La centrifuga
Sembra facile ......
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Risposte
"mircoFN":
quasi giusto:
$Theta=3*epsilon=3(1-2 \nu)*sigma/E=-3(1-2 \nu)*p/E$
però per la soluzione dell'esercizio non è necessario conoscere $E$ e $nu$, perché il risultato non ne risulta influenzato ....
è vero.
"kinder":
Riguardo il legame tra pressione e deformazione tieni presente quanto segue:
1) il coefficiente di dilatazione volumica è dato da: $Theta=epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z$
2) in regime idrostatico le $epsilon$ sono uguali tra loro, perché sono uguali tra loro le $sigma=-p$, per cui hai $Theta=3*epsilon=3*sigma/E=-3*p/E$. E' questa che ti consente di legare variazioni di volume specifico (o densità) e pressione. Bada che ciò non vale solo per l'acqua, ma è vero sempre in regime di tensione di tipo idrostatico (se del caso anche per l'acciaio), e non solo per tensioni negative.
é qui che non mi torna .. Se sono uguali le la $sigma$ non è detto che le deformazioni direzionali siano uguali (o meglio questo varrà solo per un materiale elastico e isotropo) , si può trovare un controesempio:
Un esempio più chiaro potrebbe essere questo: pensiamo ad un contenitore cubico contenente dell'acqua con due facce adiacenti costituite da due pistoni... comprimendo l'acqua prima con un pistone e poi con l'altro, a parità di variazione di pressione, prendendo un volumetto abbiamo che questo prima si deforma in una direzione e poi nell'altra ovvero non è possibile trovare una correlazione tra deformazione direzionale e variazione di pressione, quello che è uguale nei due casi è la variazione percentuale di volume.
"nnsoxke":
é qui che non mi torna .. Se sono uguali le la $sigma$ non è detto che le deformazioni direzionali siano uguali (o meglio questo varrà solo per un materiale elastico e isotropo) , si può trovare un controesempio:
non me ne voglia Kinder se mi intrometto e probabilmente lo anticipo, ma mi sembra evidente che il comportamento dell'acqua può essere assunto isotropo. Vedi forse direzioni preferenziali nell'acqua liquida
?Per quanto rigurda l'elasticità lineare, vale lo stesso discorso. Per quanto poco deformabili, anche i liquidi un po' lo sono e al primo ordine possono essere considerati elastici lineari come tutti i solidi: cosa lo impedisce?
Ovviamente solo per sollecitazioni idrostatiche di compressione, che sono le uniche che consentono a un fluido di rimanere in equilibrio statico.
Non capisco infine cosa intendi per 'deformazioni direzionali'. Le deformazioni non sono un vettore... ma questo discorso ci porterebbe fuori tema.
ciao
"mircoFN":
[quote="cavallipurosangue"]A me ancora diverso torna... Ci si trova a questa espressione:
$DeltaV=0=kint_V(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)dV=2pihkint_0^{R}(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)rdr=p(0)R^2/2+1/4rhoomega^2R^4-p_aR^2/2=0$
Non vedo dove possa essere l'errore...
forse qui?
$DeltaV=0=kint_V(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)dV=2pihkint_0^{R}(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)rdr=2pihk(p(0)R^2/2+1/2rhoomega^2R^4/4-p_aR^2/2)=0$
da cui:
$p(0)=p_a-1/4rhoomega^2R^2$[/quote]
Si è vero... che errore...
Adesso l'ho visto... 
Per quanto poco deformabili, anche i liquidi un po' lo sono e al primo ordine possono essere considerati elastici lineari come tutti i solidi: cosa lo impedisce?
Ho dato il controesempio...
Non capisco infine cosa intendi per 'deformazioni direzionali'. Le deformazioni non sono un vettore... ma questo discorso ci porterebbe fuori tema.
