Esercizi sulla Cinematica
Esercizio 1
Si costruisce il grafico di $ x $ in funzione del tempo e si determinano i valori delle $x$ in ogni tempo $t$.
Per il tempo t iniziale t=0, quindi dalla formula data dalla traccia, si sostituisce il valore della t che si vuole prendere in considerazione e si determina il calcolo della x, nel seguente modo:
$t_i = 0s $
$x(t)_0 = 74m – (14m/s) *0 s = 74m $
$t_1 = 1s$
$x(t)_1 = 74m – (14m/s) *1 s = 60m $
$t_2 = 2s $
$x(t)_2 = 74m – (14m/s) *2 s = 46m $
$t_3 = 3s $
$x(t)_3 = 74m – (14m/s) *3 s = 32m $
$t_4 = 4s $
$x(t)_4 = 74m – (14m/s) *4 s = 18m $
$t_5 = 5s $
$x(t)_5 = 74m – (14m/s) *5 s = 4m $
$t_6 = 6s $
$x(t)_6 = 74m – (14m/s) *6 s = -10m $
Si costruisce il grafico di $ x $ in funzione del tempo e si determinano i valori delle $x$ in ogni tempo $t$.
Per il tempo t iniziale t=0, quindi dalla formula data dalla traccia, si sostituisce il valore della t che si vuole prendere in considerazione e si determina il calcolo della x, nel seguente modo:
$t_i = 0s $
$x(t)_0 = 74m – (14m/s) *0 s = 74m $
$t_1 = 1s$
$x(t)_1 = 74m – (14m/s) *1 s = 60m $
$t_2 = 2s $
$x(t)_2 = 74m – (14m/s) *2 s = 46m $
$t_3 = 3s $
$x(t)_3 = 74m – (14m/s) *3 s = 32m $
$t_4 = 4s $
$x(t)_4 = 74m – (14m/s) *4 s = 18m $
$t_5 = 5s $
$x(t)_5 = 74m – (14m/s) *5 s = 4m $
$t_6 = 6s $
$x(t)_6 = 74m – (14m/s) *6 s = -10m $
Risposte
Esercizio 2
Non sto capendo come si fa a determinare quella coordinata su un grafico
Vorrei capire la formula della $ x $ data dalla traccia:
$ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $
Non mi sono ancora trovato a risolvere queste equazioni con il seno e con gli angoli in radianti
Potreste aiutarmi a capirla
Provo a dire qualcosa:
La formula data $ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $ è espressa con angoli in radianti, ma se si vuole esprimerla in gradi, basta fare la conversione con la seguente:
$ alpha^o : alpha^r = 360^o : 2pi $
$ alpha^o = (360^o * alpha^r)/(2pi) $
$ alpha^o = (360^o * 0.44^r)/(2pi) $
$ alpha^o = 25.21^o $
Detto questo, è semplice calcolarla con la calcolatrice, ma anche con la modalità in radianti
Solo che poi non mi sono chiare le dimensioni Facendo un analisi dimensionale:
$ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $
$ x(t) = [L] sin[(0.44 (rad)/[T])[T]] $
Quel $ sin $ e quel $ rad $, come và inteso
Non sto capendo come si fa a determinare quella coordinata su un grafico
Vorrei capire la formula della $ x $ data dalla traccia:
$ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $
Non mi sono ancora trovato a risolvere queste equazioni con il seno e con gli angoli in radianti
Potreste aiutarmi a capirla
Provo a dire qualcosa:
La formula data $ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $ è espressa con angoli in radianti, ma se si vuole esprimerla in gradi, basta fare la conversione con la seguente:
$ alpha^o : alpha^r = 360^o : 2pi $
$ alpha^o = (360^o * alpha^r)/(2pi) $
$ alpha^o = (360^o * 0.44^r)/(2pi) $
$ alpha^o = 25.21^o $
Detto questo, è semplice calcolarla con la calcolatrice, ma anche con la modalità in radianti
Solo che poi non mi sono chiare le dimensioni
Facendo un analisi dimensionale: $ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $
$ x(t) = [L] sin[(0.44 (rad)/[T])[T]] $
Quel $ sin $ e quel $ rad $, come và inteso
Esercizio 1 : perfetto!
"Bad90":
Esercizio 2
Fai innanzitutto quello che il dice il testo, cioè sulla calcolatrice cambia "deg" in "rad", tutte le calcolatrici buone danno questa possibilità. Poi, costruisci prima una tabellina, dove nella prima colonna metti i valori del tempo, e in corrispondenza nella seconda vengono i valori calcolati con la calcolatrice, usando la funzione "sen" . Per esempio, dopo $1s$ devi calcolare il valore di $sen(0.44)rad$ , e lo devi moltiplicare per $52mm$ che è scritto come fattore del seno.
È chiaro che per $t=0$ si ha $x(0) = 0$ perche il seno è zero se l'argomento è zero. Quando invece l'argomento è uguale a $90º$ che equivalgono a $\pi/2 $ radianti, si ha: $sen\pi/2 = 1$ , quindi la curva detta "sinusoide" ha la sua massima ampiezza che è $1$. Ma nel tuo caso la massima ampiezza è $52 mm$, dalla parte positiva delle $x$. Quando l'argomento diventa uguale a $\pi rad$ , si ha : $sen\pi = 0$ , e dopo il seno diventa negativo.
Quando $t = 15s$ , l'argomento del seno vale : $ 0.44*15 rad = 6.6 rad$ quindi hai superato anche l'angolo giro di $360º = 2\pi rad = 6.28 rad$ . Cioè la sinusoide ha superato un periodo completo.
Lo so, non è facile per me farmi capire, spero che questo ti aiuti. Comunque, costruisci la tabellina e riporta i punti sul grafico. Ottieni una spezzata che "approssima" una sinusoide. I punti obbligati di valore zero e valore max te li ho detti, ma la spezzata forse non ci passa. ci passerà vicino.
Ecco il grafico:
Sei stato chiarissimo, si tratta del grafico della funzione $ y = sen x $ , tutto quì! Effettivamente il grafico parla chiaro, si ha un periodo completo più l'inizio di un secondo periodo! Ho compreso chiaramente l'esercizio in questo primo punto a)!
Sei stato chiarissimo, si tratta del grafico della funzione $ y = sen x $ , tutto quì! Effettivamente il grafico parla chiaro, si ha un periodo completo più l'inizio di un secondo periodo! Ho compreso chiaramente l'esercizio in questo primo punto a)!
Penso tu abbia capito. Puoi fare un grafico anche assumendo una unità di lunghezza più grande sulle ascisse, rispetto alle ordinate. Così il grafico si allunga sull'asse $x$.
Non ricordi l'equivalenza tra angoli espressi in gradi e espressi in radianti? Cerco di spiegarti brevemente, sempre in parole povere e....poco rigorose!
Ogni arco di circonferenza ha una sua lunghezza, ovvio, che a parità di raggio $r$ della circonferenza è proporzionale all'angolo al centro.
L'angolo al centro, al quale corrisponde un arco di circonferenza che ha la stessa lunghezza del raggio, si assume come "radiante" . Quest'angolo vale circa $57.3º$ , ed è indipendente dalla lunghezza del raggio della circonferenza.
L'angolo al centro corrispondente ad una intera circonferenza vale 360º, cioè l'angolo giro.
La lunghezza della circonferenza è $2\pir$ essendo $r$ il raggio. Se fai il rapporto tra la lunghezza detta e il raggio $r$ , ottieni $2\pi$.
Perciò vuol dire che in una intera circonferenza ci sono $2\pi$ radianti. In una semicirconferenza ce ne sono $\pi$ , cioè circa $3.14...$ angoli come quello che ti ho detto. In $90º$ ce ne sono $\pi/2$ ... e così via.
E si può scrivere una proporzione : $ \alpha_(rad) : \alpha_(deg) = \pi : 180º $
Fai delle prove, esercitati, non è difficile.
Non ricordi l'equivalenza tra angoli espressi in gradi e espressi in radianti? Cerco di spiegarti brevemente, sempre in parole povere e....poco rigorose!
Ogni arco di circonferenza ha una sua lunghezza, ovvio, che a parità di raggio $r$ della circonferenza è proporzionale all'angolo al centro.
L'angolo al centro, al quale corrisponde un arco di circonferenza che ha la stessa lunghezza del raggio, si assume come "radiante" . Quest'angolo vale circa $57.3º$ , ed è indipendente dalla lunghezza del raggio della circonferenza.
L'angolo al centro corrispondente ad una intera circonferenza vale 360º, cioè l'angolo giro.
La lunghezza della circonferenza è $2\pir$ essendo $r$ il raggio. Se fai il rapporto tra la lunghezza detta e il raggio $r$ , ottieni $2\pi$.
Perciò vuol dire che in una intera circonferenza ci sono $2\pi$ radianti. In una semicirconferenza ce ne sono $\pi$ , cioè circa $3.14...$ angoli come quello che ti ho detto. In $90º$ ce ne sono $\pi/2$ ... e così via.
E si può scrivere una proporzione : $ \alpha_(rad) : \alpha_(deg) = \pi : 180º $
Fai delle prove, esercitati, non è difficile.
Sto trovando problemi nel risolvere il punto b) 
Se ho i rispettivi valori per ogni secondo:
$ 0s===>0mm $
$ 1s===>22.14mm $
$ 2s===>40.07mm $
$ 3s===>50.37mm $
$ 4s===>51.07mm $
$ 5s===>42.04mm $
$ 6s===>25.00mm $
$ 7s===>3.20mm $
$ 8s===>-19.21mm $
$ 9s===>-37.96mm $
$ 10s===>-49.48mm $
Come faccio a determinare lo spazio percorso tra $ t=0.0 $ e $ t=10 $
Dal grafico, capisco che l'oggetto percorre fino al punto 4, lungo un valore $ +x $ in quanto dal grafico si ha una curva crescente fino al punto 4, poi c'è un cambio di direzione della curva.
Se ho i rispettivi valori per ogni secondo:
$ 0s===>0mm $
$ 1s===>22.14mm $
$ 2s===>40.07mm $
$ 3s===>50.37mm $
$ 4s===>51.07mm $
$ 5s===>42.04mm $
$ 6s===>25.00mm $
$ 7s===>3.20mm $
$ 8s===>-19.21mm $
$ 9s===>-37.96mm $
$ 10s===>-49.48mm $
Come faccio a determinare lo spazio percorso tra $ t=0.0 $ e $ t=10 $
Dal grafico, capisco che l'oggetto percorre fino al punto 4, lungo un valore $ +x $ in quanto dal grafico si ha una curva crescente fino al punto 4, poi c'è un cambio di direzione della curva.
Per risolvere il punto b) , devi fare la somma dei 10 spostamenti : da 0 a 1s , da 1s a 2s, .....da 8 a 9s, da 9 a 10s. Non c'è altra via.
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ha postato mentre scrivevo. Poco male. Hai tutti i valori in tutti i punti : come ti dicevo prima, devi trovare i 10 spostamenti e sommarli.
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ha postato mentre scrivevo. Poco male. Hai tutti i valori in tutti i punti : come ti dicevo prima, devi trovare i 10 spostamenti e sommarli.
"navigatore":
Per risolvere il punto b) , devi fare la somma dei 10 spostamenti : da 0 a 1s , da 1s a 2s, .....da 8 a 9s, da 9 a 10s. Non c'è altra via.
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ha postato mentre scrivevo. Poco male. Hai tutti i valori in tutti i punti : come ti dicevo prima, devi trovare i 10 spostamenti e sommarli.
Ok, ma mi trovo con un valore di $ 127.24 mm $ mentre il testo mi dice che deve essere $ 153 mm $
Perchè mai
Io veramente trovo un totale di $151.62$, può darsi sia colpa degli arrotondamenti. MA i valori sono giusti? Mi sono fidato dei valori che hai messo.
Comunque, di ogni spostamento devi considerare il modulo, cioè quando fai le differenze devi prenderne il valore assoluto, chiaro?
Comunque, di ogni spostamento devi considerare il modulo, cioè quando fai le differenze devi prenderne il valore assoluto, chiaro?
Allora sto sbagliando a fare i calcoli, faccio nuovamente la prova:
$ 0s===>0mm $
$ 1s===>22.14mm $
$ 2s===>40.07mm $
$ 3s===>50.37mm $
$ 4s===>51.07mm $
$ 5s===>42.04mm $
$ 6s===>25.00mm $
$ 7s===>3.20mm $
$ 8s===>-19.21mm $
$ 9s===>-37.96mm $
$ 10s===>-49.48mm $
Allora, anche io ottengo il tuo stesso risultato, ecco quì:
l'oggetto sale fino al punto 4 ed ha percorso lungo un valore positivo della x, quindi $ 51.07mm $, mentre dopo dal punto 4 fino al punto 10 percorre tutto in valore negativo della x e quindi la differenza sarà:
$ 51.07mm- (-49.48mm) = 100.55 mm $
Lo spazio percorso sarà dato dalla somma seguente:
$ 51.07mm+100.55 mm =151.62mm$
$ 0s===>0mm $
$ 1s===>22.14mm $
$ 2s===>40.07mm $
$ 3s===>50.37mm $
$ 4s===>51.07mm $
$ 5s===>42.04mm $
$ 6s===>25.00mm $
$ 7s===>3.20mm $
$ 8s===>-19.21mm $
$ 9s===>-37.96mm $
$ 10s===>-49.48mm $
Allora, anche io ottengo il tuo stesso risultato, ecco quì:
l'oggetto sale fino al punto 4 ed ha percorso lungo un valore positivo della x, quindi $ 51.07mm $, mentre dopo dal punto 4 fino al punto 10 percorre tutto in valore negativo della x e quindi la differenza sarà:
$ 51.07mm- (-49.48mm) = 100.55 mm $
Lo spazio percorso sarà dato dalla somma seguente:
$ 51.07mm+100.55 mm =151.62mm$
Hai 10 valori:
da 0 a 1s , hai $22.14$.
Da1 a 2s, hai $(40.07-22.14)$
Da 2 a 3s, hai $(50.37 - 40.07)$
....e cosí via. Però devi fare attenzione a calcolare la giusta differenza, quando i valori cominciano a decrescere e diventano negativi. Devi prendere i valori assoluti delle differenze.
---------
ci siamo accavallati di nuovo! Stavo rispondendo al post errato di prima...
Comunque è così, si può fare anche come hai detto tu. mi spiego la differenza con arrotondamenti diversi, sempre che i valori siano esatti.
da 0 a 1s , hai $22.14$.
Da1 a 2s, hai $(40.07-22.14)$
Da 2 a 3s, hai $(50.37 - 40.07)$
....e cosí via. Però devi fare attenzione a calcolare la giusta differenza, quando i valori cominciano a decrescere e diventano negativi. Devi prendere i valori assoluti delle differenze.
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ci siamo accavallati di nuovo! Stavo rispondendo al post errato di prima...
Comunque è così, si può fare anche come hai detto tu. mi spiego la differenza con arrotondamenti diversi, sempre che i valori siano esatti.
Nel modo in cui mi hai detto tu, non ci sto riuscendo, starò sbagliando qualcosa , il mio ragionamento è il seguente.....
Dal grafico che sale fino al punto $4$ ho un valore positivo $ +x $
Dal punto $4$ al punto $10$ ho un valore negativo $ -x $ , questo perchè si nota dal grafico, un cambiamento di direzione verso il basso.
Essendoci due direzioni, allora faccio la somma di questi valori corrispondenti:
$ (+x_1) + (-x_2)= +x_1 -x_2 $
Ma essendo $ x_2 = -49.48 $ allora sarà:
$ (51.07mm)-(-49.48mm) = 100.55mm $
Adesso posso pensare che all'inizio, ha percorso $ 51.07mm $ e poi da questo punto va giù fino al punto $ -49.48mm $, allora si somma lo spostamento con la prima direzione $ 51.07mm $ allo spostamento della seconda direzione $ 100.55mm$, segue $ 151.62mm $ .
, il mio ragionamento è il seguente..... Dal grafico che sale fino al punto $4$ ho un valore positivo $ +x $
Dal punto $4$ al punto $10$ ho un valore negativo $ -x $ , questo perchè si nota dal grafico, un cambiamento di direzione verso il basso.
Essendoci due direzioni, allora faccio la somma di questi valori corrispondenti:
$ (+x_1) + (-x_2)= +x_1 -x_2 $
Ma essendo $ x_2 = -49.48 $ allora sarà:
$ (51.07mm)-(-49.48mm) = 100.55mm $
Adesso posso pensare che all'inizio, ha percorso $ 51.07mm $ e poi da questo punto va giù fino al punto $ -49.48mm $, allora si somma lo spostamento con la prima direzione $ 51.07mm $ allo spostamento della seconda direzione $ 100.55mm$, segue $ 151.62mm $ .
Va bene, come hai fatto tu si fa anche più presto.
"navigatore":
Va bene, come hai fatto tu si fa anche più presto.
Perfetto
Esercizio 3
Sto risolvendo il seguente esercizio:
Ho risolto il punto a), ma non sono sicuro del risultato che mi da il testo, perchè io ottengo un valore ma non so se è una questione di arrotondamenti......
$ 1 mi = 1609.344 m $
$ 1 mi : 1609.344 m = 10^8 mi : x $
$ x= 1.609*10^(11) m $
Quindi so che:
$ 10^8 mi = 1.609*10^(11) m $ (distanza Terra-Sole)
Il tempo che impiega la luce a raggiungere la Terra, è:
$ 3*10^8 m : 1s = 1.609*10^(11) m : x $
$ x= 536.448 s $ (tempo impiegato)
Perchè il testo mi dice che ci mette $ 500 s $
Punto b) ok!
$ 1 min. l. = 1.7987*10^(10)m $
$ 1 min. l. : 1.7987*10^(10)m = x : 1.609*10^(11) m $
$ x= 8.945 min. l. $ che arrotondato va bene anche $ x= 9 min. l. $
E questo va bene arrotondando, ma non so se faccio bene a mettere i valori con più precisione! Insomma, dite che in un compito di esame, può essere meglio lavorando più precisi, oppure arrotondando
Sto risolvendo il seguente esercizio:
Ho risolto il punto a), ma non sono sicuro del risultato che mi da il testo, perchè io ottengo un valore ma non so se è una questione di arrotondamenti......
$ 1 mi = 1609.344 m $
$ 1 mi : 1609.344 m = 10^8 mi : x $
$ x= 1.609*10^(11) m $
Quindi so che:
$ 10^8 mi = 1.609*10^(11) m $ (distanza Terra-Sole)
Il tempo che impiega la luce a raggiungere la Terra, è:
$ 3*10^8 m : 1s = 1.609*10^(11) m : x $
$ x= 536.448 s $ (tempo impiegato)
Perchè il testo mi dice che ci mette $ 500 s $
Punto b) ok!
$ 1 min. l. = 1.7987*10^(10)m $
$ 1 min. l. : 1.7987*10^(10)m = x : 1.609*10^(11) m $
$ x= 8.945 min. l. $ che arrotondato va bene anche $ x= 9 min. l. $
E questo va bene arrotondando, ma non so se faccio bene a mettere i valori con più precisione! Insomma, dite che in un compito di esame, può essere meglio lavorando più precisi, oppure arrotondando
Esercizio 4
L'esercizio che segue, mi sembra banale, non è difficile da risolvere, ma solo che non sto capendo totalmente ciò che vuole nel punto b)! Dunque:
Punto a)
$ 340 m : 1s = x : 6s $
$ x= 2040 m $ (distanza percorsa in $ 6s $ dal suono, coincide con la distanza del temporale).
Punto b)
Cosa vuole il punto b)
Dite che ho fatto bene per il punto a)
L'esercizio che segue, mi sembra banale, non è difficile da risolvere, ma solo che non sto capendo totalmente ciò che vuole nel punto b)! Dunque:
Punto a)
$ 340 m : 1s = x : 6s $
$ x= 2040 m $ (distanza percorsa in $ 6s $ dal suono, coincide con la distanza del temporale).
Punto b)
Cosa vuole il punto b)
Dite che ho fatto bene per il punto a)
Esercizio 5
Anche con questo mi sto impallando!
Se la velocità del suono è $ 340 m/s $ , mi viene spontaneo calcolare in questo modo:
$ 340 m : 1s = x : 0.50 s $
$ x = 170 m $
Perchè il testo mi dice che la distanza è $ 200 m $
Anche con questo mi sto impallando!
Se la velocità del suono è $ 340 m/s $ , mi viene spontaneo calcolare in questo modo:
$ 340 m : 1s = x : 0.50 s $
$ x = 170 m $
Perchè il testo mi dice che la distanza è $ 200 m $
"Bad90":
Esercizio 3
Sto risolvendo il seguente esercizio:...............
$ x= 536.448 s $ (tempo impiegato)
Perchè il testo mi dice che ci mette $ 500 s $
Il tuo calcolo è giusto, assumendo che $1mi = 1609.344 m$ . Il libro ti dà $500s$, perché evidentemente assume :
$ 1mi = 1500 m$.
E infatti, normalmente si considera la distanza media Terra-Sole pari a $150*10^6 km = 150*10^9m$ . Dividendo questo valore per $3*10^8m/s$, si ottiene $500s$ .
Punto b) ok!
$ 1 min. l. = 1.7987*10^(10)m $
$ 1 min. l. : 1.7987*10^(10)m = x : 1.609*10^(11) m $
$ x= 8.945 min. l. $ che arrotondato va bene anche $ x= 9 min. l. $
E questo va bene arrotondando, ma non so se faccio bene a mettere i valori con più precisione! Insomma, dite che in un compito di esame, può essere meglio lavorando più precisi, oppure arrotondando
Fai meglio Bad. Siccome $c = 3*10^8 m/s$, e $1min = 60s$, è evidente che in $1min$ la luce percorre 60 volte la distanza che percorre in $1s$ .Perciò la velocità in m/min sarà : $ c = 60*3*10^8 m/(min) = 180*10^8 m/(min)$
Dunque in 1min la luce percorre $180*10^8m$.
Essendo la distanza pari a $150*10^9m$ , il rapporto : $(150*10^9m)/(180*10^8 m/(min)) = 8.333... min$
E questo numero, se ci pensi, ce l'avevi già : hai trovato prima che il tempo di viaggio è di $500s$ , che trasformato in minuti dà : $ (500)/(60) min = 8.333... min$
Se vuoi usare il miglio come definito prima, i numeri che hai calcolato sono giusti.
E metti i valori precisi nel compito, magari incontri un prof a cui non piacciono gli arrotondamenti.
Esercizio 4 : l punto a) va bene, significa che il temporale è lontano tanto quanto la distanza percorsa dal tuono.
Il punto b) ....vorrei averlo capito! Posso immaginare questo: siccome la luce ha una velocità finita di $3*10^8m/s$, ci vorrebbero 8 cifre significative per trovare una differenza sul metro....ma che domanda malposta! Lasciala perdere!
Il punto b) ....vorrei averlo capito! Posso immaginare questo: siccome la luce ha una velocità finita di $3*10^8m/s$, ci vorrebbero 8 cifre significative per trovare una differenza sul metro....ma che domanda malposta! Lasciala perdere!
"navigatore":
ma che domanda malposta! Lasciala perdere!
Ok, lascio stare
Ti ringrazio!
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