni:
Sia \(B\in M_{n}(K)\) con rango minore di n; consideriamo le sue successive potenze
\(B^2, B^3 \dots\) e sia
\(N_m = \{ x\in K : B^mx=0\}\);
(quindi il nucleo dell'operatore definito dalla matrice \(B^m\)
Posto \(N_0 =span(0)\) si ha:
\(N_0 \subset N_1 \subset N_2 \subset \dots\)
Da un certo "q" in poi, si ha \(N_q = N_{q+1} ...
Ciao a tutti, ho letto e riletto più volte questo passaggio del libro General Topology di John Kelley, ma non riesco a capirlo. Riporto il testo in inglese "Suppose $f$ is a linear function on $X$ to $Y$ and $g$ is a linear map on $X$ onto $Z$ such that the null space [cioè il nucleo] of $f$ contains the null space of $g$. Then there is a unique linear function $h$ on ...
Ciao a tutti, sto riscontrando problemi con il seguente esercizio, nello specifico l'ultimo punto d).
Innanzitutto ho osservato che ponendo \( \lambda=0 \) si ha che \( \bar{v}_1+\bar{v}_2=\bar{v}_3 \) e quindi \( W=\; \)
Ho pensato poi di approcciare così alla soluzione: poiché si vuole trovare una matrice \( A \) tale che \( Ker(A)=W \), allora considero una matrice generica \( A \in \mathcal{M}_{\mathbb{R}}(2,4)\) tale che:
...
Ciao a tutti,
sono alle prese con la seguente richiesta di un esercizio che ahimè non riesco a formalizzare.
Ho il seguente piano e la seguente retta in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \):
\(\displaystyle \pi: x+2y-2z=4\)
\(\displaystyle r: \left\{\begin{matrix}
x(t)=3t+1
\\
y(t)=-t+3
\\
z(t)=-2t+3
\end{matrix}\right. \)
Si vuole determinare un endomorfismo \(\displaystyle F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tale che \(\displaystyle F(\pi)=r \).
L'idea di base su cui stavo ...
Ciao a tutti, oggi mi sono imbattuto in questo esercizio, che però non riesco a risolvere. ho provato ad impostarlo come sistema, ma impostando il sistema in modo orizzontale rispetto ai vettori non mi esce il termine senza la incognita (presente nella soluzione), mentre impostandolo in modo verticale una componente del vettore X0 non ha la sua equazione. Vi scrivo di seguito il testo con quella che dovrebbe essere la soluzione. Grazie a chi mi darà una mano.
Considerando i vettori w1, w2, w3, ...
Consideriamo questo rivestimento di due wedge di $S^1$:
Abbiamo che $\tilde x_0$ e $\tilde x_2$ posonno essere mandati uno nell'altro tramite una trasformazione di rivestimento (la simmetria attraverso la retta veticale passante per $\tilde x_1$) mentre non esiste una trasformazione di rivestimento che li mandi in $\tilde x_1$, per cui il rivestimento non è normale e il gruppo delle trasformazioni di rivestimento è $ZZ_(/2)$.
Volevo ...
Buongiorno a tutti, dovrei determinare il vettore gradiente al cambio del sistema di riferimento dal sistema ($x_1$, $x_2$, $x_3$) al sistema ($x'_1$, $x'_2$, $x'_3$)
Nel sistema di assi $x'_1$, $x'_2$, $x'_3$ il gradiente per una funzione f($x_1$, $x_2$)= $\nabla$ f($x_1$, $x_2$)=($\partial$ $f$ / ...
Descrivere il rivestimento di $S^1xxS^1$ che corrisponde al sottogruppo ciclico infinito generato da $(1,1)inZZxxZZ$. Descrivere l’azione di monodromia: in che modo i due generatori $a=(1,0)$ e $b=(0,1)$ agiscono sulla fibra sopra il punto base? Come agisce $ab=(1,1)$?
Consideriamo il rivestimento universale dato da $p:RR^2->S^1xxS^1$ definito come $p(x,y)=(e^(2pi i x),e^(2pi i y))$, mi basta ora quozientare $RR^2$ pe il gruppo generato dalla traslazione del vettore ...
Esiste una dimostrazione matematica del foglio che il fabbro usa per tagliare i tubi?
https://www.youtube.com/watch?v=ZxBloSRjY_w
Il disegno che viene fatto è corretto e quali regole deve seguire?
grazie
Dimostrare che $RR^2$ riveste la bottiglia di Klein.
Ho provato ad esempio a scrivermi $RR^2$ come unione di quadratini di lato $1$ dove su ogni quadratino vige la relazione di equivalenza stabilità dalla bottiglia di Klein e questi quadratini sono ben incastrati fra loro con queste relazioni. Un altra idea sarebbe ricavare il rivestimento a partire dal rivestimento di $S^1xxS^1$ sulla bottiglia di Klein, ma non so esplicitamente trovarlo come ...