"kinder":
a me viene come segue:
da $(dp)/(dr)=rho*omega^2*r$ considero la $sigma=-p$ da cui $(dsigma)/(dr)=-rho*omega^2*r$, quindi
$sigma=-rho*omega^2*r^2/2+c_1$
Poi considero che $sigma=E*epsilon=E*(du)/(dr)$ con $u$ lo spostamento dell'acqua per effetto dell'accelerazione centrifuga.
Allora ho: $E*(du)/(dr)=-rho*omega^2*r^2/2+c_1$ che integrata dà:
$E*u(r)=-rho*omega^2*r^3/6+c_1*r+c_2$. Prima dell'insorgenza della cavitazione posso imporre le condizioni:
$u(0)=0$ per simmetria - da cui $c_2=0$ - e $u(R)=0$ perchè ipotizzo il cilindro rigido. Da quest'ultima ricavo:
$c_1=rho*omega^2*R^2/6$.
Tornando alla $sigma$ e considerando il principio di sovrapposizione degli effetti avrò:
$sigma=-p_a-rho*omega^2*r^2/2+rho*omega^2*R^2/6$
fatti salvi gli errori che normalmente compio facendo calcoli (brutto limite per un ingegnere!)
Per avere la pressione basta cambiare il segno.
A dire il vero, la tua soluzione non mi convince neanche tanto dal punto di vista fisico. Mi spiego... Soprattutto quando dici che $u(0)=u(R)=0$, dici una imprecisione; o meglio, non è che è zero in $R$ perchè il contenitore è infinitamente rigido, bensì la $u$ è SEMPRE 0 per l'ipotesi di rigidezza, qualunque sia r...
"cavallipurosangue":
...
A dire il vero, la tua soluzione non mi convince neanche tanto dal punto di vista fisico. Mi spiego... Soprattutto quando dici che $u(0)=u(R)=0$, dici una imprecisione; o meglio, non è che è zero in $R$ perchè il contenitore è infinitamente rigido, bensì la $u$ è SEMPRE 0 per l'ipotesi di rigidezza, qualunque sia r...
Mi sorprende questa tua affermazione, visto che il calcolo che hai fatto tu considera proprio la deformazione dell'acqua per effetto della pressione, alla quale imponi poi il vincolo di volume totale costante. Se tu introducessi davvero l'ulteriore vincolo di rigidezza dell'acqua, verresti a configurare una situazione di tipo iperstatico indeterminata, non risolvibile. Non ci ho pensato bene, ma sospetto che sotto tale ipotesi non avresti neppure un aumento della pressione sulla parete del cilindro per effetto della forza centrifuga.
@nnsoxke
la risposta di MircoFN è più che esaustiva. Non capisco perché questa cosa susciti tanto scalpore. Aggiungo allora quelche ulteriore considerazione che spero faccia chiarezza:
1) nel caso in esame abbiamo un regime tensionale di tipo idrostatico, a cui possono essere sottoposti anche i solidi. Le considerazioni fatte qui sono quindi generalizzabili, e non dipendono dal tipo di materiale;
2) l'acqua differisce dai solidi per il fatto di non reagire a taglio e a trazione. Ma in questo caso, di regime idrostatico a sigma negative, questo fatto non si manifesta.
3) per quanto riguarda l'elasticità, sfido chiunque a dimostrare che, se si applica una pressione di 1 milione di bar all'acqua, quando questa viene a cessare l'acqua non riacquisti in pieno la densità iniziale;
4) per quanto riguarda la linearità, suggerisco di fare un'analisi comparativa tra l'acqua e l'acciaio, in regime idrostatico, e poi ne riparliamo;
5) per quanto riguarda omogeneità ed isotropia, vi ricordo che l'acqua approssima tali ipotesi molto meglio della maggioranza dei materiali utilizzati nelle costruzioni. L'acciaio, per esempio, è un solido cristallino, molto meno isotropo dell'acqua, ed anche meno omogeneo. Nell'acqua liquida i limiti di tali ipotesi si trovano su scale molecolari, mentre sull'acciaio a livello delle dimensioni dei grani, ovvero molti ordini di grandezza in più;
6) per quanto riguarda la deformabilità dell'acqua (il modulo di Young), se non ricordo male è più deformabile dell'acciaio. L'analisi comparativa di cui sopra potrà dimostrare, o smentire, quest'affermazione.
