La centrifuga
Sembra facile ......
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Risposte
la variazione di volume complessiva non può essere 0, quindi il calcolo è sbagliato in partenza. il contenitore esercita una forza sul fuido, trasmessagli dalla coppia che lo fa ruotare, questa forza deve produrre un effetto sul fluido che appunto è la sua compressione/diminuzione di volume
Non ci siamo proprio!Le forze che compiono lavoro sul fluido aumentandone l'energia cinetica ( per metterlo in rotazione) e l'energia potenziale non sono quelle di pressione ma quelle di attrito viscoso con la parete.
in realtà si può modellizzare il tutto associando al contenitore ed al fluido due molle collegate in serie di rigidezza differente di cui una molto maggiore.
é quello che si fa ipotizzando che le pareti siano rigide e che quindi la variazione di volume totale dell'acqua sia nulla.
Se volessi considerare la rigidezza del contenitore dovresti sapere come minimo come è fatto.
escluderei il formarsi di un cilindretto di vuoto al centro. cosa ne pensate?
Quando la pressione sull'asse raggiunge quella di saturazione, continuando ad aumentare la velocità angolare, trascurando l'effetto della forza peso si ha la formazione di un cilindretto di vapore sull'asse del contenitore. (un pelo libero molto allungato)
A quel punto l'incognita da ricavare non è più la pressione al raggio interno dell'acqua (che è quella di saturazione), ma il raggio di questo cilindretto, che si ricava imponendo sempre che la stessa massa rientri nello stesso volume e conoscendo la densità del vapore.
@ Valerio_D
credo che siamo tutti quanti d'accordo l'andamento della pressione di contatto, nel caso di tappo infinitamente rigido, è paraboloidico a meno di una costante arbitraria, ed è quella al momento che ci fa discutere.
@ gli altri
Che c'entrano le forze che mettono in moto il fluido... si sta studiando il fenomeno dopo quel transitorio, in regime stazionario...
Vediamo che succede a considerare la deformabilità del tappo.
Se le pareti sono stavolta le sole infinitamente rigide, puoi modellare il tappo come una piastra circolare a spessore costante e rigidezza flessionale $D=Eh^3/(12(1-ni^2))$, incastrata agli estremi e sollecitata dalla generica distribuzione superficiale di forze $p(r)$. Conoscendo già la deformata che la piastra deve assumere per rispettare la congruenza, basta che sostituisci tale valore trovapo nell'equazione differenziale delle piastre circolari.
Per l'acqua, avendo posto il sistema di riferimento sul pelo libero e con l'asse z verso l'alto, si ha:
$\nabla(p+p(r))=-\rhog$$k$$+\rho\omega^2r$$r$$=>\nabla(p+p(r)+\rhogz-1/2\rho\omega^2r^2)=0=>p+p(r)+\rhogz-1/2\rho\omega^2r^2=C$
dove $p(r)$ è la pressione agente sull'acqua per conto del tappo, mentre $p$ è la pressione idrostatica.
Inoltre sappiamo che sul pelo più esterno la pressione idrostatica è nulla, e ricordando che $w(r)+z_0=z$, si ottiene:
$w(r)=1/2(\omega^2/g) r^2-(p(r))/(\rhog)+B$
L'equazione differenziale delle piastre circolari è:
$1/r d/(dr){r d/(dr)[1/r d/(dr)(r (dw(r))/(dr))]}=q/D$
essendo poi in questo caso $q=p(r)$, facendo due conti:
$1/r d/(dr){r d/(dr)[1/r d/(dr)(r (dp(r))/(dr))]}=-g\rho (p(r))/D$
Oppure anche partendo da quella del terzo ordine:
$r d/(dr)[1/r d/(dr)(r (dp(r))/(dr))]=(\rhog)/D1/r\int_0^sp(t)tdt$
C'è solo da divertirsi adesso...
