Esercizi sulla Cinematica

[Bad90]

Esercizio 1

Si costruisce il grafico di $ x $ in funzione del tempo e si determinano i valori delle $x$ in ogni tempo $t$.

Per il tempo t iniziale t=0, quindi dalla formula data dalla traccia, si sostituisce il valore della t che si vuole prendere in considerazione e si determina il calcolo della x, nel seguente modo:

$t_i = 0s $
$x(t)_0 = 74m – (14m/s) *0 s = 74m $

$t_1 = 1s$
$x(t)_1 = 74m – (14m/s) *1 s = 60m $


$t_2 = 2s $
$x(t)_2 = 74m – (14m/s) *2 s = 46m $

$t_3 = 3s $
$x(t)_3 = 74m – (14m/s) *3 s = 32m $

$t_4 = 4s $
$x(t)_4 = 74m – (14m/s) *4 s = 18m $

$t_5 = 5s $
$x(t)_5 = 74m – (14m/s) *5 s = 4m $

$t_6 = 6s $
$x(t)_6 = 74m – (14m/s) *6 s = -10m $

[Bad90]

"navigatore":Certo. Ed ha modulo costante. Perciò il moto di caduta di un grave è il più classico esempio di moto uniformemente accelerato. Naturalmente si prescinde da ogni resistenza dell'aria. Ma qui siamo in Cinematica, per ora.

Ho solo un dubbio in un calcolo....
Se ho la formula della $ y(t) $ che è:

$ y(t)= y_0 + v_(y0t) - 1/2g t^2 $

Quando vado a fare i calcoli, es. quelli per il punto 1 che svolto quì:

1) $ t_1 = 0.5s; y(t)_1=-1.22; v_(y1)=4.90m/s; a_(y1) = -9.81m/s^2 $

L'accelerazione risultante sarà sempre negativa, vero? Mi spiego, se ho la seguente formula con i relativi valori:

$ y(t)= 0 + 0 - 1/2g t^2 $

$ y(t)= - 1/2(-9.81m/s^2)*(0.5s)^2 $

La $ y(t) $ sarà positiva o negativa Cioè sarà $ y(t) = -1.22 m$ oppure $ y(t) = 1.22 m$, o meglio nella formula

$ y(t)= - 1/2(-9.81m/s^2)*(0.5s)^2 $

va messo $ -9.81m/s^2 $ oppure $ 9.81m/s^2 $, o bisogna considerare il suo valore di partenza dato dalla formula in questo modo:

$ ....-1/2*(-9.81m/s^2)=+1.22m/s^2 $

Anche se secondo me sarà sempre negativa in quanto il suo versore ha verso opposto al modulo dell'accelerazione e quindi penso si deve considerare in questo modo:

$ y(t)= - 1/2(9.81m/s^2)*(0.5s)^2 = -1.22 $

Giusto

[Sk_Anonymous]

"Bad90":.....
Ho solo un dubbio in un calcolo....
Se ho la formula della $ y(t) $ che è:

$ y(t)= y_0 + v_(y0t) - 1/2g t^2 $

Quando vado a fare i calcoli, es. quelli per il punto 1 che svolto quì:

1) $ t_1 = 0.5s; y(t)_1=-1.22; v_(y1)=4.90m/s; a_(y1) = -9.81m/s^2 $

L'accelerazione risultante sarà sempre negativa, vero? Mi spiego, se ho la seguente formula con i relativi valori:

$ y(t)= 0 + 0 - 1/2g t^2 $

$ y(t)= - 1/2(-9.81m/s^2)*(0.5s)^2 $

Avendo orientato l'asse $y$ positivo verso l'alto, l'accelerazione, la velocità e lo spazio sono sempre negativi, nel senso che le loro componenti ( una componente ha valore e segno!) sono negative. I moduli sono invece valori assoluti.
Quindi, per esempio, la $v_(y1)$ come componente è negativa, non positiva.
Fai attenzione, spesso ci si confonde tra il segno di una componente e il segno di una operazione algebrica. E infatti ti sei confuso nell'ultima formula, hai ripetuto due volte il segno $-$ .
O lo attribuisci alla componente della accelerazione di gravità, oppure metti il valore assoluto della accelerazione e metti il segno $-$ fuori. Come hai scritto, viene fuori che la $y$ è positiva.

[Bad90]

Perfetto, ho eliminato questi dubbi

[Sk_Anonymous]

Bad, vorrei pregarti di un favore. Dammi il tempo di rispondere e pubblicare la risposta, altrimenti ci accavalliamo, e io rispondo solo a una parte dei quesiti, poi vedo che spesso modifichi tu stesso delle cose di cui ti accorgi. Io non sto sempre incollato al computer. E infatti, hai modificato il post a cui ho risposto, facendo le giuste riflessioni come ti ho detto io.
D'accordo su quello che hai detto, confrontalo col mio post.

Per stasera devo chiudere.

[Bad90]

"navigatore":Per stasera devo chiudere.

Ok, starò più attento, ti chiedo scusa se modifico e faccio un pò di caos, hai pienamente ragione
Per il resto ti ringrazio vivamente anche per questa sera, adesso metto apposto le ultime cose e poi stacco anche io

Hai un cuore grande, ti ringrazio e lo faccio anche a nome di tutti coloro che leggono le tue risposte e per tutti gli aiuti che mi dai e che nello stesso tempo dai a tutti coloro che sono interessati a questi thread!

Sei una persona che merita un grande rispetto per la grande bontà che hai nell'animo

Grazie, grazie e grazie!

[Bad90]

Ecco la tabella con i calcoli, spero che siano leggibili:

[Bad90]

Esercizio 20

Risoluzione punto a)

Penso che per il primo punto mi servono le due equazioni che seguono:

$ v_y (t) = v_(y0) - g*t $

$ y(t) = y_0 + v_(yo) *t - 1/2g*t^2 $

Cosa ne dite Si ridurranno a queste:

$ t = (v_y)/(g) $

$ y_0 + 1/2g t^2=0 $

Sostituendo il tempo nell'ultima equazione, avrò:

$ y_0 + 1/2g ((v_y)/(g) )^2=0 $

$ v_y ^2 = 2*g * y_0 $

Con i valori numerici avrò:

$ v_y ^2 = 2*(-9.81m/s^2) * (6.5m) = 11.30 m/s $

Risoluzione punto b)

Utilizzo la seguente con il valore della velocità già calcolato:

$ t = (v_y)/(g) $

$ t = (-11.30 m/s )/(-9.81m/s^2)= 1.15 s$

Risoluzione punto c)

Dalla seguente:

$ y(t) = y_0 + v_(yo) *t - 1/2g*t^2 $

avrò:

$ y(t) = y_0 - 1/2g*t^2 $

$ y(t) = (6.5m) + (1/2*(-9.81m/s^2))*(0.50s)^2 $

$ y(t) = 5.27 m $

Risoluzione punto d)

$ v_y (t) = - g*t $

$ v_y (t) = - 9.81m/s^2 * (0.50s)=-4.90 m/s$

$ |vec(v_y)|=sqrt((-4.90 m/s)^2)=4.90m/s $

Risoluzione punto e)

Per questo punto mi viene spontaneo dire che non bisogna nemmeno fare calcoli, perchè si tratta di avere una $ g=-9.81 m/s^2 $ , ma se voglio fare i calcoli, allora avrò:

$ g=(- 4.90 m/s)/(0.50s) = -9.8 m/s^2 $

Dite che l'esercizio è svolto bene

[Bad90]

Nei corpi in caduta libera, mi sto incasinando con i segni nelle formule
Allora, se io lancio una palla in alto da una certa altezza , es. $ y_0 = 1.8m $, ho il versore e l'origine per terra, quindi la mia $ y_t = 0 $ quanto il corpo arriverà per terra, ok, ma se la palla viene lanciata con una velocità di $ v_0 =12m/s $, mi sembra ovvio che se ricavo il tempo del momento in cui raggiungerà la sua altezza massima, si utilizzerà la seguente formula:

$ t_m = (v_0)/(g) $

Bene, ma il valore del tempo mi viene fuori negativo se faccio così:

$ t_m = (12m7s)/(-9.81m/s^2)=-1.2s $

Ma come può essere Mi sembra giusto che sia invece un valore positivo $ t_m=1.2s $ ma come devo fare per ottenere il valore giustamente positivo

Oppure se la direzione è opposta alla caduta verso terra, si da il valore positivo a $ g $

[Bad90]

Esercizio 21

Sto avendo un po di incertezze nel seguente:

Ho pensato che per risolvere il punto a), bisogna utilizzare la seguente equazione:

$ v_y ^2 = v_(y0) - 2g(y_0 -y_t) $

[Sk_Anonymous]

Es 19 : la tabella è corretta. La leggo male, ma mi sembra che i numeri vadano bene.

Es 20 : c'è un po' di casino nella soluzione. Innanzitutto non ti chiede componenti con segno, ti chiede solo moduli, per cui non devi preoccuparti di orientare assi. Ma se proprio vuoi, orienta l'asse verticale verso il basso, così sei sicuro che tutti i valori risultano positivi. Non sei obbligato a orientare l'asse verso l'alto.

Comincio dal fondo :
e) giustissimo, non sei caduto nel tranello, l'accelerazione è sempre $g$. Non devi fare alcun calcolo
d) $v = g*t = 9.81m/s^2*0.5s = 4.905 m/s$
c) $s = 1/2*g*t^2 = 1.2262 m$
b) dalla formula che ho scritto sopra, risolvendola rispetto a $t$ hai : $t = sqrt((2s)/g ) = 1.1245 s$
a) dalle formule $ s = 1/2*g*t^2 $ e $ v=g*t$ , ricavi il tempo $t$ dalla seconda e lo metti nella prima.
Ottieni quindi : $ v^2 = 2gs$ , da cui : $v =sqrt(2gs) = 11.03 m/s$

Quest'ultima formula, la velocita finale di un corpo in caduta libera da una certa altezza $s$, ti consiglio di impararla a memoria. Capita sempre tra i piedi!

[Sk_Anonymous]

"Bad90":Nei corpi in caduta libera, mi sto incasinando con i segni nelle formule
Allora, se io lancio una palla in alto da una certa altezza , es. $ y_0 = 1.8m $, ho il versore e l'origine per terra, quindi la mia $ y_t = 0 $ quanto il corpo arriverà per terra, ok, ma se la palla viene lanciata con una velocità di $ v_0 =12m/s $, mi sembra ovvio che se ricavo il tempo del momento in cui raggiungerà la sua altezza massima, si utilizzerà la seguente formula:

$ t_m = (v_0)/(g) $

Bene, ma il valore del tempo mi viene fuori negativo se faccio così:

$ t_m = (12m7s)/(-9.81m/s^2)=-1.2s $

Ma come può essere Mi sembra giusto che sia invece un valore positivo $ t_m=1.2s $ ma come devo fare per ottenere il valore giustamente positivo

Oppure se la direzione è opposta alla caduta verso terra, si da il valore positivo a $ g $

Se orienti l'asse verticale verso l'alto, il vettore velocità è concorde all'asse quindi ha componente positiva, mentre il moto è unif. decelerato, quindi la velocità diminuisce fino ad annullarsi. Il vettore $vecg$ è diretto in basso, quando lo proietti sull'asse la componente è $-g$ . PErciò la velocità scalare varia con legge: $ v = v_0 - g*t$ e il corpo si ferma quando la velocità si azzera, dunque l'istante di arresto è dato da : $ 0 = v_0 -g*t$ , cioè : $ t = v_0/g$ come hai detto tu.

[Bad90]

"navigatore":

Es 20 : c'è un po' di casino nella soluzione. Innanzitutto non ti chiede componenti con segno, ti chiede solo moduli, per cui non devi preoccuparti di orientare assi. Ma se proprio vuoi, orienta l'asse verticale verso il basso, così sei sicuro che tutti i valori risultano positivi. Non sei obbligato a orientare l'asse verso l'alto.

Insomma, per il punto a), i segni vengono trattati in questo modo

Risoluzione punto a)

Penso che per il primo punto mi servono le due equazioni che seguono:

$ v_y (t) = v_(y0) - g*t $

$ v_y (t) = v_(y0) - (-g)*t $

$ v_y (t) = v_(y0) + g*t$

$ y(t) = y_0 + v_(yo) *t - (-1/2g*t^2) $

$ y(t) = y_0 + v_(yo) *t +1/2g*t^2 $

Si ridurranno a queste:

$ t = (v_y)/(g) $

$ y_t=1/2g t^2$ (lo chiamo spostamento)

Sostituendo il tempo nell'ultima equazione, avrò:

$ s=1/2g ((v_y)/(g))^2$

$ v_y ^2 = 2*g * s $

$ v_y = sqrt(2*g * s) $

Con i valori numerici avrò:

$ v_y = sqrt(2*(9.81m/s^2) * (6.5m) )= 11.30 m/s $

[Sk_Anonymous]

"Bad90":Esercizio 21

Sto avendo un po di incertezze nel seguente:

Ho pensato che per risolvere il punto a), bisogna utilizzare la seguente equazione:

$ v_y ^2 = v_(y0) - 2g(y_0 -y_t) $

Sono sempre le solite equazioni da applicare :

$ v = v_0 - g*t$

$s = v_0t -1/2*g*t^2$.

Alla max altezza il sasso si arresta cioè la velocità si annulla.
Perciò si ricava dalla prima : $ t = v_0/g$ e la si sostituisce nella seconda, perché il tempo per ora non lo sai. Dopo pochi passaggi ricavi : $ v_0 = sqrt(2gs)$, come nella caduta libera, però ora $v_0$ è la velocità iniziale che deve avere il sasso per arrivare all'altezza data $s = 14m$.
Il tempo di salita dato da $v_0/g$ è uguale al tempo di caduta dalla quota max a $y=0$

[Bad90]

Ok, ti ringrazio, adesso sto correggendo sui miei appunti tutti gli errori che ho fatto

[Bad90]

Ho iniziato oggi a studiare la Cinematica del punto materiale in due dimensioni e i moti relativi, mi sembra che sia lo stesso della cinematica in una dimensione, le stesse formule, lo stesso modo di operare, solo con un asse in più, cioè si trattano $ x,y $ !
Mi sembra anche che riuscirò a completare questo argomento in meno tempo del precedente, in quanto i concetti li ho compresi, bisognerà solo prendere confidenza con le due dimensioni contemporaneamente!

[Bad90]

Voglio capire meglio come comportarmi con i segni nelle formule in cui compare la forza di gravita'...
Se ho la seguente firmula:

$ s=1/2 g*t^2 $

Cosa e' che ti fa dire il segno della $ g $
Insomma la formula di partenza e':

$ y(t)=y_0 + v_(x0)t - 1/2g*t^2 $

Io qui' vedo un meno avanti a $ - 1/2g*t^2 $ cosa e' che mi fa decidere il suo segno negli esercizi??????

[Sk_Anonymous]

"Bad90":Voglio capire meglio come comportarmi con i segni nelle formule in cui compare la forza di gravita'...
Se ho la seguente firmula:

$ s=1/2 g*t^2 $

Cosa e' che ti fa dire il segno della $ g $
Insomma la formula di partenza e':

$ y(t)=y_0 + v_(x0)t - 1/2g*t^2 $

Io qui' vedo un meno avanti a $ - 1/2g*t^2 $ cosa e' che mi fa decidere il suo segno negli esercizi??????

Cerco di fare chiarezza.
Innanzitutto, ogni vettore ha un modulo, che è un numero reale positivo il quale indica la grandezza del vettore rispetto ad una data unità di misura. Non esistono moduli negativi, chiaro?

Quando scrivi un vettore come questo : $ vecg$, il suo modulo è uguale, in prossimità della Terra, a : $ g = 9.81m/s^2$. In quanto al verso, non puoi sbagliare: è sempre diretto verso il basso. Il verso di un vettore non dipende dal sistema di assi cartesiani a cui vogliamo riferire il vettore. Ne avevamo già discusso, mi sembra, ed era intervenuto pure qualche altro amico a dare i suoi chiarimenti.

Adesso devo parlarti della componente di un vettore rispetto ad un certo asse.
Se non hai studiato il prodotto scalare tra vettori, te lo accenno, perché serve. Naturalmente chiedo scusa a matematici e fisici perché non sarò molto rigoroso, mi serve solo per far capire l'essenziale al nostro amico.
Dati due vettori $vecA$ e $vecB$ , il loro prodotto scalare $vecA*vecB$ è un numero, positivo nullo o negativo, che si calcola così : $ vecA*vecB = A*B*cos\alpha$ . Cioe si moltiplicano tra loro i moduli e si moltiplica ancora per il coseno dell'angolo compreso tra i vettori.
Quando l'angolo $\alpha$ è acuto, $cos\alpha > 0$. Quando $\alpha = 90º$ , si ha $cos\alpha = 0$ . Quando l'angolo è ottuso, $cos\alpha < 0 $ . chiaro fin qui?

Allora, dato un asse orientato qualsiasi, con un versore $vecj$ , si dice "componente del vettore $vecA$ sull'asse" il prodotto scalare $vecA*vecj = A*cos\alpha$ ( il modulo del versore $vecj$ vale 1) . Ci sei?

Torniamo al vettore $vecg$. Se orienti l'asse $y$ col versore $vecj$ verso l'alto, hai che l'angolo tra $vecj$ e $vecg$ è $180º$, per cui $ cos 180º = -1$. Perciò, la componente di $vecg$ (che è orientato verso il basso) sull'ase $y$ orientato verso l'alto sarà : $ vecg*vecj = -g$.
Ecco svelato il motivo del segno $-$. Quando lanci un corpo con una velocità iniziale $vecv_0$ verso l'alto, la velocità diminuisce col tempo, poiché la $vecg$ è orientata in basso. Se scrivi la relazione vettoriale :

$vecv = vecv_0 + vecg*t$

e poi la vai a proiettare sull'ase $y$ , moltiplicando scalarmente per $vecj$ tutti i termini, ottieni questa relazione tra le componenti : $ v = v_0 - g*t$ . Compare il $-$ per i motivi che ti ho spiegato prima. Perciò il moto è uniformemente decelerato, in quanto la velocità diminuisce col tempo, fino ad annullarsi nel punto più alto della traiettoria.

Lo so che queste non sono cose facili da digerire subito. Ma è meno difficile di quello che sembra. Ci si imbroglia all'inizio tra moduli, componenti, orientamento dei vettori, orientamento dell'asse...Però con un po' di pratica ci prendi la mano.
È molto più difficile per me scrivere bene per farti capire, che per te comprendere, credimi.

E se proprio vuoi semplificarti il lavoro, fa un disegno. Metti l'asse orientato verso l'alto. Metti il vettore $vecg$ orientato verso il basso. Poi sappi che un corpo lanciato verso l'alto rallenta, perciò la sua velocità deve diminuire fino a zero. Invece un corpo fatto cadere liberamente o lanciato verso il basso accelera, quindi la sua velocità aumenta.

E lo spazio? In un moto uniformemente vario qualsiasi, la scrittura : $ s = 1/2*a*t^2$ vuol dire che il corpo sta aumentando la velocità : $ v = a*t$ . Se invece trovi : $s = v_0t - 1/2*a*t^2$ il corpo sta decelerando, e la velocità è : $v = v_0 -at$.
Con $g$ succede la stessa cosa. Spero di essermi fatto capire.

Ti dò un consiglio: quando affronti esercizi del genere, cerca di capire prima la fisica che sta dietro l'esercizio, e poi le formule da adoperare. La maggior parte degli studenti ha il giusto terrore delle formule e dei segni, ma se pensasse al fatto fisico che viene fuori dalla loro esperienza diretta sbaglierebbero meno.

Insomma,santo cielo : ma se scagli una pietra in verticale verso l'alto,cioè le dai una velocità iniziale $vecv_0$, che succede? La vedi che sale, si ferma e poi ricade? E questo succede pure negli esercizi! E se dal balcone fai cadere un oggetto in strada, con o senza velocità iniziale, lo vedi che l'oggetto accelera fino a urtare violentemente la strada? E questo succede anche negli esercizi!
Tra un po' comincerai a fare esercizi sul moto dei proiettili, che avviene in due dimensioni. Bè, hai mai dato un calcio ad un pallone? descrive una traiettoria parabolica, sale e poi scende, E questo succede pure negli esercizi!

Quindi, occhio: prima la fisica, poi le formule. Non farti fregare dai segni!

[Bad90]

Ho compreso il concetto , avro' le comferme quanto ricomincio a fare esercizi inerenti al capitolo che sto studiando, vi e' anche il moto del proiettile! Tra un paio di giorni finiro' la teoria, poi mi lancio a fare esercizi, questo e' il quarto capitolo del mio testo, ma penso che entro' una decina di giorni saro' sazio di questo e passero al successivo! Piu' studio questi argomenti e piu' la mia passione in questa materia aumenta!

[ansawo]

ogni tanto leggo con gusto questa argomento...non è per niente facile essere chiari, e dare un certo rigore, necessario per non fare confusione quando le cose si complicano. se riesci a a far tuo un certo linguaggio, modo di pensiero e uso di strumenti matematici (per prendere un esempio da poco prima il prodotto scalare), dopo davvero te li ritrovi. per quanto possa essere difficile,o possa sembrare quasi scontato a volte cerca di farci occhio a quelle cose che navigatore ti fa notare

[Bad90]

Lo so, navigatore e' la mia guida , grazie a lui sto riuscendo a venire a capo degli argomenti che sto studiando! E' veramente bravo a farmi capire i concetti!