La spiegazione di Kinder è ottima.
La sua soluzione però è affetta dallo stesso errore che ho evidenziato prima, cioè:
$sigma \ne E (du)/(dr)$
proprio perché lo stato di tensione è idrostatico (e non uniassiale). Le condizioni al contorno $u=0$ in 0 e in $R$ sono invece poste correttamente.
Insisto sul fatto che, prima della cavitazione, la pressione nell'origine è:
$p_a-1/4 rho omega^2 R^2$
e mi sembra che ora Cavallipurosangue convenga, o sbaglio?
@nnsoxke
credo che tu abbia qualche problema nella definizione di deformazione ....
La sua soluzione però è affetta dallo stesso errore che ho evidenziato prima, cioè:
$sigma \ne E (du)/(dr)$
proprio perché lo stato di tensione è idrostatico (e non uniassiale). Le condizioni al contorno $u=0$ in 0 e in $R$ sono invece poste correttamente.
Insisto sul fatto che, prima della cavitazione, la pressione nell'origine è:
$p_a-1/4 rho omega^2 R^2$
e mi sembra che ora Cavallipurosangue convenga, o sbaglio?
@nnsoxke
credo che tu abbia qualche problema nella definizione di deformazione ....
Si la pressione sull'asse mi torna adesso come dice mirco.
@ kinder
ieri pomeriggio ero appena tornato da più di 24 ore di treno e può darsi che fossi abbastanza rinc... Ma avevo scambiato $u$ con $w$. Infatto volevo dire che con il tappo rigido non ci sarebbe mai stato spostamento verticale... Tra l'altro sarebbe anche scorretta l'equazione di congruenza scritta se fosse stato lo spostamento verticale (lungo z)... Chiedo venia... facciamo conto che ieri non abbia detto nulla...
@ kinder
ieri pomeriggio ero appena tornato da più di 24 ore di treno e può darsi che fossi abbastanza rinc... Ma avevo scambiato $u$ con $w$. Infatto volevo dire che con il tappo rigido non ci sarebbe mai stato spostamento verticale... Tra l'altro sarebbe anche scorretta l'equazione di congruenza scritta se fosse stato lo spostamento verticale (lungo z)... Chiedo venia... facciamo conto che ieri non abbia detto nulla...
"mircoFN":
...
La sua soluzione però è affetta dallo stesso errore che ho evidenziato prima, cioè:
$sigma \ne E (du)/(dr)$
proprio perché lo stato di tensione è idrostatico (e non uniassiale).
azz... è vero! E' un effetto dell'analfabetismo di ritorno.
L'espressione corretta, in coordinate cilindriche sarebbe: $sigma_r=(2G+lambda)epsilon_r+lambda(epsilon_theta+epsilon_z)$
con $G$ e $lambda$ costanti di Lamé. Però in questi termini questa strada diventa laboriosa, in termini di calcolo, e non più raccomandabile. Magari, solo per curiosità, proverò a vedere dove porta.
"kinder":
L'espressione corretta, in coordinate cilindriche sarebbe: $sigma_r=(2G+lambda)epsilon_r+lambda(epsilon_theta+epsilon_z)$
con $G$ e $lambda$ costanti di Lamé. Però in questi termini questa strada diventa laboriosa, in termini di calcolo, e non più raccomandabile. Magari, solo per curiosità, proverò a vedere dove porta.
Siccome il valore delle costanti non ha effetto sulla soluzione (della pressione) sono convinto che questa strada porti direttamente alla mia soluzione...
ciao
"mircoFN":
...
