Lavoro ed Energia
Ho cominciato oggi a studiare il capitolo che parla del Lavoro e Energia! Vorrei capire bene i passaggi della seguente formula:
$ W= int_(x_f)^(x_i)F_ (x) dx = int_(x_f)^(x_i)Fdx = F int_(x_f)^(x_i)dx = F(x_f - x_i ) $
Ho capito che in sostanza il lavoro e' uguale alla forza per lo spostamente, quindi e' facile capire come effettuare i calcoli per risolvere un esercizio, ma il mio problema e' capire tutti quegli step di calcolo integrale che portano alla formula del lavoro!!!??
Se si volessero commentare quegli step, cosa si puo' dire?
P.S. Premetto che ancora devo arrivare al calcolo integrale in analisi, ma adesso vorrei capire questi step solo per cio' che mi serve in Fisica!
Vi ringrazio anticipatamente!
$ W= int_(x_f)^(x_i)F_ (x) dx = int_(x_f)^(x_i)Fdx = F int_(x_f)^(x_i)dx = F(x_f - x_i ) $
Ho capito che in sostanza il lavoro e' uguale alla forza per lo spostamente, quindi e' facile capire come effettuare i calcoli per risolvere un esercizio, ma il mio problema e' capire tutti quegli step di calcolo integrale che portano alla formula del lavoro!!!??
Se si volessero commentare quegli step, cosa si puo' dire?
P.S. Premetto che ancora devo arrivare al calcolo integrale in analisi, ma adesso vorrei capire questi step solo per cio' che mi serve in Fisica!
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
"Bad90":
Esercizio 5
Risoluzione
$ W = F*Deltax*cosalpha $
$ -31J = (9.8N)*(4.2m)*cos(180^o - alpha) $
$ -(31J)/((9.8N)*(4.2m)) =-cosalpha $
$ (31J)/((9.8N)*(4.2m)) =cosalpha $
$ cosalpha = 0.7531 $
$ alpha = 41.13^o $
Penso sia giusto!
Non penso proprio. $W$ negativo, $F$ positiva, $\Delta x$ positivo, necessariamente $cos(\alpha)$ negativo (come è giusto che sia, per un lavoro resistente)!
Sbagli la definizione di prodotto scalare... È con $cos(\alpha)$, non c'entra nulla l'angolo piatto...
"giuliofis":
[quote="Bad90"]Tutti i valori tranne 90 e 270
Mi sa che hai letto male la mia domanda... Tu sai che $A * B= AB cos(\alpha)$, cosa puoi dirmi di $cos(\alpha)$? Del coseno di alpha?[/quote]
Allora, quello che hai scritto tu, è giustamente la formula generale, in quanto non indica nessun valore.
Se tu hai un angolo incluso tra $ 0
Non sto capendo cosa ci sia di complicato e quale sia la tua domanda, o meglio perchè non è soddisfatta dalla mia risposta:!:
"giuliofis":
Non penso proprio. $W$ negativo, $F$ positiva, $\Delta x$ positivo, necessariamente $cos(\alpha)$ negativo (come è giusto che sia, per un lavoro resistente)!
Allora, facciamo un po di chiarezza:
Ma se io ho un lavoro negativo, vorrà dire che l'angolo tra i due vettori, è maggiore di 90 gradi!?!?!?
"Bad90":
[quote="giuliofis"][quote="Bad90"]Tutti i valori tranne 90 e 270
Mi sa che hai letto male la mia domanda... Tu sai che $A * B= AB cos(\alpha)$, cosa puoi dirmi di $cos(\alpha)$? Del coseno di alpha?[/quote]
Allora, quello che hai scritto tu, è giustamente la formula generale, in quanto non indica nessun valore.
Se tu hai un angolo incluso tra $ 0
Non sto capendo cosa ci sia di complicato e quale sia la tua domanda, o meglio perchè non è soddisfatta dalla mia risposta:!:
[/quote]L'esercizio non ti parla di lavoro, ma solo di dimostrare una disuguaglianza, nulla di più. Come ti ho detto tante volte: attento a non inventarti dati o domande aggiuntive!!!
La tua risposta iniziale è qualitativa e giustifica soltanto i segni, ma non giustifica i coefficienti $1$ (sottintesi).
La tua ultima risposta dovresti capire perché mi ha fatto arrabbiare... Tu hai studiato trigonometria, vero?
Bad, mannaggia la miseria! Mi sono logorato per spiegarti il prodotto scalare, e ora mi fai arrabbiare il giulio che s'è pure fatto male alla mano. Eppure in un altra stanza del forum stai studiando trigonometria...
E non abbiamo mai parlato di prodotto "vettoriale" di due vettori, mi sembra, che come dice il giulio è tutta un'altra cosa...
Secondo me ti fa ancora male la schiena per aver portato il frigorifero sulle spalle.
Per rispondere al quesito 4,e capire il 5, basta che consideri in quale intervallo di valori reali è compreso il $cos\alpha$.
E non abbiamo mai parlato di prodotto "vettoriale" di due vettori, mi sembra, che come dice il giulio è tutta un'altra cosa...
Secondo me ti fa ancora male la schiena per aver portato il frigorifero sulle spalle.
Per rispondere al quesito 4,e capire il 5, basta che consideri in quale intervallo di valori reali è compreso il $cos\alpha$.
"Bad90":
[quote="giuliofis"]
Non penso proprio. $W$ negativo, $F$ positiva, $\Delta x$ positivo, necessariamente $cos(\alpha)$ negativo (come è giusto che sia, per un lavoro resistente)!
Allora, facciamo un po di chiarezza:
Ma se io ho un lavoro negativo, vorrà dire che l'angolo tra i due vettori, è maggiore di 90 gradi!?!?!?[/quote]
Sì, perché deve essere $cos(\alpha)<0$.
"giuliofis":
Sì, perché deve essere $cos(\alpha)<0$.
Allora
$ W = F*Deltax*cosalpha $
$ -31J = (9.8N)*(4.2m)*cosalpha $
$ -(31J)/((9.8N)*(4.2m)) =cosalpha $
$ cosalpha = -0.75 $
$ alpha = 138.86^o $
Va bene adesso
"Bad90":
[quote="giuliofis"]
Sì, perché deve essere $cos(\alpha)<0$.
Allora
$ W = F*Deltax*cosalpha $
$ -31J = (9.8N)*(4.2m)*cosalpha $
$ -(31J)/((9.8N)*(4.2m)) =cosalpha $
$ cosalpha = -0.75 $
$ alpha = 138.86^o $
Va bene adesso
[/quote]Se i conti son giusti, sì.
"giuliofis":
Tu hai studiato trigonometria, vero?
Si, come ha detto il mio amico Nav., la sto studiando e ho quasi finito perchè poi devo cominciare analisi!
Voglio far chiarezza.....
Il valore incluso tra -1 e 1, in una circonferenza indica l'intervallo che deve essere tale in quanto la circonferenza goniometrica ha valore unitario, $ cos^2 alpha + sen^2 alpha = 1 $ e quindi sia il seno che il coseno, devono essere inclusi tra -1 e 1, mentre la tangente può assumere valori maggiori o minori!
"Bad90":
[quote="giuliofis"]Tu hai studiato trigonometria, vero?
Si, come ha detto il mio amico Nav., la sto studiando e ho quasi finito perchè poi devo cominciare analisi!
Voglio far chiarezza.....
Il valore incluso tra -1 e 1, in una circonferenza indica l'intervallo che deve essere tale in quanto la circonferenza goniometrica ha valore unitario, $ cos^2 alpha + sen^2 alpha = 1 $ e quindi sia il seno che il coseno, devono essere inclusi tra -1 e 1, mentre la tangente può assumere valori maggiori o minori!
[/quote]Perfetto. Detto questo, per dimostrare che \(-AB\leq A\cdot B \leq AB\), basta considerare che, come hai detto tu, $-1 \leq cos\alpha \leq 1$ unitamente alla definizione di prodotto scalare. Infatti... [continua tu, si tratta di scrivere due disuguaglianze, nulla di difficile!]
"giuliofis":
Perfetto. Detto questo, per dimostrare che \(-AB\leq A\cdot B \leq AB\), basta considerare che, come hai detto tu, $-1 \leq cos\alpha \leq 1$ unitamente alla definizione di prodotto scalare. Infatti... [continua tu, si tratta di scrivere due disuguaglianze, nulla di difficile!]
Allora deve essere:
$ -1<=cosalpha<=1; C.E. =>cosalpha!= 90^o ^^cosalpha!= 270^o $
$ -1<=senalpha<=1; C.E. =>senalpha!= 0^o ^^senalpha!= 180^o $
Il prodotto scalare fra due vettori A e B, indicato come A·B (si legge "A scalare B"), viene definito come uno scalare dato dal prodotto fra il modulo di A e la proiezione di B nella direzione di A. Trigonometricamente, viene definito come lo scalare R dato dal prodotto fra il modulo dei due vettori e il coseno dell'angolo compreso tra le direzioni dei due vettori:
R = A·B = AB cos θ AB
Il prodotto vettoriale tra due vettori A e B, indicato come AB (si legge "A vettore B"), viene definito come il vettore R avente modulo pari all'area del parallelogramma di cui A e B sono i lati, direzione perpendicolare al piano del parallelogramma e verso dalla parte della testa di un osservatore che, posto in piedi sul piano che contiene il parallelogramma, vede A sovrapporsi a B ruotando in senso antiorario. Trigonometricamente, il modulo R può anche essere definito come dato dal prodotto fra il modulo dei due vettori e il valore del seno dell'angolo compreso fra le direzioni dei due vettori:
R = AB = AB sen θ AB
"Bad90":[/quote]
[quote="giuliofis"]
Perfetto. Detto questo, per dimostrare che \(-AB\leq A\cdot B \leq AB\), basta considerare che, come hai detto tu, $-1 \leq cos\alpha \leq 1$ unitamente alla definizione di prodotto scalare. Infatti... [continua tu, si tratta di scrivere due disuguaglianze, nulla di difficile!]
