La centrifuga
Sembra facile ......
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Risposte
"goblyn":
$p=(dF)/(dA)=1/2*omega^2*R^2*rho$
In realtà quello che puoi dire, risolvendo l'equazione differenziale di equilibrio radiale, è che:
$p=1/2*omega^2*R^2*rho + C$
in cui $C$ (costante additiva arbitraria) è proprio la pressione sull'asse.
Se non hai $C$ non puoi valutare la pressione in alcun punto (nemmeno in $r=R$).
Ma io continuo a non comprendere la ragione per cui deve essere nulla.
ciao
"GuillaumedeL'Hopital":
allora, spiego il fenomeno teoricamente:
all'inizio supponiamo che nel contenitore ci sia solo acqua a condizioni normali(che però tu non specifichi nel problema) cioè temperatura di 20° pressione 1atm densità 1000kg/m^3. dopo inizia la rotazione applicando dall'esterno una coppia che fa ruotare il contenitore, supponiamo che dopo un tempo $tau$ si raggiungono le condizioni stazionarie, allora per effetto della forza centrifuga le molecole d'acqua, che ruotano tutte a velocità $omega$, urtano contro la parete del contenitore che si deforma elasticamente, le molecole al centro non sono sottoposte alla forza centrifuga in quanto r=0, quindi al centro la pressione relativa è nulla e quindi permangono le condizioni iniziali.
mentre quantitativamente rimane quello che ho scritto prima
ps:il gradiente calcolato nell'asse effettivamente è nullo
La tua spiegazione non mi convince:
1) la deformazione del contenitore è supposta trascurabile (per ipotesi è rigido) e comunque non credo che, anche se lo considerassimo elastico, potremmo da ciò risolvere la questione della pressione sull'asse.
2) le molecole non ruotano tutte a velocità $omega$, hanno (nell'ipotesi stazionaria) un moto rototraslatorio con velocità angolare $\omega$ e velocità di traslazione $\omega r$
3) anche se le molecole al centro non sono sottoposte alla forza centrifuga e quindi rimagono in condizioni stazionarie, non significa che non possano essere soggette alla forza dovuta alle altre molecole (pressione).
Per quanto riguarda la definizione del problema, effettivamente non ho dato la temperatura, penso però che sia stato ragionevolmente assunto da tutti (perchè ovvio) che sia costante e che sia tale che l'acqua sia liquida! In ogni caso la definizione della temperatura non è determinante per la questione di stabilire in che modo si calcola la pressione nell'asse (anche se il suo valore potrebbe influenzare il risultato numerico).
"mirco59":
In realtà quello che puoi dire, risolvendo l'equazione differenziale di equilibrio radiale, è che:
$p=1/2*omega^2*R^2*rho + C$
in cui $C$ (costante additiva arbitraria) è proprio la pressione sull'asse.
Se non hai $C$ no puoi valutare la pressione in alcun punto (nemmeno in $r=R$.
Ma io continuo a non comprendere la ragione per cui deve essere nulla.
in realtà C=condizione iniziale; non varia perchè le molecole d'acqua al centro non subiscono alcuna sollecitazione, infatti il pelo libero assumerebbero la forma di un paraboloide se non ci fosse il recipiente, le molecole si schiacciano sui bordi del recipiente dove c'è più pressione
"mirco59":
[quote="GuillaumedeL'Hopital"]allora, spiego il fenomeno teoricamente:
all'inizio supponiamo che nel contenitore ci sia solo acqua a condizioni normali(che però tu non specifichi nel problema) cioè temperatura di 20° pressione 1atm densità 1000kg/m^3. dopo inizia la rotazione applicando dall'esterno una coppia che fa ruotare il contenitore, supponiamo che dopo un tempo $tau$ si raggiungono le condizioni stazionarie, allora per effetto della forza centrifuga le molecole d'acqua, che ruotano tutte a velocità $omega$, urtano contro la parete del contenitore che si deforma elasticamente, le molecole al centro non sono sottoposte alla forza centrifuga in quanto r=0, quindi al centro la pressione relativa è nulla e quindi permangono le condizioni iniziali.
mentre quantitativamente rimane quello che ho scritto prima
ps:il gradiente calcolato nell'asse effettivamente è nullo
La tua spiegazione non mi convince:
1) la deformazione del contenitore è supposta trascurabile (per ipotesi è rigido) e comunque non credo che, anche se lo considerassimo elastico, potremmo da ciò risolvere la questione della pressione sull'asse.