Siano $P$ e $Q$ sottospazi vettoriali supplementari dello spazio vettoriale $V$. La dimensione di $P$ vale $k$ e quella di $Q$ vale $n-k$. Sia $X : P \rightarrow Q$ un omomorfismo da $P$ in $Q$. Allora
a) il grafico di $X$ può essere identificato con un sottospazio $k$ -dimensionale $\Gamma(X)=\{v+X(v): v \in P\}$.
b) ...
Ciao a tutti,
premetto che sono un autodidatta, quindi la mia padronanza tecnica degli argomenti è approssimativa.
Mi sto avventurando nello studio della topologia e ci sono parecchi concetti che faccio fatica a comprendere. O meglio, a visualizzare.
Uno di questi è quello di densità.
Ci sono tre definizioni di densità negli spazi topologici che ho trovato:
1) "Un sottoinsieme A di X è denso in X se l'unico sottoinsieme chiuso di X contenente A è X stesso, ovvero la chiusura di A è X". Questo ...
Ciao a tutti,
sto cercando di capire la dimostrazione 4.12 del Sernesi di Geometria 1.
Il testo recita:
"Sia \(\displaystyle \{ v_1, ..., v_n\}\) un sistema di generatori di \(\displaystyle V \) \(\displaystyle K \)-spazio vettoriale e siano \(\displaystyle w_1, ..., w_m \) elementi di \(\displaystyle V \). Se \(\displaystyle m > n \) allora \(\displaystyle w_1, ..., w_m \) sono linearmente dipendenti."
Inizia la dimostrazione dicendo che:
"Se \(\displaystyle w_1, ..., w_n \) sono ...
Sia $Y$ lo spazio connesso per archi ma non localmente connesso per archi costruito a partire da $ {0}xx[-1,1]uu{(x,sin(1/x))|x in(0,1/pi]}subeRR^2$, attaccando una curva che colleghi $(0,0)$ e $(1/pi,0)$ . Quozientando il segmento verticale ${0}xx[-1,1]$ a un singolo punto, si ottiene una mappa quoziente $f:Y->S^1$. Dimostrare che $f$ soddisfa le ipotesi del teorema di sollevamento delle mappe rispetto al rivestimento universale $p:RR->S^1$, ma che non esiste alcun ...
Salve a tutti, ho il seguente dubbio:
Mettiamoci in uno spazio topologico qualsiasi $X$ e, dato $x \in X$, sia ${U_n }_(n \in \NN) $ un suo sistema fondamentale di intorni numerabile.
E' sempre vero che riesco a riscrivere il sistema di intorni in modo che $U_1 \supset U_2 \supset ... \supset U_n \supset ...$?
Ragionando un pochino ad intuito, mi verrebbe da dire di sì, ma non ne sono troppo sicuro
Considerata $f:\mathbb{P}^2(CC)->T$ definita come $f([z_0:z_1:z_2])=(abs(z_0)^2/(abs(z_0)^2+abs(z_1)^2+abs(z_2)^2),abs(z_1)^2/(abs(z_0)^2+abs(z_1)^2+abs(z_2)^2),abs(z_2)^2/(abs(z_0)^2+abs(z_1)^2+abs(z_2)^2))$ dove $T$ è il simplesso $T={(x,y,z)inRR^3| x+y+z=1,x>=0,y>=0,z>=0}$. Sia $(\tilde x,\tilde y,\tilde z)in{(x,y,z)inRR^3| x+y+z=1,x>0,y>0,z>0}$, mostrare che $f^-1($ $(\tilde x,\tilde y,\tilde z))$ è in biiezione $S^1xxS^1$.
Abbiamo che $f^-1($ $(\tilde x,\tilde y,\tilde z))={[z_0:z_1:z_2]in\mathbb{P}^2(CC)| abs(z_1)=sqrt(\tilde y/ \tilde x) abs(z_0),abs(z_2)=sqrt(\tilde z/\tilde x) abs(z_0)}$, per cui ho definito la funzione $g:f^-1($ $(\tilde x,\tilde y,\tilde z))->S^1xxS^1$ come $g([z_0:z_1:z_2])=(z_1/abs(z_0)sqrt(\tilde x/\tilde y),z_2/abs(z_0)sqrt(\tilde x/\tilde z))$, può andare bene come biiezione richiesta?
Ciao a tutti.
Devo risolvere vari sistemi di N equazioni lineari in 8 incognite (con \(\displaystyle N\geq 8 \)) in cui i termini noti non sono "precisi", poiché approssimati all'intero più vicino. Le 8 incognite sono reali positive (non nulle).
Cerco di spiegarmi con questo esempio inventato:
\(\displaystyle ...
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