La centrifuga

[mircoFN1]

Sembra facile ......

Un recipiente cilindrico di raggio interno $R$ ($0.5m$) a pareti rigide viene riempito completamente con acqua alla pressione atmosferica e quindi chiuso ermeticamente alle estremità saldando due tappi rigidi.
Il recipiente viene posto in rotazione attorno al suo asse a velocità angolare $\omega$. La rotazione è molto rapida per cui è lecito trascurare l'effetto del peso proprio.
Determinare (in funzione di $\omega$) la pressione esercitata dall'acqua sulle pareti laterali del cilindro.

[son Goku1]

"nnsoxke": Quindi l'unica condizione che mi pare di poter utilizzare è che il volume totale dell'acqua rimanga lo stesso.

nnsoxperke ti chiedo un secondo di attenzione su questa questione che prima ho posto in modo un pò confuso facendo incavolare mircoFN che non è riuscito a capirci una cippa...

nella soluzione che hai trovato hai imposto che l'acqua resta liquida e che il volume totale non varia, e poi trovi che la pressione al centro è minore di quella iniziale e quindi il volume specifico è maggiore e la temperatura la ritieni costante in quanto dalla tua formula calcoli la variazione di volume in funzione di quella di pressione non tenendo conto di T per ragioni di equilibrio termico con l'esterno quindi non mi sembra il caso di menzionarla... fin qui ci siamo?

adesso se calcoli il volume di un cilindretto di raggio dr attorno all'asse ottieni che il suo volume è maggiore di quello iniziale
ragion per cui deve essere aumentata la sua altezza, in altre parole l'acqua per aver aumentato il suo volume deve aver 'ingobbito' il coperchio verso l'esterno deformandolo.

ok??

altra ragion per cui quel ragionamento è sbagliato. la prima è che l'acqua deve aumentare complessivamente di pressione a seguito di una qualsiasi sollecitazione centrifuga provocata dall'esterno (cosa che balza subito all'occhio) in termini più tecnici non si può imporre una condizione di 'volume costante' o 'assenza di deformazione' senza tener conto dei vincoli agenti dall'esterno sul liquido, se non si sono forze esterne che impediscono la deformazione di un fluido questa può avvenire, un pò quello che diceva cavalli sulla faccenda del tappo che non genera forze di trazione.

invece quello che succede è che l'acqua diminuisce complessivamente di volume e al centro mantiene la pressione iniziale e si forma una zona di vuoto tra pelo libero e coperchio che si mantiene così all'infinito per l'equilibrio e non vedo perchè ciò dovrebbe risultare assurdo. se ho un contenitore con dentro un liquido, e dall'esterno riesco in qualche modo a comprimere il liquido facendolo diminuire di volume e formando il vuoto tra pelo libero e contenitore, il vuoto rimane tale proprio perchè lo mantengo io dall'esterno comprimendo il liquido...e questa vicenda è del tutto analoga solo che la compressione in questo caso è centrifuga...

[mircoFN1]

allora te lo dico in latino, anche alla luce di quato ultimo vaneggiamento

Q.E.D.

'salve'

[son Goku1]

eh bè forse sono stato ancora un pò confuso, cmq se c'è un moderatore io vorrei esser libero di esprimere i miei ragionamenti senza che un pinco pallino mi dica ogni volta che sono dei vaneggiamenti senza dimostrare niente.
per spiegarmi un pò meglio riguardo al ragionamento di nnsoxke, oltre a far conservare il volume bisognerebbe far conservare anche la massa totale, cosa che non torna in quel procedimento.

[cavallipurosangue]

Ma se la massa d'acqua è quella che ci hai messo dentro prima di mettere il tappo, quella rimane.

[mircoFN1]

"son Goku":...... io vorrei esser libero di esprimere i miei ragionamenti .......

quoto in pieno ... soprattutto quando il problema è stato completamente risolto e si continua a girarci intorno a vuoto senza dire qualcosa che abbia senso.

Da quanto scritto appare evidente che non c'è da parte mia alcuna intenzione censoria. Esprimo solamente e pubblicamente il mio dissenso quando le affermazioni fatte mi sembrano incongrue.

Firmato: pinco pallino


PS: non capisco perché scandalizzi il fatto che sia massa sia volume si conservino!

[cavallipurosangue]

Quindi imponendo la condizione al contorno:

$p(0)=p_a-1/2rhoomega^2R^2$

Si ottiene:

$p(r)=p_a-1/2rhoomega^2(R^2-r^2)$

Il minimo naturalmente è in r=0

Deve essere $p(0)>0$,

da cui deduco che esiste un limite alla velocità angolare: $\omega
Ma ciò che significa...?

Ho stimato per un recipiente di 150mm di raggio che si può far ruotare al massimo il recipiente a 350 g/min...

Per questo non mi convince molto, non mi piace...

[kinder1]

"cavallipurosangue":Quindi imponendo la condizione al contorno:

$p(0)=p_a-1/2rhoomega^2R^2$

Si ottiene:

$p(r)=p_a-1/2rhoomega^2(R^2-r^2)$

Il minimo naturalmente è in r=0

Deve essere $p(0)>0$,

da cui deduco che esiste un limite alla velocità angolare: $\omega
Ma ciò che significa...?

Ho stimato per un recipiente di 150mm di raggio che si può far ruotare al massimo il recipiente a 350 g/min...

Per questo non mi convince molto, non mi piace...

la condizione corretta per la pressione è che sia $>=$ di quella di saturazione. Questo è il limite citato, mi pare, da Mirco, a cui corrisponde la cavitazione. Per voler esagerare con la precisione, si potrebbe considerare anche l'eventuale pressione parziale dovuta a gas (per es. aria) disciolti nell'acqua, che partecipano alla formazione della fase aeriforme insieme col vapore. La formazione della fase gassosa in prossimità dell'asse cambierebbe un po' lo scenario, ma non molto, perché si tratterebbe di modellare il "toro" di acqua, sulla cui superfice interna agisce la pressione dei gas.

[cavallipurosangue]

Ok, quindi il modello così com'è perde di attendibilità ancor prima di quello che dicevo io...

[kinder1]

"cavallipurosangue":Ok, quindi il modello così com'è perde di attendibilità ancor prima di quello che dicevo io...

non direi affatto che la comparsa della fase aeriforme faccia perdere di validità al modello. Semmai, definisce uno schema semplice, per quanto riguarda il quesito iniziale, che chiedeva di determinare la pressione agente sulla parete interna del cilindro. Avremmo infatti una situazione idrostatica familiare, di un battente liquido con gas sulla superfice (in prossimità dell'asse). La cosa complicata in questo problema è il calcolo del volume di gas che si forma, non quello della pressione sul cilindro, che si ottiene come hai fatto tu, facendo solo attenzione a considerare la pressione dei gas in prossimità dell'asse, e non una pressione negativa (intendo quella assoluta). Il calcolo del volume di gas, invece, non può prescindere dalla considerazione della deformazione del recipiente e dell'acqua.

[Sk_Anonymous]

Il calcolo del volume di gas, invece, non può prescindere dalla considerazione della deformazione del recipiente e dell'acqua.

Si potrebbe risolvere anche in questo caso senza considerare la deformazione del recipiente: visto che finchè rimane liquida l'acqua non cambia di molto la sua densità anche per variazioni di pressione molto alte mentre quando vaporizza si ha una notevole variazione, si può ricavare la densità media dell'acqua (che dipenderà dal raggio del cilindretto di vapore e dalla sua densità) e supporla costante quando si ricava l'andamento della pressione nell'acqua... A quel punto imponendo che la pressione al raggio interno sia quella di saturazione si ricava il valore del raggio.

[cavallipurosangue]

Quindi se ho capito si ha una cosa del genere:

$p(r)={(p_a-1/2\rho\omega^2(R^2-r^2),if p>p_s),(p_s,if p
dove $p_s$ è la pressione di saturazione

[mircoFN1]

"cavallipurosangue":Quindi se ho capito si ha una cosa del genere:

$p(r)={(p_a-1/2\rho\omega^2(R^2-r^2),if p>p_s),(p_s,if p
dove $p_s$ è la pressione di saturazione

Non mi sembra.

Provo a dare qualche suggerimento ulteriore....

Tutte le pressioni sono considerate assolute.
Sappiamo che all'inizio (quando tutto è fermo) la pressione dell'acqua (a centrifuga chiusa) è $p_a$. A regime l'andamento della pressione all'interno è quadratico col raggio e definito, a meno di una costante (la pressione sull'asse $p_0$), dalla relazione:

$p(r)=p_0+1/2*\rho*\omega^2*r^2$.

Il problema è come trovare $p_0$.

Per fare questo e risolvere l'indeterminazione che deriva dalla sola statica, è necessario considerare la deformabilità del liquido (ci sarà una sorpresa alla fine...).
Assumendo per l'acqua la legge di deformabilità più semplice (variazione di densità proporzionale all'aumento di pressione) è infatti possibile ottenere $p_0$ imponendo il volume occupato dal fluido costante.

Se i miei conti sono giusti dovrebbe essere:

$p_0= p_a-1/4*\rho*\omega^2*R^2$

verificatelo....

poi ne riparliamo.

ciao

[Sk_Anonymous]

"cavallipurosangue":Quindi se ho capito si ha una cosa del genere:

$p(r)={(p_a-1/2\rho\omega^2(R^2-r^2),if p>p_s),(p_s,if p
dove $p_s$ è la pressione di saturazione

La condizione mi risulta così: $p(r')=p_s$
dove $r'$ è il raggio della superficie di separazione tra acqua e vapore.
Nel calcolare l'andamento della pressione in funzione del raggio bisogna considerare che anche $rho_m(r')=(M-rho_s pi r'^2 h)/(V-pi r'^2 h)$
dove $rho_m$ è la densità media della solo acqua liquida, $M$ è la massa totale, $V$ il volume totale e $rho_s$ la densità del vapore (nota).

[Sk_Anonymous]

"mircoFN":
Se i miei conti sono giusti dovrebbe essere:

$p_0= p_a-1/4*\rho*\omega^2*R^2$

verificatelo....

poi ne riparliamo.

ciao

Mi risulta $p_0= p_a-1/3*\rho*\omega^2*R^2$

[cavallipurosangue]

A me ancora diverso torna... Ci si trova a questa espressione:

$DeltaV=0=kint_V(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)dV=2pihkint_0^{R}(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)rdr=p(0)R^2/2+1/4rhoomega^2R^4-p_aR^2/2=0$

Quindi:

$p(0)=p_a-1/2rhoomega^2R^2$

Non vedo dove possa essere l'errore...

[kinder1]

a me viene come segue:

da $(dp)/(dr)=rho*omega^2*r$ considero la $sigma=-p$ da cui $(dsigma)/(dr)=-rho*omega^2*r$, quindi

$sigma=-rho*omega^2*r^2/2+c_1$

Poi considero che $sigma=E*epsilon=E*(du)/(dr)$ con $u$ lo spostamento dell'acqua per effetto dell'accelerazione centrifuga.

Allora ho: $E*(du)/(dr)=-rho*omega^2*r^2/2+c_1$ che integrata dà:

$E*u(r)=-rho*omega^2*r^3/6+c_1*r+c_2$. Prima dell'insorgenza della cavitazione posso imporre le condizioni:

$u(0)=0$ per simmetria - da cui $c_2=0$ - e $u(R)=0$ perchè ipotizzo il cilindro rigido. Da quest'ultima ricavo:

$c_1=rho*omega^2*R^2/6$.

Tornando alla $sigma$ e considerando il principio di sovrapposizione degli effetti avrò:


$sigma=-p_a-rho*omega^2*r^2/2+rho*omega^2*R^2/6$

fatti salvi gli errori che normalmente compio facendo calcoli (brutto limite per un ingegnere!)

Per avere la pressione basta cambiare il segno.

[Sk_Anonymous]

Non mi torna la tua soluzione Kinder (c'avevo pensato anche io), hai usato il legame elastico per un materiale come l'acqua che elastico non è... cioè la variazione di pressione è correlabile solo ad una variazione percentuale di volume (o densità) e non alla variazione di lunghezza in direzione radiale: prendiamo ad esempio un volumetto $drd(theta)rh$, la variazione di volume può avvenire sia per variazione della sua lunghezza percentuale radiale sia per il suo spostamento radiale (mantenendo costante la lunghezza) o una ualsiasi combinazione della due.
Un esempio più chiaro potrebbe essere questo: pensiamo ad un contenitore cubico contenente dell'acqua con due facce adiacenti costituite da due pistoni... comprimendo l'acqua prima con un pistone e poi con l'altro, a parità di variazione di pressione, prendendo un volumetto abbiamo che questo prima si deforma in una direzione e poi nell'altra ovvero non è possibile trovare una correlazione tra deformazione direzionale e variazione di pressione, quello che è uguale nei due casi è la variazione percentuale di volume.

[mircoFN1]

"cavallipurosangue":A me ancora diverso torna... Ci si trova a questa espressione:

$DeltaV=0=kint_V(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)dV=2pihkint_0^{R}(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)rdr=p(0)R^2/2+1/4rhoomega^2R^4-p_aR^2/2=0$

Non vedo dove possa essere l'errore...

forse qui?

$DeltaV=0=kint_V(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)dV=2pihkint_0^{R}(p(0)+1/2rhoomega^2r^2-p_a)rdr=2pihk(p(0)R^2/2+1/2rhoomega^2R^4/4-p_aR^2/2)=0$

da cui:

$p(0)=p_a-1/4rhoomega^2R^2$

[kinder1]

"nnsoxke":Non mi torna la tua soluzione Kinder (c'avevo pensato anche io), hai usato il legame elastico per un materiale come l'acqua che elastico non è... cioè la variazione di pressione è correlabile solo ad una variazione percentuale di volume (o densità) e non alla variazione di lunghezza in direzione radiale: prendiamo ad esempio un volumetto $drd(theta)rh$, la variazione di volume può avvenire sia per variazione della sua lunghezza percentuale radiale sia per il suo spostamento radiale (mantenendo costante la lunghezza) o una ualsiasi combinazione della due.
Un esempio più chiaro potrebbe essere questo: pensiamo ad un contenitore cubico contenente dell'acqua con due facce adiacenti costituite da due pistoni... comprimendo l'acqua prima con un pistone e poi con l'altro, a parità di variazione di pressione, prendendo un volumetto abbiamo che questo prima si deforma in una direzione e poi nell'altra ovvero non è possibile trovare una correlazione tra deformazione direzionale e variazione di pressione, quello che è uguale nei due casi è la variazione percentuale di volume.

a rigore ho utilizzato l'approssimazione di legame lineare tra tensione e deformazione. Tale approssimazione si può fare per l'acqua come per gli altri materiali, nei limiti in cui una linearizzazione è legittima. Riguardo l'elasticità, che io non ho ipotizzato, potrai comunque convenire che l'acqua lo è abbastanza, almeno fino a che, riducendo la pressione ritorna alla densità iniziale. Non credi?

Riguardo il legame tra pressione e deformazione tieni presente quanto segue:
1) il coefficiente di dilatazione volumica è dato da: $Theta=epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z$
2) in regime idrostatico le $epsilon$ sono uguali tra loro, perché sono uguali tra loro le $sigma=-p$, per cui hai $Theta=3*epsilon=3*sigma/E=-3*p/E$. E' questa che ti consente di legare variazioni di volume specifico (o densità) e pressione. Bada che ciò non vale solo per l'acqua, ma è vero sempre in regime di tensione di tipo idrostatico (se del caso anche per l'acciaio), e non solo per tensioni negative.

[mircoFN1]

"kinder":
2) in regime idrostatico le $epsilon$ sono uguali tra loro, perché sono uguali tra loro le $sigma=-p$, per cui hai $Theta=3*epsilon=3*sigma/E=-3*p/E$. E' questa che ti consente di legare variazioni di volume specifico (o densità) e pressione. Bada che ciò non vale solo per l'acqua, ma è vero sempre in regime di tensione di tipo idrostatico (se del caso anche per l'acciaio), e non solo per tensioni negative.

quasi giusto:

$Theta=3*epsilon=3(1-2 \nu)*sigma/E=-3(1-2 \nu)*p/E$

però per la soluzione dell'esercizio non è necessario conoscere $E$ e $nu$, perché il risultato non ne risulta influenzato ....