Lavoro ed Energia
Ho cominciato oggi a studiare il capitolo che parla del Lavoro e Energia! Vorrei capire bene i passaggi della seguente formula:
$ W= int_(x_f)^(x_i)F_ (x) dx = int_(x_f)^(x_i)Fdx = F int_(x_f)^(x_i)dx = F(x_f - x_i ) $
Ho capito che in sostanza il lavoro e' uguale alla forza per lo spostamente, quindi e' facile capire come effettuare i calcoli per risolvere un esercizio, ma il mio problema e' capire tutti quegli step di calcolo integrale che portano alla formula del lavoro!!!??
Se si volessero commentare quegli step, cosa si puo' dire?
P.S. Premetto che ancora devo arrivare al calcolo integrale in analisi, ma adesso vorrei capire questi step solo per cio' che mi serve in Fisica!
Vi ringrazio anticipatamente!
$ W= int_(x_f)^(x_i)F_ (x) dx = int_(x_f)^(x_i)Fdx = F int_(x_f)^(x_i)dx = F(x_f - x_i ) $
Ho capito che in sostanza il lavoro e' uguale alla forza per lo spostamente, quindi e' facile capire come effettuare i calcoli per risolvere un esercizio, ma il mio problema e' capire tutti quegli step di calcolo integrale che portano alla formula del lavoro!!!??
Se si volessero commentare quegli step, cosa si puo' dire?
P.S. Premetto che ancora devo arrivare al calcolo integrale in analisi, ma adesso vorrei capire questi step solo per cio' che mi serve in Fisica!
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
"giuliofis":
Adesso calcoli $W=U(z_f)-U(z_i)$, dove $U(z_f)=C/(z_f)$ e $U(z_i)=C/(z_i)$!
Basta fare la sottrazione che ti ha indicato giuliofis:
$W=C/(z_f) - C/z_i = C(1/(z_f)-1/z_i)$.
"Bad90":
Ok, ma come fa il testo ad arrivare a questa?
$ C(1z_f -1/(z_i)) $
Immagino sia un errore di stampa, poiché il risultato è
$ W=C(1/(z_f) -1/(z_i)) $
ottenibile anche mediante il calcolo dell'integrale fattoti vedere da minomic.
PS. Questo esercizio segnatelo e mettilo da parte. Quando avrai studiato il calcolo integrale tornaci sopra, scoprirai con tua molta sorpresa che sarà più facile con l'integrale che senza.
Perfetto! Quell'errore di stampa mi stava facendo impazzire!
Esercizio 9
Come posso estrapolare i dati?
La formula da usare è la seguente:
$ W = F(x_f - x_i) $
Giusto?
Ma come posso interpretare il grafico?
Come posso estrapolare i dati?
La formula da usare è la seguente:
$ W = F(x_f - x_i) $
Giusto?
Ma come posso interpretare il grafico?
Se non ricordo male il lavoro è l'area della parte di piano sottesa dal grafico.
"minomic":
Se non ricordo male il lavoro è l'area della parte di piano sottesa dal grafico.
Cioè????
"Bad90":
Esercizio 9
Come posso estrapolare i dati?
La formula da usare è la seguente:
$ W = F(x_f - x_i) $
Giusto?
Ma come posso interpretare il grafico?
Nel grafico \((F,x)\) il lavoro puoi interpretarlo come l'area sottesa dalla curva rappresentante $F$.
"Bad90":
[quote="minomic"]Se non ricordo male il lavoro è l'area della parte di piano sottesa dal grafico.
Cioè????
[/quote]Calcola l'area di quello stramboide (
).Se ci fai caso, quella figura puoi dividerla in un rettangolo, in un trapezio rettangolo (disteso di lato!) e un triangolo. Somma le aree di tutte queste figure.
"giuliofis":
Calcola l'area di quello stramboide (
Se ci fai caso, quella figura puoi dividerla in un rettangolo, in un trapezio rettangolo (disteso di lato!) e un triangolo. Somma le aree di tutte queste figure.
Allora, area sottesa:
Adesso voglio vedere di calcolare queste aree!
Per calcolare quel tipo di aree non-particolari devi saper fare gli integrali definiti...
"minomic":
Per calcolare quel tipo di aree non-particolari devi saper fare gli integrali definiti...
Ok, in sostanza mi porta a questo:
$ W = F(x_f - x_i) $
Giusto?
"Bad90":
[quote="minomic"]Per calcolare quel tipo di aree non-particolari devi saper fare gli integrali definiti...
Ok, in sostanza mi porta a questo:
$ W = F(x_f - x_i) $
Giusto?[/quote]
No! Quella formula va bene solo se la forza è costante!
Ad esempio penso che tu sappia che il lavoro di una molla è $1/2kx^2$. Ti sei chiesto perchè?
Se la forza è $kx$ e lo spostamento è $x$ il lavoro non dovrebbe essere $W=kx^2$?
La risposta è no perchè la forza non è costante ma varia al variare dello spostamento. Il lavoro si calcola così:
$int_0^(x_f) kx dx = [kx^2/2]_0^(x_f) = 1/2k(x_f)^2$.
Dato che però gli integrali sono argomento di quinta si dà la formula $1/2kx^2$ da sapere a memoria.
Potresti però vedere questo lavoro come l'area della parte di piano sottesa dal grafico $y=kx$ che è un triangolo rettangolo. Se calcoli quest'area ti viene sempre $1/2kx^2$.
