La centrifuga
Sembra facile ......
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.
Risposte
"kinder":
@ MircoFN
quando di un'equazione mi torna utile la struttura formale, al limite maltrattandola un po',.....
Perfetto! E' esattamente quello che ho sostenuto nel mio precedente intervento.
ciao
"kinder":
provo in un sol colpo a rispondere a Mirco e a nnsoxke
comincio da quella facile @nnsoxke
la relazione $sigma=Eepsilon$ non è la definizione di legame elastico, il quale sarebbe descritto anche da $sigma=Eepsilon^3$, ma include l'ulteriore ipotesi di comportamento lineare.
...
Il modulo di elasticità volumetrico è $k=E/(1-2nu)$ e non c'entra niente con $lambda$. Si dimostra però facilmente che $k=2G+3lambda$, e se si pone G=0, come ho fatto io, si ha che $k=3lambda$. E' questa la ragione per cui nell'equazione utilizzata da me compare $lambda=k/3$.
@entrambi
partendo da $sigma_x=(2G+lambda)epsilon_x+lambda(epsilon_y+epsilon_z)$, quando pongo $G=0$ ottengo:
$sigma_x=lambda(epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z)=lambda Theta$ e vedo che le $sigma_x=sigma_y=sigma_z$, inoltre che: $sigma_x+sigma_y+sigma_z=3lambda Theta=k Theta$, cioè proprio la definizione di k (posto G=0). Tra l'altro mi vedo rappresentato il regime idrostatico del liqudo. Notate il fatto che $sigma$ dipende solo da $Theta$. A questo punto si tratta solo di rappresentare $Theta=(dV)/V=epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z$, cosa che ho fatto in un post precedente, in cui in pratica si esprime $Theta$ in funzione di $u$ e $u'$ tramite $Theta=epsilon_r+epsilon_(theta)=u'+u/r$, una volta posto $epsilon_z=0$.
Vedete quindi che non è un caso che il risultato conduca a quello di MircoFN, perché di fatto gli approcci sono equivalenti, con la sola differenza che io passo attraverso lo spostamento $u$, da cui $Theta$ dipende.
Vedo che piano piano abbiamo corretto il tiro quindi quella relazione non era dovuta al fatto che le deformazioni sono uguali se le tensioni lo sono ... questo non vale per l'acqua.
A proposito della soluzione: mi torna anche a me uguale avevo $1/3$ al posto di $1/4$ per un errore di calcolo.
la relazione $sigma=Eepsilon$ non è la definizione di legame elastico, il quale sarebbe descritto anche da $sigma=Eepsilon^3$, ma include l'ulteriore ipotesi di comportamento lineare.
che cosa sono $sigma$ e $epsilon$ e cosa vuol dire elevare al cubo
"nnsoxke":
che cosa sono $sigma$ e $epsilon$ e cosa vuol dire elevare al cubo
$sigma$ è la componente normale alla superfice dello sforzo per unità di superfice, $epsilon=(Deltal)/l$.
Non mi riferisco ai rispettivi tensori, ma ad uno stato monoassiale. Elevato al cubo significa...elevato al cubo. Intendo dire che in teoria si poteva rilevare sperimentalmente che il legame costitutivo era di questo tipo, e sarebbero stati guai per gli ingegneri, che avrebbero dovuto dire addio alla legge di Hooke per imbarcarsi in chissà quali calcoli. Ma sono convinto che un trucco utile per facilitarsi la vita l'avrebbero trovato!
"nnsoxke":
Vedo che piano piano abbiamo corretto il tiro quindi quella relazione non era dovuta al fatto che le deformazioni sono uguali se le tensioni lo sono ... questo non vale per l'acqua.
non capisco bene cosa vuoi dire: forse che è possibile ottenere per l'acqua la stessa variazione di volume relativo (oppure di densità) per due livelli di pressione diversi?
Ok, ma quindi per la questione della pressione negativa?
"mircoFN":
[quote="nnsoxke"]
Vedo che piano piano abbiamo corretto il tiro quindi quella relazione non era dovuta al fatto che le deformazioni sono uguali se le tensioni lo sono ... questo non vale per l'acqua.
non capisco bene cosa vuoi dire: forse che è possibile ottenere per l'acqua la stessa variazione di volume relativo (oppure di densità) per due livelli di pressione diversi?[/quote]
Non questo... Voglio dire che mentre per un materiale come l'acciaio ad un determinato stato tensionale , descritto da una matrice in un particolare sistema di riferimento, corrisponde un unico stato di deformazione, descritto da una matrice nel solito sistema, per l'acqua questo non vale.. ad una certa variazione di pressione corrispondono una infinità di stati di deformazione accomunati dal fatto che la variazione percentuale di volume è la stessa... Ovvero non si può ricavare una relazione di questo tipo $sigma=Eepsilon$ (matrici delle tensioni dei moduli e delle deformazioni)
"nnsoxke":
[quote="mircoFN"][quote="nnsoxke"]
Vedo che piano piano abbiamo corretto il tiro quindi quella relazione non era dovuta al fatto che le deformazioni sono uguali se le tensioni lo sono ... questo non vale per l'acqua.
non capisco bene cosa vuoi dire: forse che è possibile ottenere per l'acqua la stessa variazione di volume relativo (oppure di densità) per due livelli di pressione diversi?[/quote]
Non questo... Voglio dire che mentre per un materiale come l'acciaio ad un determinato stato tensionale , descritto da una matrice in un particolare sistema di riferimento, corrisponde un unico stato di deformazione, descritto da una matrice nel solito sistema, per l'acqua questo non vale.. ad una certa variazione di pressione corrispondono una infinità di stati di deformazione accomunati dal fatto che la variazione percentuale di volume è la stessa... Ovvero non si può ricavare una relazione di questo tipo $sigma=Eepsilon$ (matrici delle tensioni dei moduli e delle deformazioni)[/quote]
Beh...è ben noto che di un fluido non viscoso posso cambiare la forma, a volume costante, senza compiere lavoro.
Riguardo il fatto che "Ovvero non si può ricavare una relazione di questo tipo $sigma=Eepsilon$ (matrici delle tensioni dei moduli e delle deformazioni)", basta definire opportunamente E, come ti ho mostrato, ponendo G=0, ed aggiungendo la condizione su $lambda$, che deve essere $>0$ se $sigma<0$, e $=0$ altrimenti.
Provo a tirare un po' le fila della nostra discussione.
1) non ho mai detto che la legge di Hooke sia applicabile all'acqua (anzi...) e da questo punto di vista nnsoxke ha ragione: applicare uno stato di tensione qualunque all'acqua comporta che questa non sia in equilibrio, in particolare se ci sono componenti tangenziali (parte non idrostatica) e si considera la viscosità, l'acqua scorre indefinitamente...
2) se consideriamo l'acqua in equilibrio statico quindi non è possibile applicarle (punto per punto) uno stato di tensione qualunque ma solo uno stato idrostatico
3) in condizioni idrostatiche di compressione il cubetto d'acqua si deforma (rispetto alla condizione di riferimento, che nel caso in esame è quella alla presione atmosferica) conservando la forma
4) La legge tensione-deformazione può essere linearizzata (ipotesi ragionevole e usata sistematicamente)
5) la costante di proporzionalità (bulk modulus, K) tra pressione e deformazione volumica è ottenibile sperimentalmente (mentre non possono essere ricavate le due costanti elastiche tipiche di un materiale isotropo), Kinder ha trovato che in condizioni idrostatiche l'acqua è circa due ordini di grandezza (84 volte) più deformabile dell'acciaio
6) la costante K è unica perché l'acqua è isotropa
7) la legge di deformazione ha (come tutte le leggi empiriche) i suoi limiti: nel caso specifico il limite più importante è a pressioni basse (in valore assoluto). Se la pressione assoluta si avvicina a zero, si arriva alla pressione di ebollizione alla temperatura ambiente e l'acqua comincia localmente a cambiare di fase
8) nel caso della centrifuga, quando questo si verifica (nell'asse), le condizioni al contorno del problema cambiano. In condizioni di cambiamento di fase infatti la pressione diventa costante e quindi ......
siamo tutti d'accordo su questi punti?
1) non ho mai detto che la legge di Hooke sia applicabile all'acqua (anzi...) e da questo punto di vista nnsoxke ha ragione: applicare uno stato di tensione qualunque all'acqua comporta che questa non sia in equilibrio, in particolare se ci sono componenti tangenziali (parte non idrostatica) e si considera la viscosità, l'acqua scorre indefinitamente...
2) se consideriamo l'acqua in equilibrio statico quindi non è possibile applicarle (punto per punto) uno stato di tensione qualunque ma solo uno stato idrostatico
3) in condizioni idrostatiche di compressione il cubetto d'acqua si deforma (rispetto alla condizione di riferimento, che nel caso in esame è quella alla presione atmosferica) conservando la forma
4) La legge tensione-deformazione può essere linearizzata (ipotesi ragionevole e usata sistematicamente)
5) la costante di proporzionalità (bulk modulus, K) tra pressione e deformazione volumica è ottenibile sperimentalmente (mentre non possono essere ricavate le due costanti elastiche tipiche di un materiale isotropo), Kinder ha trovato che in condizioni idrostatiche l'acqua è circa due ordini di grandezza (84 volte) più deformabile dell'acciaio
6) la costante K è unica perché l'acqua è isotropa
7) la legge di deformazione ha (come tutte le leggi empiriche) i suoi limiti: nel caso specifico il limite più importante è a pressioni basse (in valore assoluto). Se la pressione assoluta si avvicina a zero, si arriva alla pressione di ebollizione alla temperatura ambiente e l'acqua comincia localmente a cambiare di fase
8) nel caso della centrifuga, quando questo si verifica (nell'asse), le condizioni al contorno del problema cambiano. In condizioni di cambiamento di fase infatti la pressione diventa costante e quindi ......
siamo tutti d'accordo su questi punti?
Tutto chiaro a parte il punto 6... Non riesco bene a comprendere il senso dell'implicazione logica che hai scritto.
"mircoFN":
...
siamo tutti d'accordo su questi punti?
si, certamente.
Però intuisco che nnsoxke teme, non capisco il perché, che confondiamo solidi e fluidi. Per tranquillizzarlo, forse sarebbe utile ripetere tutti i ragionamenti immaginando che nella centrifuga ci sia un gas perfetto, che evolve in maniera isoterma, per semplicità.
"cavallipurosangue":
Tutto chiaro a parte il punto 6... Non riesco bene a comprendere il senso dell'implicazione logica che hai scritto.
Volevo dire che vi è una sola caratteristica elastica e che questa non dipende dalla pressione: il comportamento costitutivo (statico) dell'acqua è definito da un'unica costante scalare...
"kinder":
Però intuisco che nnsoxke teme, non capisco il perché, che confondiamo solidi e fluidi. Per tranquillizzarlo, forse sarebbe utile ripetere tutti i ragionamenti immaginando che nella centrifuga ci sia un gas perfetto, che evolve in maniera isoterma, per semplicità.
Si può fare, l'analogia funziona però solo concettualmente, perché la legge costitutiva in questo caso (legge dei gas o di Boyle) non è proprio la stessa e la soluzione matematica è diversa. Suggerisco di svilupparla dopo che abbiamo completato questa (per altro lunghissima) discussione. Magari proponi tu un nuovo problema!
ciao
Quindi volevi dire che i fluidi necessitano di una sola caratterisctica elastica, e non due, come invece è per esempio per gli acciai.
Ciò immagino dipenda dal fatto che l'acqua, come i fluidi, non rimane in equilibrio se sottoposta ad uno stato di tensione che ha una parte deviatoria non nulla.
Ciò immagino dipenda dal fatto che l'acqua, come i fluidi, non rimane in equilibrio se sottoposta ad uno stato di tensione che ha una parte deviatoria non nulla.
Confermo.
Riguardo il fatto che "Ovvero non si può ricavare una relazione di questo tipo σ=Eε (matrici delle tensioni dei moduli e delle deformazioni)", basta definire opportunamente E, come ti ho mostrato, ponendo G=0, ed aggiungendo la condizione su λ, che deve essere >0 se σ<0, e =0 altrimenti.
Se quelle sono matrici questo non è vero , non è possibile per l'acqua correlare matrice delle tensioni e matrice delle deformazioni.
Se questa relazione fa parte delle definizione di materiale elastico l'acqua non è elastica.
Ma perchè no... 
Non è percaso:
$S_(id)=Kepsilon_(id)$...?
Per l'acqua poi lo stato di tensione all'equilibrio è solo idrostatico; dall'isotropia si ha che i tensori di deformazione e tensione sono paralleli, da cui si evince che anche quello di deformazione ha solamente la parte idrostatica nelle condizioni sopradette. Ma queste non sono per caso matrici?
Non è percaso:
$S_(id)=Kepsilon_(id)$...?
Per l'acqua poi lo stato di tensione all'equilibrio è solo idrostatico; dall'isotropia si ha che i tensori di deformazione e tensione sono paralleli, da cui si evince che anche quello di deformazione ha solamente la parte idrostatica nelle condizioni sopradette. Ma queste non sono per caso matrici?
"cavallipurosangue":
Ma perchè no...
Non è percaso:
$S_(id)=Kepsilon_(id)$...?
Per l'acqua poi lo stato di tensione all'equilibrio è solo idrostatico; dall'isotropia si ha che i tensori di deformazione e tensione sono paralleli, da cui si evince che anche quello di deformazione ha solamente la parte idrostatica nelle condizioni sopradette. Ma queste non sono per caso matrici?
Siamo alle solite... che cosa sono $S_(id)$ e $epsilon_(id)$
si, certamente.
Però intuisco che nnsoxke teme, non capisco il perché, che confondiamo solidi e fluidi. Per tranquillizzarlo, forse sarebbe utile ripetere tutti i ragionamenti immaginando che nella centrifuga ci sia un gas perfetto, che evolve in maniera isoterma, per semplicità.
Si tratta di un altro esercizio, l'acqua non è assimilabile ad un gas perfetto... comq il procedimento è simile.
$p(r)=p(0)e^(1/2omega^2/(R_0T)r^2)$ da questa si ricava l'espressione della densità che integrata su tutto il volume dà la massa totale, da ciò si ricava $p(0)$.
Se invece le pareti del cilindro fossero adiabatiche ? Proviamo questo
Come ho detto sono la matrice delle tensioni che nel caso è solo la parte idrostatica, lo stesso vale per il tensore delle deformazioni, k è il bulk modulus.
Solita risposta 
: da quella relazione si vede subito che se le tensioni sono uguali anche le deformazioni lo sono, ma questo si mostra che per l'acqua non vale.
: da quella relazione si vede subito che se le tensioni sono uguali anche le deformazioni lo sono, ma questo si mostra che per l'acqua non vale.
Risposta diversa... 
NO non è vero... 
NO non è vero...
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