2) le molecole non ruotano tutte a velocità $omega$, hanno (nell'ipotesi stazionaria) un moto rototraslatorio con velocità angolare $\omega$ e velocità di traslazione $\omega r$
3) anche se le molecole al centro non sono sottoposte alla forza centrifuga e quindi rimagono in condizioni stazionarie, non significa che non possano essere soggette alla forza dovuta alle altre molecole (pressione).
Per quanto riguarda la definizione del problema, effettivamente non ho dato la temperatura, penso però che sia stato ragionevolmente assunto da tutti (perchè ovvio) che sia costante e che sia tale che l'acqua sia liquida! In ogni caso la definizione della temperatura non è determinante per la questione di stabilire in che modo si calcola la pressione nell'asse (anche se il suo valore potrebbe influenzare il risultato numerico).[/quote]
non parliamo a vuoto mirco59...il contenitore anche se si deforma poco un pò si deforma...poi prima dici che le molecole non ruotano tutte a velocità omega e poi ti rimangi tutto dicendo che si muovono con velocità angolare omega..mah..concordo con goblyn solo che doveva scrivere $Deltap$ invece di p
ciao
e poi mi spieghi dove vedi il moto rototraslatorio in condizioni stazionarie?
@L'Hopital
In primis, posso sbagliare, ma non parlo mai a vuoto!
Se proprio vuoi risolvere il problema completamente (anche se non credo sia ancora in possesso di tutte le competenze) ti posso dire che il recipiente è di acciaio ($E$=206GPa e $\ni$=0.3) ha uno spessore radiale di 0.5$R$ e i tappi sono dello stesso materiale e spessore (puoi ipotizzarlo indefinitamente elastico, o vuoi anche la curva $\sigma-\epsilon$ per la soluzione elastoplastica?).
Per il Post basta comunque considerare il recipiente infinitamente rigido!
Ma quale paraboloide? E' evidente che il liquido riempie completamente il recipiente e non c'è alcun pelo libero! Continui a non considerare la natura del problema!
Ogni elemento di fluido ($rd\theta dr$) (o molecola come tu la chiami) può essere considerato un corpo che ruota su se stesso con una velocità angolare $\omega$ e che si muove attorno all'asse del recipiente con una velocità di traslazione pari a $\omega r$. E' lo stesso moto che ha la Luna rispetto alla Terra. Solo l'elemento che sta sull'asse ruota e basta.
Come vedi le due cose non sono in contraddizione. Però, siccome questo moto è lo stesso di quello di un corpo rigido, avresti dovuto saperlo, visti i tuoi successi a Meccanica!
ciao
PS se il problema non ti interessa o non ti piace, perchè continui a intervenire?
In primis, posso sbagliare, ma non parlo mai a vuoto!
Se proprio vuoi risolvere il problema completamente (anche se non credo sia ancora in possesso di tutte le competenze) ti posso dire che il recipiente è di acciaio ($E$=206GPa e $\ni$=0.3) ha uno spessore radiale di 0.5$R$ e i tappi sono dello stesso materiale e spessore (puoi ipotizzarlo indefinitamente elastico, o vuoi anche la curva $\sigma-\epsilon$ per la soluzione elastoplastica?).
Per il Post basta comunque considerare il recipiente infinitamente rigido!
Ma quale paraboloide? E' evidente che il liquido riempie completamente il recipiente e non c'è alcun pelo libero! Continui a non considerare la natura del problema!
Ogni elemento di fluido ($rd\theta dr$) (o molecola come tu la chiami) può essere considerato un corpo che ruota su se stesso con una velocità angolare $\omega$ e che si muove attorno all'asse del recipiente con una velocità di traslazione pari a $\omega r$. E' lo stesso moto che ha la Luna rispetto alla Terra. Solo l'elemento che sta sull'asse ruota e basta.
Come vedi le due cose non sono in contraddizione. Però, siccome questo moto è lo stesso di quello di un corpo rigido, avresti dovuto saperlo, visti i tuoi successi a Meccanica!
ciao
PS se il problema non ti interessa o non ti piace, perchè continui a intervenire?
ehmm.. è evidente che ce l'hai con me, forse perchè ti faccio vedè quanti errori fai, posso capire. dovè che c'è contraddizione? se trascuri l'elasticità del contenitore perchè dovresti tenere in considerazione il moto di rotazione attorno al proprio asse degli elementi fluidi (che prima dicevi che era rototraslatorio), influisce sul risultato? la deformazione del pelo libero o del contenitore c'è sempre, se varia la pressione varia anche la densità(anche se possiamo trascurarla ma è condizione necessaria per capire cosa avviene, infatti parlo di un caso reale, non ideale) e quindi il volume specifico.
cmq rimango della mia opinione proprio per queste ragioni, e poi se sai tutto tu risolvitelo pure tu da solo il problema!
questa è idiozia pura...
cmq rimango della mia opinione proprio per queste ragioni, e poi se sai tutto tu risolvitelo pure tu da solo il problema!
PS se il problema non ti interessa o non ti piace, perchè continui a intervenire?
questa è idiozia pura...
"mirco59":
Ogni elemento di fluido (rdθdr) (o molecola come tu la chiami) può essere considerato un corpo che ruota su se stesso con una velocità angolare ω e che si muove attorno all'asse del recipiente con una velocità di traslazione pari a ωr. E' lo stesso moto che ha la Luna rispetto alla Terra. Solo l'elemento che sta sull'asse ruota e basta.
abbiamo fumato qualcosa di forte oggi..
"GuillaumedeL'Hopital":
ehmm.. è evidente che ce l'hai con me, forse perchè ti faccio vedè quanti errori fai, posso capire.......
questa è idiozia pura...
abbiamo fumato qualcosa di forte oggi..
La mia incompatibilità con l'Hopital è evidente.
Come sono evidenti i toni degli interventi e la qualità dei contenuti ma, su tutto ciò, essendo esposto al pubblico ludibrio, getto un pietoso velo.
Mi rivolgo quindi, come faccio sempre, a tutti gli interessati del forum (se non ci sono, basta che non rispondano). Ho questo problema, che mi sembra lecito e 'postato' nel luogo corretto: in ipotesi ragionevoli di moto stazionario rotatorio di un fluido che riempie completamente un contenitore rigido cilindrico ermetico, come varia la pressione in funzione del raggio?
E' chiaro che ho la mia idea sulla soluzione, ma questa non mi convince pienamente e quindi mi faceva piacere sapere come altri vedevano il problema. Mi sembra che sia questo lo spirito generale, o sbaglio? Se considerassi il problema banale e risolto non lo avrei proposto e quindi sono disponibile ad accettare soluzioni diverse da quella che ho trovato: purchè convincenti e basate sui principi generali. Quindi ben vengano consigli e critiche che mi permettono di migliorare!
Allora: se uno propone una interpertazione e qualcun'altro (nella logica del forum che è fatto proprio per questo) la critica, secondo me, si deve cercare di rispondere 'MATEMATICAMENTE' (o fisicamente, nel caso specifico), senza ricorrere a interpretazioni metafisiche o arbitrarie (del tipo: io la vedo così ergo è giusto) o peggio botaniche!
Dato che frequento il forum da un po', penso che il problema sia di qualche interesse, ma se sbaglio il modo più semplice per farmelo capire è che nessuno risponda.
ciao a tutti
PS: non per l'Hopital, perchè è una causa persa: a regime (in condizioni stazionarie) il moto del fluido nel suo complesso è equivalente a quello di un corpo rigido che ruota rispetto all'asse. Se si considera un elemento infinitesimo di fluido (per esempio allo scopo di imporre l'equilibrio e ottenere l'equazione che regola l'andamento della pressione), si identifica un corpo che, rispetto a un osservatore esterno, ha un moto piano di rototraslazione, come descritto nella mia ultima risposta: il suo centro di massa si muove di moto circolare uniforme ($V=\omega r$) e il corpo ruota attorno al suo centro di massa con moto rotatorio a velocità angolare $\omega$. Per comprendere questo fatto basta fare un po' di mente locale e vi assicuro che lo sforzo mentale necessario non richiede alcun ausilio di natura chimica (almeno non l'ha richiesto al sottoscritto) che esuli dalla normale e legale assunzione di nutrienti e acqua.
ma, il problema è già completamente risolto, hai tutti gli elementi per risponderti da solo, forse tu vuoi la dimostrazione che fa uso del potenziale ma a questo punto è inutile, e poi il moto rototraslatorio non è certo quello che descrivi e che mi sembra davvero a dir poco esagerato, è evidente che quando mi riferivo al parabolide facevo un esempio per spiegarmi meglio(se il pelo libero non fosse ostacolato dal contenitore...) 
, se a te non convince amen
, se a te non convince amen
"GuillaumedeL'Hopital":
ma, il problema è già completamente risolto, hai tutti gli elementi per risponderti da solo,
NO: la pressione relativa sull'asse per me non è 0!
"GuillaumedeL'Hopital":
forse tu vuoi la dimostrazione che fa uso del potenziale ma a questo punto è inutile
non mi interessa il metodo ma il risultato! Inoltre, se permetti, chi stabilisce qui cosa è utile e cosa no?
"GuillaumedeL'Hopital":
e poi il moto rototraslatorio non è certo quello che descrivi e che mi sembra davvero a dir poco esagerato
Un moto 'esagerato'......, interessante! Qual è la definizione?
Ah, già che ci sei, allora come sarebbe il moto 'vero', che dovrebbe quindi definirsi 'moderato' o 'tranquillo'.
"GuillaumedeL'Hopital":
... se non fosse ostacolato dal contenitore ...
peccato che il problema è proprio lì.
"GuillaumedeL'Hopital":
se a te non convince amen
Grazie, mi hai permesso di ricordare che tra le risposte non matematiche che si possono dare quando queste mancano, ci sono anche quelle basate sulla fede.
NO: la pressione relativa sull'asse per me non è 0!
e perchè? spiega pure sono tutt'orecchi
non mi interessa il metodo ma il risultato! Inoltre, se permetti, chi stabilisce qui cosa è utile e cosa no?
di certo non lo stabilisci tu di cosa parlare, chi sei Dio? e che te ne fei del risultato senza il ragionamento?
Un moto 'esagerato'......, interessante! Qual è la definizione?
Ah, già che ci sei, allora come sarebbe il moto 'vero', che dovrebbe quindi definirsi 'moderato' o 'tranquillo'.
non rispondo per niente, è esagerato e ingenuo dire che tutti gli elementi infinitesimi fluidi hanno quel tipo di moto(che non è rototraslatorio)
dove te la sei inventata sta cosa?Grazie, mi hai permesso di ricordare che tra le risposte non matematiche che si possono dare quando queste mancano, ci sono anche quelle basate sulla fede.
prego, ma qui non manca niente
peccato che il problema è proprio lì.
ma peccato di che?dicci, illuminaci!
A questo punto sono disponibile a postare la mia soluzione solo se interessa a qualche altro.
Tutti possono postare ciò che vogliono (nei limiti del regolamento), si sente dio (ma basterebbe essere un moderatore) chi decide cosa non deve essere postato. Mi sembra la barzelletta di quello che va in autostrada contromano e che pensa che siano tutti gli altri a farlo!
Tutti possono postare ciò che vogliono (nei limiti del regolamento), si sente dio (ma basterebbe essere un moderatore) chi decide cosa non deve essere postato. Mi sembra la barzelletta di quello che va in autostrada contromano e che pensa che siano tutti gli altri a farlo!
senti se a te interessa solo il risultato, e non vuoi sapere niente del metodo non puoi mica impedire a un altro di postarlo... 
se avessi postato qualcosa sulla lingua ostrogota forse avresti ragione tu, ma non l'ho fatto, dai posta la tua soluzione 
ps. è veramente spiacevole dover far ricorso ai regolamenti...
se avessi postato qualcosa sulla lingua ostrogota forse avresti ragione tu, ma non l'ho fatto, dai posta la tua soluzione ps. è veramente spiacevole dover far ricorso ai regolamenti...