A mio parere, questo lavoro, si può calcolare anche senza utilizzare l'integrale...., ma per ogni singolo punto in questo modo:
1) $ W = 6N * (1-0.75)m = 1.5J $
2) $ W = (4-6)N * (1.25-0.75)m = -1J $
3) $ W = (2-4)N * (1.5 - 1.25)m = -0.5J $
4) $ W = (0 - 2)N * (1.75 - 1.5)m = -0.5J $
5) $ W = (0 )N * (2- 1.75)m = 0J $
Alla fine avrò che la sommatoria di tutte queste aree sarà:
$ W = - 0.5 J $ (Lavoro totale che si ha dall'inizio alla fine)
Insomma io ho spezzettato in tante aree, anche se hai ragione tu che non è lineare e quindi penso di aver sbagliato!
Potresti cortesemente farmi vedere come faresti tu?
1) $ W = 6N * (1-0.75)m = 1.5J $
2) $ W = (4-6)N * (1.25-0.75)m = -1J $
3) $ W = (2-4)N * (1.5 - 1.25)m = -0.5J $
4) $ W = (0 - 2)N * (1.75 - 1.5)m = -0.5J $
5) $ W = (0 )N * (2- 1.75)m = 0J $
Alla fine avrò che la sommatoria di tutte queste aree sarà:
$ W = - 0.5 J $ (Lavoro totale che si ha dall'inizio alla fine)
Insomma io ho spezzettato in tante aree, anche se hai ragione tu che non è lineare e quindi penso di aver sbagliato!
Potresti cortesemente farmi vedere come faresti tu?
"Bad90":
[quote="giuliofis"]
Calcola l'area di quello stramboide (
Se ci fai caso, quella figura puoi dividerla in un rettangolo, in un trapezio rettangolo (disteso di lato!) e un triangolo. Somma le aree di tutte queste figure.
Allora, area sottesa:
Adesso voglio vedere di calcolare queste aree!
[/quote]Bad, Bad, Bad... Voglio sperare che l'area di un rettangolo e di un triangolo tu la sappia calcolare..! Se non ti ricordi la formula per l'area di un trapezio rettangolo puoi fare tre cose: \((1)\) sperare che minomic se la ricordi (io non la so a memoria, non posso dirtela); \((2)\) cercare sui libri delle medie o su internet; \((3)\) spezzare ulteriormente il trapezio in un altro triangolo e un altro rettangolo.
Ok, ok, adesso ho capito!
Allora posso ricavarmi la prima area del rettangolo e poi sommo le aree delle figure geometriche che vengono fuori, giusto?
Allora posso ricavarmi la prima area del rettangolo e poi sommo le aree delle figure geometriche che vengono fuori, giusto?
Certo che si può calcolare senza integrale! Ma solo perchè si formano figure geometriche notevoli come trapezi e triangoli.
Comunque l'idea è giusta ma sistema i segni... devono essere lavori positivi dato che il grafico non scende mai sotto l'asse $x$.
PS. Area di un trapezio (qualsiasi): $("somma_delle_basi" * "altezza")/2$.
Comunque l'idea è giusta ma sistema i segni... devono essere lavori positivi dato che il grafico non scende mai sotto l'asse $x$.
PS. Area di un trapezio (qualsiasi): $("somma_delle_basi" * "altezza")/2$.
"minomic":
Certo che si può calcolare senza integrale! Ma solo perchè si formano figure geometriche notevoli come trapezi e triangoli.
Comunque l'idea è giusta ma sistema i segni... devono essere lavori positivi dato che il grafico non scende mai sotto l'asse $x$.
PS. Area di un trapezio (qualsiasi): $("somma_delle_basi" * "altezza")/2$.
Quindi vuoi dire che è giusto anche in questo modo?
1) $ W = 6N * (1-0.75)m = 1.5J $
2) $ W = (6-4)N * (1.25-0.75)m = 1J $
3) $ W = (4-2)N * (1.5 - 1.25)m = 0.5J $
4) $ W = (2-0)N * (1.75 - 1.5)m = 0.5J $
5) $ W = (0 )N * (2- 1.75)m = 0J $
$ W = 3.5J $
Intendi così?
No.
Rettangolo: $6*0.75 = 4.5 J$
Trapezio: $((6+4)*0.5)/2 = 2.5 J$
Triangolo: $(0.5*4)/2 = 1 J$
$W=8 J$.
Rettangolo: $6*0.75 = 4.5 J$
Trapezio: $((6+4)*0.5)/2 = 2.5 J$
Triangolo: $(0.5*4)/2 = 1 J$
$W=8 J$.
"minomic":
No.
Rettangolo: $6*0.75 = 4.5 J$
Trapezio: $((6+4)*0.5)/2 = 2.5 J$
Triangolo: $(0.5*4)/2 = 1 J$
$W=8 J$.
Accipicchia, stavo per digitare gli step e tu mi hai preceduto
Perfetto e ti ringrazio
"Bad90":
[quote="minomic"]No.
Rettangolo: $6*0.75 = 4.5 J$
Trapezio: $((6+4)*0.5)/2 = 2.5 J$
Triangolo: $(0.5*4)/2 = 1 J$
$W=8 J$.
Accipicchia, stavo per digitare gli step e tu mi hai preceduto
Perfetto e ti ringrazio
[/quote]Figurati!
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