Mannaggia, Bad! È più facile di quello che credi!
Se $cosalpha\leq1$, allora $ABcosalpha\leq...$;
se $-1\leq cosalpha$, allora $...\leq ABcosalpha$!
"giuliofis":
Mannaggia, Bad! È più facile di quello che credi!
Se $cosalpha\leq1$, allora $ABcosalpha\leq....$;
se $-1\leq cosalpha$, allora $...\leq ABcosalpha$!
Allora:
Se $cosalpha\leq1$, allora $ABcosalpha\leq 1$;
se $-1\leq cosalpha$, allora $-1\leq ABcosalpha$!
Tutto quì????
E io che non stavo capendo la domanda!
Come ha detto il mio amico Nav., ho fatto un trasloco e ancora non riesco a venirne fuori dallo stress
"Bad90":
[quote="giuliofis"]
Mannaggia, Bad! È più facile di quello che credi!
Se $cosalpha\leq1$, allora $ABcosalpha\leq....$;
se $-1\leq cosalpha$, allora $...\leq ABcosalpha$!
Allora:
Se $cosalpha\leq1$, allora $ABcosalpha\leq 1$;
se $-1\leq cosalpha$, allora $-1\leq ABcosalpha$!
[/quote]
E $AB$ che fine ha fatto?
Devi metterlo anche dopo (rispettivamente prima) il $\leq$! Comunque hai visto, era più facile di quel che pensavi!
"giuliofis":
E $AB$ che fine ha fatto?
Comunque hai visto, era più facile di quel che pensavi!
Se $cosalpha\leq1$, allora $ABcosalpha\leq AB*1$;
se $-1\leq cosalpha$, allora $-1*AB\leq ABcosalpha$!
Vorrei fare Un po di chiarezza sul prodotto scalare e vettoriale!
Allora, prodotto scalare:
In calcolo vettoriale il prodotto scalare è un'operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo. Si tratta di un prodotto interno sul campo reale, ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva a valori reali.
Allora, prodotto scalare:
In calcolo vettoriale il prodotto scalare è un'operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo. Si tratta di un prodotto interno sul campo reale, ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva a valori reali.
Bad, non copiare quello che leggi su Wikipedia! È giusto quello che hai scritto, ma ora ti serve solo capire "come fai" a calcolare il prodotto scalare di due vettori dati! Non è con definizioni generali che impari a fare il prodotto scalare. È con definizioni "operative" , per così dire.
Allora, come lo si definisce operativamente? Se vai a rivedere qualche mia risposta di alcuni mesi fa, lo trovi. Ma te lo ripeto.
È semplice : dati due vettori $vecA$ e $vecB$, che formano tra loro un certo angolo $\alpha$ (per trovare quest'angolo quando i due vettori non hanno la stessa origine come fai? Semplice : ne tracci due ad essi paralleli a partire da uno stesso punto!) , il prodotto scalare è un numero reale ( uno scalare appunto) dato da : $A*B*cos\alpha$, dove $A$ e $B$ sono i moduli dei due vettori dati.
Tutto qui. E da qui, vengono fuori tutte le proprietà del prodotto scalare. Ad esempio viene fuori il risultato dell'esercizio 4 di cui hai discusso prima.
Prendi martello e chiodi, visto che stai sistemando casa, e inchiodati questa roba nella testa.
Allora, come lo si definisce operativamente? Se vai a rivedere qualche mia risposta di alcuni mesi fa, lo trovi. Ma te lo ripeto.
È semplice : dati due vettori $vecA$ e $vecB$, che formano tra loro un certo angolo $\alpha$ (per trovare quest'angolo quando i due vettori non hanno la stessa origine come fai? Semplice : ne tracci due ad essi paralleli a partire da uno stesso punto!) , il prodotto scalare è un numero reale ( uno scalare appunto) dato da : $A*B*cos\alpha$, dove $A$ e $B$ sono i moduli dei due vettori dati.
Tutto qui. E da qui, vengono fuori tutte le proprietà del prodotto scalare. Ad esempio viene fuori il risultato dell'esercizio 4 di cui hai discusso prima.
Prendi martello e chiodi, visto che stai sistemando casa, e inchiodati questa roba nella testa.
"navigatore":
Prendi martello e chiodi, visto che stai sistemando casa, e inchiodati questa roba nella testa.
Ok, ok
, adesso impongo al mio cervello di ricordare questi semplici concetti 
Esercizio 6
Con dei numeri sono capace, ma con dei vettri come si fa??????
Con dei numeri sono capace, ma con dei vettri come si fa??????
Devi fare i disegnini!
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo