Esercizi sulla Cinematica
Esercizio 1
Si costruisce il grafico di $ x $ in funzione del tempo e si determinano i valori delle $x$ in ogni tempo $t$.
Per il tempo t iniziale t=0, quindi dalla formula data dalla traccia, si sostituisce il valore della t che si vuole prendere in considerazione e si determina il calcolo della x, nel seguente modo:
$t_i = 0s $
$x(t)_0 = 74m – (14m/s) *0 s = 74m $
$t_1 = 1s$
$x(t)_1 = 74m – (14m/s) *1 s = 60m $
$t_2 = 2s $
$x(t)_2 = 74m – (14m/s) *2 s = 46m $
$t_3 = 3s $
$x(t)_3 = 74m – (14m/s) *3 s = 32m $
$t_4 = 4s $
$x(t)_4 = 74m – (14m/s) *4 s = 18m $
$t_5 = 5s $
$x(t)_5 = 74m – (14m/s) *5 s = 4m $
$t_6 = 6s $
$x(t)_6 = 74m – (14m/s) *6 s = -10m $
Si costruisce il grafico di $ x $ in funzione del tempo e si determinano i valori delle $x$ in ogni tempo $t$.
Per il tempo t iniziale t=0, quindi dalla formula data dalla traccia, si sostituisce il valore della t che si vuole prendere in considerazione e si determina il calcolo della x, nel seguente modo:
$t_i = 0s $
$x(t)_0 = 74m – (14m/s) *0 s = 74m $
$t_1 = 1s$
$x(t)_1 = 74m – (14m/s) *1 s = 60m $
$t_2 = 2s $
$x(t)_2 = 74m – (14m/s) *2 s = 46m $
$t_3 = 3s $
$x(t)_3 = 74m – (14m/s) *3 s = 32m $
$t_4 = 4s $
$x(t)_4 = 74m – (14m/s) *4 s = 18m $
$t_5 = 5s $
$x(t)_5 = 74m – (14m/s) *5 s = 4m $
$t_6 = 6s $
$x(t)_6 = 74m – (14m/s) *6 s = -10m $
Risposte
Che cosa sai sulle funzioni reali di variabile reale?
Non importa, non intendo complicarti la vita.
Una funzione si può dare : 1) con una espressione analitica (del tipo $x(t) = m*t + n*t^2$ , per esempio) ; oppure 2) con un grafico; oppure 3) con una tabella di valori.
Nel tuo caso, devi costruirti una tabella di valori, determinando dalla foto gli istanti di tempo e le ascisse corrispondenti della sfera.
Non importa, non intendo complicarti la vita.
Una funzione si può dare : 1) con una espressione analitica (del tipo $x(t) = m*t + n*t^2$ , per esempio) ; oppure 2) con un grafico; oppure 3) con una tabella di valori.
Nel tuo caso, devi costruirti una tabella di valori, determinando dalla foto gli istanti di tempo e le ascisse corrispondenti della sfera.
Ho fatto il grafico e la tabella!
$ t_0s = 0------>x_0 =0m $
$ t_1= 0.10s = 0-->x_1 =0.016m $
$ t_2= 0.20s = 0-->x_2 =0.032m $
..........................................
..........................................
Ok, poi cosa devo fare
$ t_0s = 0------>x_0 =0m $
$ t_1= 0.10s = 0-->x_1 =0.016m $
$ t_2= 0.20s = 0-->x_2 =0.032m $
..........................................
..........................................
Ok, poi cosa devo fare
E poi fai un grafico, su un piano cartesiano, con quei dati di tabella! Se i punti sono allineati, si tratta di una funzione lineare, una retta. Dati dei punti di una retta, sai come se ne trova l'equazione?
Se invece i punti non sono allineati ma distribuiti diversamente, non è una retta. Ma diventa più difficile trovare l'espressione analitica.
Per esempio, se i punti fossero distribuiti a caso ( ma qui non è!) , non sarebbe neanche possibile ricavare una esatta espressione analitica.
Diventano questioni complesse, Bad, in cui non è il caso di addentrarsi. E non saprei neppure farlo.
Se invece i punti non sono allineati ma distribuiti diversamente, non è una retta. Ma diventa più difficile trovare l'espressione analitica.
Per esempio, se i punti fossero distribuiti a caso ( ma qui non è!) , non sarebbe neanche possibile ricavare una esatta espressione analitica.
Diventano questioni complesse, Bad, in cui non è il caso di addentrarsi. E non saprei neppure farlo.
"navigatore":
E poi fai un grafico, su un piano cartesiano, con quei dati di tabella! Se i punti sono allineati, si tratta di una funzione lineare, una retta. Dati dei punti di una retta, sai come se ne trova l'equazione?
Se invece i punti non sono allineati ma distribuiti diversamente, non è una retta. Ma diventa più difficile trovare l'espressione analitica.