In ogni caso se invece il tappo fosse stato infinitamente rigido:
$w(r)=1/2(\omega^2/g) r^2-(p(r))/(\rhog)+B=0=>p(r)=1/2\rho\omega^2r^2+A$
come appunto dicevamo prima...
credo che siamo tutti quanti d'accordo l'andamento della pressione di contatto, nel caso di tappo infinitamente rigido, è paraboloidico a meno di una costante arbitraria, ed è quella al momento che ci fa discutere.
@ gli altri
Che c'entrano le forze che mettono in moto il fluido... si sta studiando il fenomeno dopo quel transitorio, in regime stazionario...
Vediamo che succede a considerare la deformabilità del tappo.
Se le pareti sono stavolta le sole infinitamente rigide, puoi modellare il tappo come una piastra circolare a spessore costante e rigidezza flessionale $D=Eh^3/(12(1-ni^2))$, incastrata agli estremi e sollecitata dalla generica distribuzione superficiale di forze $p(r)$. Conoscendo già la deformata che la piastra deve assumere per rispettare la congruenza, basta che sostituisci tale valore trovapo nell'equazione differenziale delle piastre circolari.
Per l'acqua, avendo posto il sistema di riferimento sul pelo libero e con l'asse z verso l'alto, si ha:
$\nabla(p+p(r))=-\rhog$$k$$+\rho\omega^2r$$r$$=>\nabla(p+p(r)+\rhogz-1/2\rho\omega^2r^2)=0=>p+p(r)+\rhogz-1/2\rho\omega^2r^2=C$
dove $p(r)$ è la pressione agente sull'acqua per conto del tappo, mentre $p$ è la pressione idrostatica.
Inoltre sappiamo che sul pelo più esterno la pressione idrostatica è nulla, e ricordando che $w(r)+z_0=z$, si ottiene:
$w(r)=1/2(\omega^2/g) r^2-(p(r))/(\rhog)+B$
L'equazione differenziale delle piastre circolari è:
$1/r d/(dr){r d/(dr)[1/r d/(dr)(r (dw(r))/(dr))]}=q/D$
essendo poi in questo caso $q=p(r)$, facendo due conti:
$1/r d/(dr){r d/(dr)[1/r d/(dr)(r (dp(r))/(dr))]}=-g\rho (p(r))/D$
Oppure anche partendo da quella del terzo ordine:
$r d/(dr)[1/r d/(dr)(r (dp(r))/(dr))]=(\rhog)/D1/r\int_0^sp(t)tdt$
C'è solo da divertirsi adesso...
In ogni caso se invece il tappo fosse stato infinitamente rigido:
$w(r)=1/2(\omega^2/g) r^2-(p(r))/(\rhog)+B=0=>p(r)=1/2\rho\omega^2r^2+A$
come appunto dicevamo prima...
"nnsoxke":la variazione di volume complessiva non può essere 0, quindi il calcolo è sbagliato in partenza. il contenitore esercita una forza sul fuido, trasmessagli dalla coppia che lo fa ruotare, questa forza deve produrre un effetto sul fluido che appunto è la sua compressione/diminuzione di volume
Le forze che compiono lavoro sul fluido aumentandone l'energia cinetica ( per metterlo in rotazione) e l'energia potenziale non sono quelle di pressione ma quelle di attrito viscoso con la parete.
il problema è che tutto è posto in rotazione quindi le particelle fluide tendono a schiacciarsi sul contenitore a causa della forza centrifuga che quindi esercita una reazione vincolare su di esse facendone aumentare la pressione, se il volume spacifico varia con la pressione varia anche la densità e con la densità l'energia cinetica, per cui si arriva alla conclusione(paradossale) che il lavoro compiuto dall'esterno (se la variazione di volume complessiva fosse nulla) non sarebbe pari alla variazione totale di energia cinetica del fluido (le particelle esterne posseggono velocità tangenziale maggiore di quelle al centro che sono ferme).
per cui si arriva alla conclusione(paradossale) che il lavoro compiuto dall'esterno (se la variazione di volume complessiva fosse nulla) non sarebbe pari alla variazione totale di energia cinetica del fluido (le particelle esterne posseggono velocità tangenziale maggiore di quelle al centro che sono ferme).
No comment
Intanto per forza di cose l'energia cinetica finale non può essere uguale al lavoro prodotto dalla coppia che agisce sul sistema: in parte andrà anche ad aumentare la temperatura e come energia potenziale delle forze interne (che non necessita di una variazione del volume totale, questo è vero solo nel caso in cui la pressione sia costante in ogni punto)
"nnsoxke":
Intanto per forza di cose l'energia cinetica finale non può essere uguale al lavoro prodotto dalla coppia che agisce sul sistema: in parte andrà anche ad aumentare la temperatura e come energia potenziale delle forze interne (che non necessita di una variazione del volume totale, questo è vero solo nel caso in cui la pressione sia costante in ogni punto)
aumento di temperatura? energia potenziale delle forze interne?
No comment
ps:lo dicevo io che era meglio asciar perdere
il tuo ragionamento è sbagliato. quando risolvi un equazione differenziale devi per forza specificare quali sono le condizioni al contorno e tu non lo fai. già questo basta a stabilire che quel risultato è errato. poi dovresti anche spiegare come fa il liquido al centro a diminuire di pressione e quindi aumentare di volume facendo forza sul tappo.
"son Goku":
il tuo ragionamento è sbagliato. quando risolvi un equazione differenziale devi per forza specificare quali sono le condizioni al contorno.
questa è bella! conosci solo i problemi di Cauchy?
Già...
Cmq son Goku... non dici nulla sul mio intervento... visto che avevi esplicitamente chiesto...
Cmq son Goku... non dici nulla sul mio intervento... visto che avevi esplicitamente chiesto...
@Cavalli : Se prendiamo per buona l'ipotesi che il contenitore sia infinitamente rigido possiamo risolvere... Se invece non ci fidiamo allora dobbiamo prendere in considerazione tutti gli aspetti che portano alla sua deformazione, soprattutto quelli che ci sembrano più influenti... In particolare bisogna tener conto che, oltre al sistema di forze esercitato dall'acqua, anche sul contenitore agiscono delle forze di inerzia mettendosi in un sistema di riferimento solidale ad esso.
Si è vero, anche sul tappo agisce la forza centrifuga..., ma siamo d'accordo o no che nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di piastra piana tonda, la sollecitazione di tipo flessionale può considerarsi disaccopiata da quella membranale? è poi anche vero che per la soluzione che ci siamo prefissati, ossia, la risoluzione dell'iperstatica, interessa solo il comportamento dovuto alla sollecitazione flessionale...?
"cavallipurosangue":
...
dove $p(r)$ è la pressione agente sull'acqua per conto del tappo...
Cosa intendi?
Ma, in questo problema si sta tenendo conto anche della deformabilità del contenitore e dell'acqua? Se si, la ricerca della soluzione "esatta" mi sembra un po' laboriosa, non concettualmente, ma come quantità di calcoli si, soprattutto perché bisognerebbe modellare anche l'acqua come corpo a cui applicare le equazioni dell'elasticità!
troppi calcoli...
Nella soluzione che ho tentato ho considerato il contenitore rigido , così come sta scritto nel testo dell'esercizio...
Si imposta l'equilibrio delle forze in direzione radiale approssimando la densità come costante(vista la comprimibilità dell'acqua è accettabile)... Quindi viene fuori un andamento parabolico della pressione e fin qui si era tutti daccordo mi pare.
Il problema era come ricavare il valore della pressione sull'asse, incognita che dipende dalle condizioni al contorno.
Visto che abbiamo a che fare con un fluido e non con un corpo elastico non si può trovare una correlazione tra lo spostamento in funzione del raggio e la pressione, ma si ha una relazione tra la variazione percentuale di volume di una certa quantità di acqua e la variazione di pressione... Quindi l'unica condizione che mi pare di poter utilizzare è che il volume totale dell'acqua rimanga lo stesso.
Si imposta l'equilibrio delle forze in direzione radiale approssimando la densità come costante(vista la comprimibilità dell'acqua è accettabile)... Quindi viene fuori un andamento parabolico della pressione e fin qui si era tutti daccordo mi pare.
Il problema era come ricavare il valore della pressione sull'asse, incognita che dipende dalle condizioni al contorno.
Visto che abbiamo a che fare con un fluido e non con un corpo elastico non si può trovare una correlazione tra lo spostamento in funzione del raggio e la pressione, ma si ha una relazione tra la variazione percentuale di volume di una certa quantità di acqua e la variazione di pressione... Quindi l'unica condizione che mi pare di poter utilizzare è che il volume totale dell'acqua rimanga lo stesso.
Concordo con te, fin dall'inizio, avevo in mente questo, ma la mia perplessità riguardava appunto la comparsa di quella famosa pressione negativa... Anche io studierei il fenomeno, almeno per avere un'ordine di grandezza, considerando il contenitore infinitamente rigido...
"nnsoxke":
Nella soluzione che ho tentato ho considerato il contenitore rigido , così come sta scritto nel testo dell'esercizio...
Si imposta l'equilibrio delle forze in direzione radiale approssimando la densità come costante(vista la comprimibilità dell'acqua è accettabile)... Quindi viene fuori un andamento parabolico della pressione e fin qui si era tutti daccordo mi pare.
Il problema era come ricavare il valore della pressione sull'asse, incognita che dipende dalle condizioni al contorno.
Visto che abbiamo a che fare con un fluido e non con un corpo elastico non si può trovare una correlazione tra lo spostamento in funzione del raggio e la pressione, ma si ha una relazione tra la variazione percentuale di volume di una certa quantità di acqua e la variazione di pressione... Quindi l'unica condizione che mi pare di poter utilizzare è che il volume totale dell'acqua rimanga lo stesso.
per come il problema è stato posto, credo che un approccio completo richieda di considerare la deformabilità dell'acqua. Il fatto che questa sia un fluido non impedisce di tentare un approccio elastico-lineare; per far ciò basta ricavarsi dalle tabelle delle proprietà dell'acqua il coefficiente di proporzionalità tra pressione e densità. L'unica cosa che richiede attenzione è il fatto che l'acqua non può essere sollecitata a trazione, nel senso che non risponde a tale sollecitazione.
per come il problema è stato posto, credo che un approccio completo richieda di considerare la deformabilità dell'acqua. Il fatto che questa sia un fluido non impedisce di tentare un approccio elastico-lineare; per far ciò basta ricavarsi dalle tabelle delle proprietà dell'acqua il coefficiente di proporzionalità tra pressione e densità.
Nella equazione dell'equilibrio delle forze ho considerato la densità costante, visto che la sua variazione sarà piccola anche per variazioni di pressione elevate e non cambia di molto il risultato, mentre l'equazione della conservazione della massa e del volume totale (quella che ho utilizzato per ricavare la pressione sull'asse) richiede di considerare l'acqua come deformabile... Praticamente ho supposto che la variazione di volume percentuale locale di una certa quantità di acqua sia proporzionale alla variazione di pressione che equivale a stabilire una proporzionalità tra variazione di densità e variazione di pressione.
L'unica cosa che richiede attenzione è il fatto che l'acqua non può essere sollecitata a trazione, nel senso che non risponde a tale sollecitazione.
C'è un altro limite da considerare che viene prima della pressione nulla, ovvero la pressione di saturazione, raggiunta la quale si ha la vaporizzazione dell'acqua.
Ciao a tutti
petrmettetemi qualche commento:
@nnsoxKe
penso che tu sia molto vicino alla soluzione: concentrati nela fase che precede la cavitazione (attenzione al concetto di pressione negativa 'relativa')
@cavallipurosangue
il recipiente è da considerarsi infinitamente rigido per ipotesi
@son Soku
as usual:
i tuoi interventi sono pieni di assurde considerazioni e di contraddizioni.
ciao
petrmettetemi qualche commento:
@nnsoxKe
penso che tu sia molto vicino alla soluzione: concentrati nela fase che precede la cavitazione (attenzione al concetto di pressione negativa 'relativa')
@cavallipurosangue
il recipiente è da considerarsi infinitamente rigido per ipotesi
@son Soku
as usual:
i tuoi interventi sono pieni di assurde considerazioni e di contraddizioni.
ciao
Ciao mirco
Si il contenitore è da considerarsi infinitamente rigido.
Io come anche nonsoxke ho pensato appunto fin da subito alla conservazione del volume.
Vorrei capire però se solo con la meccanica in senso lato si riesce a spiegare l'esistenza di quella pressione negativa.
In più, a mio avviso, la pressione che si trova come risultato con il nostro modello, non è quela relativa, bensì quella assoluta; questo perchè se si sigilla il tappo e si riempie il recipiente (infinitamente rigido), il fluido a contatto con il tappo ha pressione assoluta nulla.
Si il contenitore è da considerarsi infinitamente rigido.
Io come anche nonsoxke ho pensato appunto fin da subito alla conservazione del volume.
Vorrei capire però se solo con la meccanica in senso lato si riesce a spiegare l'esistenza di quella pressione negativa.
In più, a mio avviso, la pressione che si trova come risultato con il nostro modello, non è quela relativa, bensì quella assoluta; questo perchè se si sigilla il tappo e si riempie il recipiente (infinitamente rigido), il fluido a contatto con il tappo ha pressione assoluta nulla.
"cavallipurosangue":
Vorrei capire però se solo con la meccanica in senso lato si riesce a spiegare l'esistenza di quella pressione negativa.
In più, a mio avviso, la pressione che si trova come risultato con il nostro modello, non è quela relativa, bensì quella assoluta; questo perchè se si sigilla il tappo e si riempie il recipiente (infinitamente rigido), il fluido a contatto con il tappo ha pressione assoluta nulla.
Ciao!
Beh, se riempi la centrifuga e poi la sigilli, direi che (quando è ferma) non c'è ragione perché la pressione dell'acqua cambi, e quindi si può ragionevolmente assumere di partire da una pressione assoluta di 1 atm.
Il problema può comunque essere risolto per qualsiasi pressione iniziale assoluta positiva che si vuole considerare.
La pressione negativa ottenuta dai calcoli è spiegabile (entro certi limiti) se si considera che è relativa. La pressione assoluta non solo non può essere negativa in alcun punto e in alcun istante, ma, in condizioni stazionarie, direi che non può nemmeno essere nulla. Sarebbe nulla solo nel vuoto, tuttavia, in presenza di un liquido in equilibrio, il vuoto non è ottenibile (pressione di vapore....).
ciao a tutti
ciao ancora
Giusto, il tuo punto di vista mi sembra più appropriato. è vero quello che dici.
Allora, se così è, la soluzione direi che è trovata, a meno che non sia p<-1.
è vero quello che dici.Allora, se così è, la soluzione direi che è trovata, a meno che non sia p<-1.
"mircoFN":
@son Soku
as usual:
i tuoi interventi sono pieni di assurde considerazioni e di contraddizioni.
ma che bravo adesso sei anche l'inglesista... 'as usual' ci vuole una certa classe per dirlo...
invece come 'al solito' fai affermazioni critiche verso gli altri senza dimostrare un bel niente perchè è troppo difficile per te si fa prima a gettare fango verso gli altri, il solito provocatore di risse non aperto alle discussioni pacate.
"wedge":
questa è bella! conosci solo i problemi di Cauchy?
io non ho mai detto che esistono solo i probl. di cauchy. ho detto solo che quando risolvi un eq. differenziale di primo grado devi specificare le condizioni al contorno, conosci altri modi per risolvere un eq. diff. di primo grado? esporre e dimostrare matematicamente prego...perchè se non sbaglio siamo su un forum di matematica..[/quote]
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