Siccome il valore delle costanti non ha effetto sulla soluzione (della pressione) sono convinto che questa strada porti direttamente alla mia soluzione...
ciao
E' vero, ed è anche meno laboriosa di quanto non temessi. Infatti:
ponendo:
$G=0$ per l'acqua
$epsilon_z=0$
$epsilon_r=u'$
$epsilon_theta=u/r$
la $sigma_r=(2G+lambda)epsilon_r+lambda(epsilon_theta+epsilon_z)$ diventa:
$sigma_r=lambda(u'+u/r)$.
Ma anche, considerando solo la componente centrifuga:
$sigma_r=lambda(u'+u/r)=-rho*omega^2/2*r^2+c_1$, per cui si deve risolvere l'equazione differenziale:
$u'+u/r=1/lambda(-rho*omega^2/2*r^2+c_1)$.
Facendo un po' di conti trovo per tale equazione la soluzione:
$u(r)=A/r+1/lambda(-rho*omega^2r^3/8+c_1r/2)$, imponendo alla quale le condizioni al contorno $u(0)=u(R)=0$, ottengo per le costanti:
$A=0$
$c_1=rho*omega^2/4*R^2$. Quindi la soluzione è
$u(r)=rho*omega^2/(8lambda)r(R^2-r^2)$
con cui ottengo, tramite la $sigma_r=lambda(u'+u/r)$.:
$sigma_r(r)=rho*omega^2/2(R^2/2-r^2)$, quindi il risultato di MircoFN.
Ok, bene, adesso siamo tutti d'accordo... In ogni caso, anche se è leggermente OT, come si ricava questa formula?
$sigma_r=(2G+lambda)epsilon_r+lambda(epsilon_theta+epsilon_z)$
Non conosco nemmeno il simbolo $lambda$, qualcuno potrebbe spiegarmi, grazie...
$sigma_r=(2G+lambda)epsilon_r+lambda(epsilon_theta+epsilon_z)$
Non conosco nemmeno il simbolo $lambda$, qualcuno potrebbe spiegarmi, grazie...
"cavallipurosangue":
Ok, bene, adesso siamo tutti d'accordo... In ogni caso, anche se è leggermente OT, come si ricava questa formula?
$sigma_r=(2G+lambda)epsilon_r+lambda(epsilon_theta+epsilon_z)$
Non conosco nemmeno il simbolo $lambda$, qualcuno potrebbe spiegarmi, grazie...
in regime elastico lineare si ottiene per sovrapposizione degli effetti di tre stati monoassiali. Lo trovi nei testi di scienza delle costruzioni e similari.
$lambda=Enu/((1+nu)(1-2nu))$
$nu$ rapporto di Poisson
Ok, vedrò di informarmi...
Kinder usa le costanti di Lamè per scrivere la legge di Hooke.
Non per fare il pignolo, ma non mi sembra un procedimento del tutto corretto per un liquido ideale.
Bisogna infatti ricordare che la legge di Hooke è stata sviluppata per rappresentare il comportamento elastico dei solidi, e che è necessario rispettare alcuni limiti che rendono l'associata energia elastica definita positiva. Tra questi, per un materiale isotropo, vi è la condizione:
$G>0$.
Nel caso in esame, la legge costitutiva elastica-lineare si deve esprimere in modo diverso, in quanto non è possibile separare le due costanti elastiche (in qualunque modo le si definisca: $G$ e $lambda$ oppure $E$ e $nu$). Si introduce quindi una sola costante che lega proporzionalmente la componente idrostatica dello stato di tensione (a parte il segno, la pressione) e la variazione relativa di volume (la somma delle deformazioni normali). Per i solidi, tale grandezza è detta 'bulk modulus', non è $lambda$ ma $K=E/(3(1-2nu))$.
Tuttavia, siccome il valore dell'unica costante elastica non ha effetto sulla distribuzione di pressione nel caso in esame, la soluzione finale di Kinder è corretta.
ciao
Non per fare il pignolo, ma non mi sembra un procedimento del tutto corretto per un liquido ideale.
Bisogna infatti ricordare che la legge di Hooke è stata sviluppata per rappresentare il comportamento elastico dei solidi, e che è necessario rispettare alcuni limiti che rendono l'associata energia elastica definita positiva. Tra questi, per un materiale isotropo, vi è la condizione:
$G>0$.
Nel caso in esame, la legge costitutiva elastica-lineare si deve esprimere in modo diverso, in quanto non è possibile separare le due costanti elastiche (in qualunque modo le si definisca: $G$ e $lambda$ oppure $E$ e $nu$). Si introduce quindi una sola costante che lega proporzionalmente la componente idrostatica dello stato di tensione (a parte il segno, la pressione) e la variazione relativa di volume (la somma delle deformazioni normali). Per i solidi, tale grandezza è detta 'bulk modulus', non è $lambda$ ma $K=E/(3(1-2nu))$.
Tuttavia, siccome il valore dell'unica costante elastica non ha effetto sulla distribuzione di pressione nel caso in esame, la soluzione finale di Kinder è corretta.
ciao
"kinder":
[quote="mircoFN"]
...
La sua soluzione però è affetta dallo stesso errore che ho evidenziato prima, cioè:
$sigma \ne E (du)/(dr)$
proprio perché lo stato di tensione è idrostatico (e non uniassiale).
azz... è vero! E' un effetto dell'analfabetismo di ritorno.
L'espressione corretta, in coordinate cilindriche sarebbe: $sigma_r=(2G+lambda)epsilon_r+lambda(epsilon_theta+epsilon_z)$
con $G$ e $lambda$ costanti di Lamé. Però in questi termini questa strada diventa laboriosa, in termini di calcolo, e non più raccomandabile. Magari, solo per curiosità, proverò a vedere dove porta.[/quote]
Kinder partiamo dalle cose semplici...
Prendiamo il controesempio che ho dato ( quello del recipiente cubico) applichiamo questa formula che hai riportato e vediamo se torna... Ci si accorgerà che non è possibile esprimere le tensioni in funzione delle deformazioni nelle varie direzioni, è possibile trovare solo una correlazione tra variazione di densità e variazione di pressione.
3) per quanto riguarda l'elasticità, sfido chiunque a dimostrare che, se si applica una pressione di 1 milione di bar all'acqua, quando questa viene a cessare l'acqua non riacquisti in pieno la densità iniziale;
Non è solo quesrta la definizione di materiale elastico (o meglio non è quella che conosco io), bisogna aggiungere che vale anche il legame elastico tra tensioni e deformazioni $sigma= Eepsilon $ (sono matrici)
provo in un sol colpo a rispondere a Mirco e a nnsoxke
comincio da quella facile @nnsoxke
la relazione $sigma=Eepsilon$ non è la definizione di legame elastico, il quale sarebbe descritto anche da $sigma=Eepsilon^3$, ma include l'ulteriore ipotesi di comportamento lineare.
@ MircoFN
quando di un'equazione mi torna utile la struttura formale, al limite maltrattandola un po', la uso indipendentemente dalla sua origine. So bene che la legge di Hooke non è applicabile all'acqua (spero tu non abbia pensato che lo credessi possibile), ma è anche vero che nel momento in cui pongo $G=0$ sto abbandonando completamente il legame costitutivo elastico lineare, che è ciò che voglio fare. Ciò vuol dire che la costante $lambda$ che continuo ad utilizzare, non ha più il significato che aveva inizialmente, ma conserva quello di costante di proporzionalità tra $sigma$ e $Theta$.
Nella risposta ad entrambi mostrerò meglio il perché di queste cose.
Il modulo di elasticità volumetrico è $k=E/(1-2nu)$ e non c'entra niente con $lambda$. Si dimostra però facilmente che $k=2G+3lambda$, e se si pone G=0, come ho fatto io, si ha che $k=3lambda$. E' questa la ragione per cui nell'equazione utilizzata da me compare $lambda=k/3$.
@entrambi
partendo da $sigma_x=(2G+lambda)epsilon_x+lambda(epsilon_y+epsilon_z)$, quando pongo $G=0$ ottengo:
$sigma_x=lambda(epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z)=lambda Theta$ e vedo che le $sigma_x=sigma_y=sigma_z$, inoltre che: $sigma_x+sigma_y+sigma_z=3lambda Theta=k Theta$, cioè proprio la definizione di k (posto G=0). Tra l'altro mi vedo rappresentato il regime idrostatico del liqudo. Notate il fatto che $sigma$ dipende solo da $Theta$. A questo punto si tratta solo di rappresentare $Theta=(dV)/V=epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z$, cosa che ho fatto in un post precedente, in cui in pratica si esprime $Theta$ in funzione di $u$ e $u'$ tramite $Theta=epsilon_r+epsilon_(theta)=u'+u/r$, una volta posto $epsilon_z=0$.
Vedete quindi che non è un caso che il risultato conduca a quello di MircoFN, perché di fatto gli approcci sono equivalenti, con la sola differenza che io passo attraverso lo spostamento $u$, da cui $Theta$ dipende.
comincio da quella facile @nnsoxke
la relazione $sigma=Eepsilon$ non è la definizione di legame elastico, il quale sarebbe descritto anche da $sigma=Eepsilon^3$, ma include l'ulteriore ipotesi di comportamento lineare.
@ MircoFN
quando di un'equazione mi torna utile la struttura formale, al limite maltrattandola un po', la uso indipendentemente dalla sua origine. So bene che la legge di Hooke non è applicabile all'acqua (spero tu non abbia pensato che lo credessi possibile), ma è anche vero che nel momento in cui pongo $G=0$ sto abbandonando completamente il legame costitutivo elastico lineare, che è ciò che voglio fare. Ciò vuol dire che la costante $lambda$ che continuo ad utilizzare, non ha più il significato che aveva inizialmente, ma conserva quello di costante di proporzionalità tra $sigma$ e $Theta$.
Nella risposta ad entrambi mostrerò meglio il perché di queste cose.
Il modulo di elasticità volumetrico è $k=E/(1-2nu)$ e non c'entra niente con $lambda$. Si dimostra però facilmente che $k=2G+3lambda$, e se si pone G=0, come ho fatto io, si ha che $k=3lambda$. E' questa la ragione per cui nell'equazione utilizzata da me compare $lambda=k/3$.
@entrambi
partendo da $sigma_x=(2G+lambda)epsilon_x+lambda(epsilon_y+epsilon_z)$, quando pongo $G=0$ ottengo:
$sigma_x=lambda(epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z)=lambda Theta$ e vedo che le $sigma_x=sigma_y=sigma_z$, inoltre che: $sigma_x+sigma_y+sigma_z=3lambda Theta=k Theta$, cioè proprio la definizione di k (posto G=0). Tra l'altro mi vedo rappresentato il regime idrostatico del liqudo. Notate il fatto che $sigma$ dipende solo da $Theta$. A questo punto si tratta solo di rappresentare $Theta=(dV)/V=epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z$, cosa che ho fatto in un post precedente, in cui in pratica si esprime $Theta$ in funzione di $u$ e $u'$ tramite $Theta=epsilon_r+epsilon_(theta)=u'+u/r$, una volta posto $epsilon_z=0$.
Vedete quindi che non è un caso che il risultato conduca a quello di MircoFN, perché di fatto gli approcci sono equivalenti, con la sola differenza che io passo attraverso lo spostamento $u$, da cui $Theta$ dipende.
ho verificato che nel range di pressione tra 1 e 1000 bar, a 10 °C, per una data pressione il volume dell'acqua si riduce 84 volte più dell'acciaio. I formula $k_(acciaio)=84*k_(acqua)$, utilizzando per l'acciao $E=2,1*10^5MPa$ e $nu=1/3$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo