La centrifuga
Sembra facile ......
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Risposte
non ho letto tutti i messaggi della disputa 
e sicuramente altri avranno dato questa risposta ... comunque trascurando il peso proprio è a mio avviso evidente che la pressione vari in funzione del quadrato della distanza dal centro. Le superifici isobariche corrispondono a superifici equipotenziali ( $nablap=-rho*nablaU$ )quindi visto che consideriamo solo la forza centrifuga... dovrebbe essere $p(r)=p_atm + rho omega^2 r^2 /2$ al centro dovrebbe esserci la pressione atmosferica originaria del liquido inserito nel contenitore
e sicuramente altri avranno dato questa risposta ... comunque trascurando il peso proprio è a mio avviso evidente che la pressione vari in funzione del quadrato della distanza dal centro. Le superifici isobariche corrispondono a superifici equipotenziali ( $nablap=-rho*nablaU$ )quindi visto che consideriamo solo la forza centrifuga... dovrebbe essere $p(r)=p_atm + rho omega^2 r^2 /2$ al centro dovrebbe esserci la pressione atmosferica originaria del liquido inserito nel contenitore
"wedge":
non ho letto tutti i messaggi della disputa
Caro Wedge
la questione focale è proprio: perchè la pressione nel centro deve essere $p_{atm}$?
Giustamente tu usi il condizionale (dovrebbe essere), io sono convinto che la condizione $p(0)=p_{atm}$ non sia giustificata da alcuna base fisica (non è un equilibrio, non è una continuità, ecc.), anzi ho ragioni per credere che $p(0)$ sia inferiore. Conseguentemente penso anche che la pressione sulla parete esterna sia inferiore a quella da te stimata (e di una quantità non trascurabile).
Se sei interessato all'argomento senza consideralo una disputa personale, ma ti interessa una collaborazione per comprendere un particolare fenomeno, possiamo continuare qui la discussione del problema (senza imperativi, caratteri maggiorati, insinuazioni e insulti), altrimenti mandami un messaggio e, appena posso, ti invio la mia modesta interpretazione (lo stesso vale per tutti i possibili interessati).
Non a caso nella proposta avevo indicato 'sembra facile'....
ciao
Se io prendo un recipiente cilindrico, con le teste flangiate, di rigidezza infinita, e mi immergo nel mare, a dieci metri di profondità, apro il coperchio, lo riempo di acqua, serro le flange e torno in superficie, qual'è la pressione all'interno del mio0 contenitore?
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Se io prendo un recipiente cilindrico, con le teste flangiate, di rigidezza infinita, e mi immergo nel mare, a dieci metri di profondità, apro il coperchio, lo riempo di acqua, serro le flange e torno in superficie, qual'è la pressione all'interno del mio0 contenitore?
se il contenitore è veramente robusto la pressione interna rimane la stessa, ammenocchè non varia la temperatura dell'acqua all'interno risalendo in superficie e quindi dovremmo far ricorso al diagramma di stato dell'acqua per calcolare la pressione, note T e V calcoliamo P
Anche secondo me, le coordinate termodinamiche significative in questo problema sono (P,V,T), se V è fissato, e in prima approx basta che la deformazione volumetrica del contenitore sia sempre sufficientemente più piccola delle dilatazioni o contrazioni dell'acqua in funzione di P e T, la pressione resta funzione della sola T. Però mi sorge un dubbio, se all'interno del cilindro il moto è turbolento, potrebbero esservi zone del fluido in cui si sviluppano fenomeni di cavitazione, con relativa formazione di bolle.....
sento per la prima volta il termine cavitazione, ma tu parli di bolle che si formano nel liquido causate da turbolenze che però a regime tendono a estinguersi nell'esempio che riporti
Non è detto che a regime le turbolenze si estinguano, anzi per la loro stessa natura sono fenomeni caotici e propri dei fluidi reali, per quanto sviluppando il campo di moto di un fluido esse possano essere schematizzate da un termine a media integrale nulla, esse esistono...si parla di cavitazione quando nel seno della fase fluida si determinano punti in cui la pressione è minore od uguale alla tensione di vapore del fluido stesso, a quella temperatura, e quindi si formano bolle di vapore....
p.s. mi sto riferendo al problema di Mirco, non al mio esempio di prima.
si, anche secondo me è possibile se il fluido è reale che si formano dei mulinelli all'interno, però bisogna stabilire ciò è sufficiente per formare le bolle
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Se io prendo un recipiente cilindrico, con le teste flangiate, di rigidezza infinita, e mi immergo nel mare, a dieci metri di profondità, apro il coperchio, lo riempo di acqua, serro le flange e torno in superficie, qual'è la pressione all'interno del mio0 contenitore?
Interessnate domanda. Io credo che siccome non modifco alcuna condizione del fluido portando il repiente in superficie non cambi nulla al suo interno.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Anche secondo me, le coordinate termodinamiche significative in questo problema sono (P,V,T), se V è fissato, e in prima approx basta che la deformazione volumetrica del contenitore sia sempre sufficientemente più piccola delle dilatazioni o contrazioni dell'acqua in funzione di P e T, la pressione resta funzione della sola T. Però mi sorge un dubbio, se all'interno del cilindro il moto è turbolento, potrebbero esservi zone del fluido in cui si sviluppano fenomeni di cavitazione, con relativa formazione di bolle.....
Caro GIOVANNI
stai affrontando un problema più complesso di quello che ho proposto io. Per me basta la valutazione della soluzione stazionaria, quella che si manifesta con il liquido in equilibrio statico rispetto alla centrifuga. Sottolineo che si tratta di un moto, di fatto, rigido della massa di liquido attorno all'asse. Eventuali effetti di moto vorticoso possono interessare la fase transitoria di raggiungimento della velocità e delle condizioni stazionarie, dopo di che il fluido è fermo nel sistema relativo.
Già in queste ipotesi mi sembra complicato, figurati se introduciamo gli altri fenomeni ...!
ciao
Se non ci fosse il tappo il fluido assumerebbe una configurazione paraboloidica. Il volume iniziale deve esser conservato, quindi rispetto al pelo libero del cilindro fermo, la zona vicino all'asse quando l'oggetto è in rotazione si trova al di sotto di tale altezza. Se poi ci mettiamo il tappo, esso eserciterà sul fluido un'azione tale da mantenere il pelo a contatto con esso rettilineo. Quindi la pressione deve essere proporzionale allo spostamento che il fluido subisce quando esso è caricato, ma libero dal tappo. In questo modo si può anche arrivare alla conclusione che nel centro la pressione sia negativa, cosa che mi lascia perplesso visto che, sia il fluido non sopporta uno stato di tensione di trazione, sia il tappo non può tirare, ma solo spingere, vista la natura unilatera del vincolo che esso offre.
La domanda è... chi gliela da al fluido la pressione tale da tirarlo su? (detto in parole povere)...
P.S.: non credo che si parli di prssione relativa, infatti, se mettiamo il tappo sul contenitore e togliamo l'aria, allora il fluido a contatto con il tappo, quando la centrifuga è ferma, è a pressione nulla, non atmosferica...
Quello che si trova è: $\nabla(p-1/2\rho\omega^2r^2)=0=>p=1/2\rhoomega^2r^2+C$, non è che bisogna imporre che $p>0$?
La domanda è... chi gliela da al fluido la pressione tale da tirarlo su? (detto in parole povere)...
P.S.: non credo che si parli di prssione relativa, infatti, se mettiamo il tappo sul contenitore e togliamo l'aria, allora il fluido a contatto con il tappo, quando la centrifuga è ferma, è a pressione nulla, non atmosferica...
Quello che si trova è: $\nabla(p-1/2\rho\omega^2r^2)=0=>p=1/2\rhoomega^2r^2+C$, non è che bisogna imporre che $p>0$?
uh! ma guarda capitavo per caso...
anzitutto balza agli occhi che una pressione nulla comporterebbe volume infinito
anche se si dovrebbe fare una prova, le molecole del fluido risentono sempre di una leggera forza attrattiva essendo dotate di massa, per esempio, non possiamo azzerare la gravità, per cui non ci resta di parlare di pressione relativa.
poi questo problema, lo dicevo anche l'anno scorso mi pare( ), è posto male perchè non vengono affatto citate le condizioni iniziali del fluido e del contenitore, che sono essenziali per risolvere un qualsiasi eventuale modello basato su equazioni differenziali, senza condizioni al contorno non è possibile risolvere un'equazione differenziale, non è proprio possibile, non si può.
poi altra cosa, è possibile che non torni qualcosa dal punto di vista logico se si considera il contenitore di rigidezza infinita, non esistendo in natura nessun contenitore di rigidezza infinita, ciò potrebbe portare a conclusioni paradossali prive di senso fisico(tipo pressione negativa). già questo dovrebbe esser sufficiente a non perdere altro tempo sull'argomento ed a farlo cadere definitivamente nel suo luogo più naturale: il dimenticatoio.
anzitutto balza agli occhi che una pressione nulla comporterebbe volume infinito
anche se si dovrebbe fare una prova, le molecole del fluido risentono sempre di una leggera forza attrattiva essendo dotate di massa, per esempio, non possiamo azzerare la gravità, per cui non ci resta di parlare di pressione relativa.poi questo problema, lo dicevo anche l'anno scorso mi pare(
), è posto male perchè non vengono affatto citate le condizioni iniziali del fluido e del contenitore, che sono essenziali per risolvere un qualsiasi eventuale modello basato su equazioni differenziali, senza condizioni al contorno non è possibile risolvere un'equazione differenziale, non è proprio possibile, non si può. poi altra cosa, è possibile che non torni qualcosa dal punto di vista logico se si considera il contenitore di rigidezza infinita, non esistendo in natura nessun contenitore di rigidezza infinita, ciò potrebbe portare a conclusioni paradossali prive di senso fisico(tipo pressione negativa). già questo dovrebbe esser sufficiente a non perdere altro tempo sull'argomento ed a farlo cadere definitivamente nel suo luogo più naturale: il dimenticatoio.
Direi che, dato che il recipiente ha pareti rigide, ciò che rimane costante è il volume totale... quindi conoscendo la variazione di un volumetto di acqua al variare della pressione (dato non fornito nel testo del problema), dobbiamo imporre che la stessa massa rientri nello stesso volume... Questa condizione si esprime con un integrale di volume che deve dare come risultato la stessa massa che c'era inizialmente.
Amesso che la variazione di densità dell'acqua sia molto piccola, la pressione sull'asse mi risulta $p(0)=p_a-1/3*rho*omega^2R^2$ e non mi dipende dalla comprimibilità dell'acqua
Amesso che la variazione di densità dell'acqua sia molto piccola, la pressione sull'asse mi risulta $p(0)=p_a-1/3*rho*omega^2R^2$ e non mi dipende dalla comprimibilità dell'acqua
nutrirei dei dubbi su quella formula, oltre a non dipendere dalla comprimibilità dell'acqua, ammetterebbe pressioni negative, ammenocchè per te R=0 sull'asse, allora il secondo termine non avrebbe senso quindi $p(0)=p_a$. come l'hai trovata?
oltre a non dipendere dalla comprimibilità dell'acqua, ammetterebbe pressioni negative, ammenocchè per te R=0 sull'asse, allora il secondo termine non avrebbe senso quindi p(0)=pa.
é ovvio che questa formula vale solo nel caso in cui l'acqua rimane liquida (come è stato specificato da chi ha postato l'esercizio) , quindi il problema a cui ti riferisci non è quello della pressione negativa ma di una pressione pari a quella di saturazione (alla temperatura ambiente se le pareti non sono adiabatiche); quando si forma il vapore questo sale verso l'alto creando un pelo libero in cui si ha pressione costante pari appunto a quella di saturazione e la soluzione è diversa.
La formula l'ho ricavata così:
supposto che $(DeltaV)/V = -kDeltap$ ovvero che la variazione percentuale di volume di una certta quantità di acqua sia proporzionale alla variazione di pressione si ha $DeltaV=-k(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)V$, dove per $V$ si intende il volumetto infinitesimo occupato inizialmente dall'acqua ($r d theta dr h$) e per $p_a$ la pressione iniziale.
Integrando su tutto il volume si ha il $DeltaV_(T)$(totale) che deve essere nullo (pareti rigide) , quindi si ricava la $p(0)$.
PS: come già detto questo vale solo nel caso in cui le variazioni di densità e quindi di volume siano molto piccole per cui si può utilizzare l'espressione della pressione in funzione di r , ricavata per densità costante.
Appunto... ma io direi che $p_a=0$ per i motivi prima detti...
qualcosa deve non tornare. la variazione di volume complessiva non può essere 0, quindi il calcolo è sbagliato in partenza. il contenitore esercita una forza sul fuido, trasmessagli dalla coppia che lo fa ruotare, questa forza deve produrre un effetto sul fluido che appunto è la sua compressione/diminuzione di volume(e aumento della pressione media che controbilancia la forza esercitata dal contenitore per ottenere l'equilibrio). per questo dicevo che, se si presuppone il contenitore rigido si arriva a conclusioni paradossali.
l'idea risolutiva in realtà è molto più complicata da risolvere. in realtà si può modellizzare il tutto associando al contenitore ed al fluido due molle collegate in serie di rigidezza differente di cui una molto maggiore. dall'esterno viene sollecitata quella più rigida che trasmetta una forza pari e contraria a quella interna più "soffice" tra virgolette che quindi si deforma di più finche si raggiunge un equilibrio. come questo possa essere trasferito in formule tenendo conto anche della circoferenzialità del contenitore al momento mi sfugge, ma resto comunqe dell'idea che la pressione al centro non vari nel tempo, non subendo sollecitazioni nè dalle particelle vicine nè dal contenitore(o dal tappo come diceva cavalli).
escluderei il formarsi di un cilindretto di vuoto al centro. cosa ne pensate?
escluderei il formarsi di un cilindretto di vuoto al centro. cosa ne pensate?
Cmq a naso--------> avete provato a risolvere l'equazione di Eulero
in coordinate intrinseche?
(Con la condizione al contorno di pressione nel centro pari a quella
prima della rotazione)
(anche perchè penso che l'effetto della viscosità molecolare nn sia
da mettere in contro a priori anche perchè avete scritto di superfici
equipotenziali.)
Le considerazioni di wedge (mi pare) cmq fanno ovviamente propendere
per l'andamento parabolico del profilo di velocità.
in coordinate intrinseche?
(Con la condizione al contorno di pressione nel centro pari a quella
prima della rotazione)
(anche perchè penso che l'effetto della viscosità molecolare nn sia
da mettere in contro a priori anche perchè avete scritto di superfici
equipotenziali.)
Le considerazioni di wedge (mi pare) cmq fanno ovviamente propendere
per l'andamento parabolico del profilo di velocità.
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