Ma io non ho impedito ne voglio impedire ad alcuno di fare alcunchè!!!!!!
Mi dispiace ma rimango sulla mia posizione.
Se vuoi il mio parere su questa ormai lunga e tediosa discussione, non hai capito il problema (o non ti interessa o non lo sai risolvere) e non vuoi ammetterlo. Ci sono infiniti problemi di mio interesse che non so risolvere (per fortuna, se no che noia) ma non per questo li evito e se trovo qualcuno che ne parla, discuto con lui favorevolmente cercando di venirne a capo.
ciao
Mi dispiace ma rimango sulla mia posizione.
Se vuoi il mio parere su questa ormai lunga e tediosa discussione, non hai capito il problema (o non ti interessa o non lo sai risolvere) e non vuoi ammetterlo. Ci sono infiniti problemi di mio interesse che non so risolvere (per fortuna, se no che noia) ma non per questo li evito e se trovo qualcuno che ne parla, discuto con lui favorevolmente cercando di venirne a capo.
ciao
ciao, però io sia ben chiaro che non voglio ammettere niente: la pressione è $p(r)=C+rhoomega^2r^2/2$ dove C è la costante che dipende dalla pressione iniziale dell'acqua così come $p(h)=rhogh+C$ con $C=p_0$, nel caso generale bisogna sommare le due(come scritto nei miei appunti) e diventa $p=rhogh+rhoomega^2r^2/2+C$
Concordiamo infatti, anch'io ho scritto che non lo vuoi ammettere!
OK la tua soluzione è corretta ma indeterminata.
Intanto, lasciamo perdere il termine dovuto alla gravità che abbiamo assunto trascurabile (sarebbe come dire che il recipiente è di piccola altezza rispetto al raggio) che complica la questione ma non c'entra con il problema.
La questione è questa, tu continui a considerare $C$ una 'costante iniziale' (come se l'equazione fosse nel dominio del tempo), tuttavia essa non ha niente a che fare con la condizione iniziale! Il suo significato fisico è chiaro: se nella formula metti $r=0$, ottieni $p=C$ quindi $C$ è la pressione sull'asse quando la centrifuga ruota.
Ora, chiarito questo, e ipotizzando che non sia rimasta aria nel contenitore, in base a quale criterio posso fissare tale valore?
OK la tua soluzione è corretta ma indeterminata.
Intanto, lasciamo perdere il termine dovuto alla gravità che abbiamo assunto trascurabile (sarebbe come dire che il recipiente è di piccola altezza rispetto al raggio) che complica la questione ma non c'entra con il problema.
La questione è questa, tu continui a considerare $C$ una 'costante iniziale' (come se l'equazione fosse nel dominio del tempo), tuttavia essa non ha niente a che fare con la condizione iniziale! Il suo significato fisico è chiaro: se nella formula metti $r=0$, ottieni $p=C$ quindi $C$ è la pressione sull'asse quando la centrifuga ruota.
Ora, chiarito questo, e ipotizzando che non sia rimasta aria nel contenitore, in base a quale criterio posso fissare tale valore?
il criterio è questo:
le particelle fluide che si trovano sull'asse(essendo in quel luogo nulla la forza centrifuga) non sono soggette a nessuna sollecitazione (nel corso del tempo) nè da parte del contenitore, nè dalle altre molecole che si trovano intorno, e che invece urtano contro le pareti del contenitore che si deforma leggermente(in modo trascurabile), quindi la pressione al centro resta quella iniziale $p_0$. mi sembra chiaro e semplice, se hai obiezioni da fare sei invitato a mostrare argomenti altrettanto convincenti e non a parlare di moto rototraslatorio e rigidezza infinita del contenitore, OK?
le particelle fluide che si trovano sull'asse(essendo in quel luogo nulla la forza centrifuga) non sono soggette a nessuna sollecitazione (nel corso del tempo) nè da parte del contenitore, nè dalle altre molecole che si trovano intorno, e che invece urtano contro le pareti del contenitore che si deforma leggermente(in modo trascurabile), quindi la pressione al centro resta quella iniziale $p_0$. mi sembra chiaro e semplice, se hai obiezioni da fare sei invitato a mostrare argomenti altrettanto convincenti e non a parlare di moto rototraslatorio e rigidezza infinita del contenitore, OK?
Vediamo se ci riesco.
La pressione è l'effetto integrato dell'azione mutua tra le particelle e quindi perchè dovrebbe essere quella che c'era prima? Non confondere la pressione con la forza d'inerzia: sono collegate ma sono due cose diverse: una è una forza di superficie l'altra di volume, l'una è interna l'altra esterna.....
Consideriamo le molecole d'acqua banalmente come punti materiali, se la pressione aumenta queste tendono ad addensarsi, se diminuisce a rarefarsi (molto poco lo ammetto ma ciò è verosimile). Per quale ragione non dovrebbero sentire alcuna tendenza a variare la loro densità nell'origine rispetto a prima? Si tratta della famosa memoria dell'acqua?
In termini di Fisica Matematica il problema si può porre cosi: se io ho una superficie in contatto con l'atmosfera, lì la pressione è una condizione al contorno per l'equazione, imposta dall'equilibrio, ma dentro nel dominio la pressione è una incognita e deve risultare dalla soluzione del problema. Ora nell'asse non c'è alcunchè che vincoli la pressione a manenere il valore che aveva prima.
L'asse è interno al dominio, non c'è lì modo di imporre (se non arbitrariamente) una condizione al contorno.
Se dentro ci fosse dell'aria il problema sarebbe diverso: l'acqua sarebbe spinta verso il bordo e lascerebbe spazio all'aria di accumularsi nell'asse definendo la pressione locale, ma abbiamo supposto che l'aria non ci sia.
ci siamo?
La pressione è l'effetto integrato dell'azione mutua tra le particelle e quindi perchè dovrebbe essere quella che c'era prima? Non confondere la pressione con la forza d'inerzia: sono collegate ma sono due cose diverse: una è una forza di superficie l'altra di volume, l'una è interna l'altra esterna.....
Consideriamo le molecole d'acqua banalmente come punti materiali, se la pressione aumenta queste tendono ad addensarsi, se diminuisce a rarefarsi (molto poco lo ammetto ma ciò è verosimile). Per quale ragione non dovrebbero sentire alcuna tendenza a variare la loro densità nell'origine rispetto a prima? Si tratta della famosa memoria dell'acqua?
In termini di Fisica Matematica il problema si può porre cosi: se io ho una superficie in contatto con l'atmosfera, lì la pressione è una condizione al contorno per l'equazione, imposta dall'equilibrio, ma dentro nel dominio la pressione è una incognita e deve risultare dalla soluzione del problema. Ora nell'asse non c'è alcunchè che vincoli la pressione a manenere il valore che aveva prima.
L'asse è interno al dominio, non c'è lì modo di imporre (se non arbitrariamente) una condizione al contorno.
Se dentro ci fosse dell'aria il problema sarebbe diverso: l'acqua sarebbe spinta verso il bordo e lascerebbe spazio all'aria di accumularsi nell'asse definendo la pressione locale, ma abbiamo supposto che l'aria non ci sia.
ci siamo?
"mirco59":
...Consideriamo le molecole d'acqua banalmente come punti materiali, se la pressione aumenta queste tendono ad addensarsi, se diminuisce a rarefarsi (molto poco lo ammetto ma ciò è verosimile). Per quale ragione non dovrebbero sentire alcuna tendenza a variare la loro densità nell'origine rispetto a prima? Si tratta della famosa memoria dell'acqua?
l'unica parte buona del discorso è questa,il resto non c'entra assolutamente niente. allora, vediamo se riesco.
come memoria dell'acqua?semplicemente la [size=150]pressione al centro non varia nel tempo![/size]
la rarefazione addensamento delle molecole d'acqua come tu dici è trascurabile e sammai avvenisse non farebbe altro che togliere molecole al centro per portarle sul bordo del recipiente.
detto questo, se non hai ancora capito, basta [size=150]mi sono stufato![/size], pensa quello che ti pare! con te è come parlare col muro!
ciao
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