Esercizi sulla Cinematica
Esercizio 1
Si costruisce il grafico di $ x $ in funzione del tempo e si determinano i valori delle $x$ in ogni tempo $t$.
Per il tempo t iniziale t=0, quindi dalla formula data dalla traccia, si sostituisce il valore della t che si vuole prendere in considerazione e si determina il calcolo della x, nel seguente modo:
$t_i = 0s $
$x(t)_0 = 74m – (14m/s) *0 s = 74m $
$t_1 = 1s$
$x(t)_1 = 74m – (14m/s) *1 s = 60m $
$t_2 = 2s $
$x(t)_2 = 74m – (14m/s) *2 s = 46m $
$t_3 = 3s $
$x(t)_3 = 74m – (14m/s) *3 s = 32m $
$t_4 = 4s $
$x(t)_4 = 74m – (14m/s) *4 s = 18m $
$t_5 = 5s $
$x(t)_5 = 74m – (14m/s) *5 s = 4m $
$t_6 = 6s $
$x(t)_6 = 74m – (14m/s) *6 s = -10m $
Si costruisce il grafico di $ x $ in funzione del tempo e si determinano i valori delle $x$ in ogni tempo $t$.
Per il tempo t iniziale t=0, quindi dalla formula data dalla traccia, si sostituisce il valore della t che si vuole prendere in considerazione e si determina il calcolo della x, nel seguente modo:
$t_i = 0s $
$x(t)_0 = 74m – (14m/s) *0 s = 74m $
$t_1 = 1s$
$x(t)_1 = 74m – (14m/s) *1 s = 60m $
$t_2 = 2s $
$x(t)_2 = 74m – (14m/s) *2 s = 46m $
$t_3 = 3s $
$x(t)_3 = 74m – (14m/s) *3 s = 32m $
$t_4 = 4s $
$x(t)_4 = 74m – (14m/s) *4 s = 18m $
$t_5 = 5s $
$x(t)_5 = 74m – (14m/s) *5 s = 4m $
$t_6 = 6s $
$x(t)_6 = 74m – (14m/s) *6 s = -10m $
Risposte
"Bad90":
Hai ragione
Quindi se utilizzo la seguente $W=1/2k\Deltax^2$, vorra' dire che il procedimento è ugualmente giusto
Poi devi sottrarre l'energia dissipata dell'attrito, cioè Forza x Spostamento.
(PS. Mi ero fatto sviare dalla soluzione, senza leggere bene il testo)
"Bad90":
Quindi se utilizzo la seguente $W=1/2k\Deltax^2$, vorra' dire che il procedimento è ugualmente giusto
Eh no, manca da considerare l'attrito! Vedi il mio post precedente.
"minomic":
[quote="Bad90"]Quindi se utilizzo la seguente $W=1/2k\Deltax^2$, vorra' dire che il procedimento è ugualmente giusto
Eh no, manca da considerare l'attrito! Vedi il mio post precedente.[/quote]
Ok, amici, adesso rimetto apposto tutti i punti!
Ma per il punto c) il ragionamento che ho fatto, dite che è corretto
Per quanto riguarda il punto (c) premetto che potrei sbagliarmi, quindi aspetta conferme.
Indichiamo con $E_0$ l'energia del corpo alla fine del tratto orizzontale. Avremo $$
E_0 = \frac{1}{2}k\Delta x^2 - \mu mg(\Delta x+d).
$$ Per la conservazione dell'energia tra questo punto e il punto alla sommità della guida possiamo scrivere $$
E_0 = \frac{1}{2}k\Delta x^2 - \mu mg(\Delta x+d) = mg2R + \frac{1}{2}mv^2.
$$ Alla sommità le forze che agiscono sono due: il peso e la forza dovuta all'accelerazione centripeta. All'equilibrio (carrellino in procinto di staccarsi) deve valere $$mg = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow R = \frac{v^2}{g}.$$ Mettendo a sistema questa equazione con la precedente dovresti trovare la soluzione.
Ripeto che non sono del tutto certo di quanto ho scritto, quindi aspettiamo conferme/smentite.
Indichiamo con $E_0$ l'energia del corpo alla fine del tratto orizzontale. Avremo $$
E_0 = \frac{1}{2}k\Delta x^2 - \mu mg(\Delta x+d).
$$ Per la conservazione dell'energia tra questo punto e il punto alla sommità della guida possiamo scrivere $$
E_0 = \frac{1}{2}k\Delta x^2 - \mu mg(\Delta x+d) = mg2R + \frac{1}{2}mv^2.
$$ Alla sommità le forze che agiscono sono due: il peso e la forza dovuta all'accelerazione centripeta. All'equilibrio (carrellino in procinto di staccarsi) deve valere $$mg = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow R = \frac{v^2}{g}.$$ Mettendo a sistema questa equazione con la precedente dovresti trovare la soluzione.
Ripeto che non sono del tutto certo di quanto ho scritto, quindi aspettiamo conferme/smentite.
E' ok.
Faccio solo notare che il testo dice che la guida semicircolare è senza attrito.
Faccio solo notare che il testo dice che la guida semicircolare è senza attrito.
"Quinzio":
E' ok.
Faccio solo notare che il testo dice che la guida semicircolare è senza attrito.
Quindi
"Quinzio":
Faccio solo notare che il testo dice che la guida semicircolare è senza attrito.
Sì infatti ho messo l'attrito solo per calcolare l'energia alla fine del tratto orizzontale. Poi nella seconda conservazione non l'ho più considerato.
E' giusto, vero?
Quindi basta una sola equazione, cioè questa
$$mg = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow R = \frac{v^2}{g}.$$
E non un sistema, giusto
$$mg = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow R = \frac{v^2}{g}.$$
E non un sistema, giusto
Ma $v^2$ da dove lo prendi?
"minomic":
Ma $v^2$ da dove lo prendi?
Ok, adesso ho compreso
"Quinzio":
Rispondo io se volete, così Navigatore riposa un attimo.
Fine del punto a)
Non puoi fare un bilancio energetico perchè l'attrito dissipa un po' di energia.
Però conosci l'accelerazione e hai lo spazio in cui agisce questa accelerazione, quindi usiamo $s=1/2at^2$. Ricavi $t$ e calcoli la velocità $v_0$ alla fine della spinta della molla.
Punto b)
Il carrello passa da $v_0$ a $v_1$ percorrendo $s_(01)=32,5 cm$, decelerando siccome c'è attrito.
La decelerazione $a_t$ si ricava con $a_t = - g\ \mu_0$ giusto ? ($a_t$ sarà di segno negativo)
Allora $v_1 = v_0 + a_t *t_(01)$.
Quanto è $t_(01)$ ?
Lo ricaviamo implicitamente come prima cioè cercando di capire quanta strada fa un corpo che decelera in modo uniforme.
La formula è $s_(01)= (v_0+v_1)/2 t_(01)=(v_0+a_t t_(01))/2 t_(01)$
E' una eq. di secondo grado, la si risolve per conoscere $t_01$.
Fino a qui ok ?
Ricapitolando, per il punto a):
$s=1/2at^2$
$v(t) = v_0 + at$
Utilizzando l'accelerazione seguente?
$ a_x = (238.875N)/(0.225kg) = 1061.66m/s^2 $
Siccome c'è forza di attrito avrò la seguente accelerazione:
$ a_x = 1061.66m/s^2 * 0.15 = 159.249 m/s^2$
Giusto
Quindi la velocità sarà:
$s=1/2at^2$
$v(t) = v_0 + at$
$t = 0.0756 s$
$v(t) = at$
$t = 0.0756 s$
$v(t) = (159.249 m/s^2) *(0.0756s) = 12.03 m/s$
Ma scusa non avevamo già risolto il punto (a) con la conservazione dell'energia? 
"minomic":
Ma scusa non avevamo già risolto il punto (a) con la conservazione dell'energia?
Ma io adesso voglio risolverlo come ha detto Quinzio
Cosa ne dici, ho capito quello che ha detto il nostro amico
Con il principio di conservazione dell'energia avevi detto che era:
$$
E_{molla} = E_{cinetica} + E_{dissipata dall'attrito}
$$
$1/2 kx^2 = 1/2 mv^2 + F_(at) *Delta x$
"Bad90":
Ma io adesso voglio risolverlo come ha detto Quinzio
Cosa ne dici, ho capito quello che ha detto il nostro amico
No, non va bene. Il risultato corretto è $$v = 6.27 \frac{m}{s}$$ Invece quello che hai scritto dopo è giusto.
"minomic":
[quote="Bad90"]Ma io adesso voglio risolverlo come ha detto Quinzio
Cosa ne dici, ho capito quello che ha detto il nostro amico
No, non va bene. Il risultato corretto è $$v = 6.27 \frac{m}{s}$$ Invece quello che hai scritto dopo è giusto.[/quote]
Ok, ok, ho fatto confusione
Ho qualche problema con un esercizio di cinematica.
Un punto parte dall'origine dell'asse x con velocità $v_0$ positiva; esso ha un'accelerazione negativa e si arresta dopo aver percorso la distanza $d$. Si osserva che quando passa nella posizione$d/2$ la sua velocità è $v_0/2$.
Determinare se l'accelerazione è costante oppure se è proporzionale alla velocità.
Ho pensato di considerare prima il caso in cui $a(t)=-a$ , con $a$ costante positiva
$int_(x_0)^x a(x)dx= 1/2 v^2-1/2 v_0^2$
Nel caso specifico: $v^2=v_0+2a(x-x_0)$ ; $v^2=v_0^2+2ax$
Come faccio a verificare che quesrto valore sia diverso da $v_0/2$
E nel caso che l'accelerazione dipenda dalla velocità $a(t)=-kv$ ?
Un punto parte dall'origine dell'asse x con velocità $v_0$ positiva; esso ha un'accelerazione negativa e si arresta dopo aver percorso la distanza $d$. Si osserva che quando passa nella posizione$d/2$ la sua velocità è $v_0/2$.
Determinare se l'accelerazione è costante oppure se è proporzionale alla velocità.
Ho pensato di considerare prima il caso in cui $a(t)=-a$ , con $a$ costante positiva
$int_(x_0)^x a(x)dx= 1/2 v^2-1/2 v_0^2$
Nel caso specifico: $v^2=v_0+2a(x-x_0)$ ; $v^2=v_0^2+2ax$
Come faccio a verificare che quesrto valore sia diverso da $v_0/2$
E nel caso che l'accelerazione dipenda dalla velocità $a(t)=-kv$ ?
..
Ciao, l'ultima formula che hai postato è corretta ma devi stare attento ad una cosa: quella $v_i$ è la velocità con la quale il carrello si stacca dalla molla perchè è da quel punto che inizia il moto decelerato. Questa velocità la ottieni dalla conservazione dell'energia ma a questo punto puoi mettere del tutto da parte le formule del moto accelerato e scrivere direttamente $$
\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg(x+d)
$$
\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg(x+d)
$$
"minomic":
Ciao, l'ultima formula che hai postato è corretta ma devi stare attento ad una cosa: quella $v_i$ è la velocità con la quale il carrello si stacca dalla molla perchè è da quel punto che inizia il moto decelerato. Questa velocità la ottieni dalla conservazione dell'energia ma a questo punto puoi mettere del tutto da parte le formule del moto accelerato e scrivere direttamente $$
\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg(x+d)
$$
Ok, adesso ho compreso!
Si possono utilizzare due strade....
Quella che ho detto io, cioè:
$ v_f^2 = v_i^2 - 2a_x (x_f - x_i) $
$ v_f^2 = (6.27m/s)^2 - 2(mu*g) (0.325m) $
$ v_f^2 = (6.27m/s)^2 - 2(1.47m/s^2) (0.325m) $
$ v_f = 6.19m/s $
E lo stesso si ottiene risolvendo la seguente rispetto alla velocità:
$$
\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg(x+d)
$$
"minomic":
Per quanto riguarda il punto (c) premetto che potrei sbagliarmi, quindi aspetta conferme.
Indichiamo con $E_0$ l'energia del corpo alla fine del tratto orizzontale. Avremo $$
E_0 = \frac{1}{2}k\Delta x^2 - \mu mg(\Delta x+d).
$$ Per la conservazione dell'energia tra questo punto e il punto alla sommità della guida possiamo scrivere $$
E_0 = \frac{1}{2}k\Delta x^2 - \mu mg(\Delta x+d) = mg2R + \frac{1}{2}mv^2.
$$ Alla sommità le forze che agiscono sono due: il peso e la forza dovuta all'accelerazione centripeta. All'equilibrio (carrellino in procinto di staccarsi) deve valere $$mg = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow R = \frac{v^2}{g}.$$ Mettendo a sistema questa equazione con la precedente dovresti trovare la soluzione.
Ripeto che non sono del tutto certo di quanto ho scritto, quindi aspettiamo conferme/smentite.
Adesso voglio risolvere il punto c)
Aiutooooooo!
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