Per esempio, se i punti fossero distribuiti a caso ( ma qui non è!) , non sarebbe neanche possibile ricavare una esatta espressione analitica.
Diventano questioni complesse, Bad, in cui non è il caso di addentrarsi. E non saprei neppure farlo.
Ecco forse ci sono arrivato:
$ t_0s = 0------>x_0 =0m$
$ t_1= 0.10s = 0-->x_1 =0.016m--->v_(x1) = 0.16m/s $
$ t_2= 0.20s = 0-->x_2 =0.032m--->v_(x2) = 0.16m/s$
Allora:
$ x(t)_1 = x_1 + v_(x1)*(t_f - t_i) $
Per $ t_1 $ sarà:
$ x(t)_1 = 0.016m + (0.16m/s)*[(0.10s - 0s)] $
$ x(t)_1 = 0.016m + (0.16m/s)*(0.10s ) $
$ x(t)_1 = 0.016m + (0.16m/s)*(0.10s ) = 0.03 m$
E poi non so come continuare, e non so nemmeno se è corretto
Potreste indirizzarmi su qualche appunto da studiare
Sarà banale, ma non so come impostare l'equazione, anche se so impostare una tabella! Poi non posso far fede alla mio testo in quanto i risultati e le misure non si troveranno mai con le mie, in quanto vengono utilizzati altre unita di misura Vorrei solo sapere come si imposta la tabella che in questo caso ti porta all'equazione di $ x(t) $ Help
Bad, una retta nel piano cartesiano ha equazione generale :
$ y = mx +n$ -----(1)
( questa forma, se ricordo bene, si dice esplicita).
I numeri $m$ ed $n$ sono rispettivamente il "coefficiente angolare" e " l'intercetta all'origine" .
Se sono noti due punti della retta: $ A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$, li puoi utilizzare per trovare i valori di $m$ ed $n$.
Basta sostituire nell'equazione (1) ciascuna coppia di coordinate di A e B, e risolvere il sistema di due equazioni nelle due incognite $m$ ed $n$ .
E' chiaro? Se poi cerchi "equazione della retta" in Wikipedia, trovi quanta roba vuoi.
Hai studiato un po' di Geometria analitica?
$ y = mx +n$ -----(1)
( questa forma, se ricordo bene, si dice esplicita).
I numeri $m$ ed $n$ sono rispettivamente il "coefficiente angolare" e " l'intercetta all'origine" .
Se sono noti due punti della retta: $ A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$, li puoi utilizzare per trovare i valori di $m$ ed $n$.
Basta sostituire nell'equazione (1) ciascuna coppia di coordinate di A e B, e risolvere il sistema di due equazioni nelle due incognite $m$ ed $n$ .
E' chiaro? Se poi cerchi "equazione della retta" in Wikipedia, trovi quanta roba vuoi.
Hai studiato un po' di Geometria analitica?
"navigatore":
Hai studiato un po' di Geometria analitica?
E si
Tutta quest'estate ho studiato geometria analitica!
Adesso provo a trarre la conclusione, anche perchè sto utilizzando della carta millimetrata per rilevare le misure corrette, sai il mio libro a dei risultati in metri e le immagini in pollici
Ecco il grafico in scala reale:
Correggimi se sbaglio!
$ y=mx+q $
dove $ m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) $
La quantità della traslazione $ q $, come si può considerare se ho un punto di partenza della retta che è dato da due coordinate P(0.10,0.02)
Insomma a quanto equivale l'intercetta $ q $
Insomma, questo è il grafico della retta e mi sono anche ricavato l'inclinazione della retta, che è la velocita m/s, che è $ y=0.2 m/s$ , mediante due punti $ P_1 $ e $ P_2 $,
I conti tornato, ma alla fine il testo di fisica mi da come risultato una equazione del tipo:
$ x(t) = 0.03m +(1.3m/s)*t$
In sostanza il tutto si può determinare a partire dalla $ y=mx+q $ io mi sono ricavato la $ y=mx $ ma la traslazione che è la quantità $ q $, come posso ricavarla
Se non ricordo male la $ q $ è il valore dell'ordinata $ y $, che nel mio caso è da dove comincia a muoversi il corpo che è proprio 0.002m, quindi vuol dire che l'equazione potrebbe scriversi così?
$ y=0.2 m/s + 0.002m$
Ovviamente il testo è Anglosassone e i risultati non sono precisamente uguali a quelli miei anche perchè il testo mi dice di lavorare su una foto del testo, quindi il testo mi da questo $ x(t) = 0.03m +(1.3m/s)*t$ mentre io ho ottenuto questo $ y=(0.2 m/s)t + 0.002m$ , non mi interessano che i numeri siano corretti, l'importante che i miei numeri sulla quale ho lavorato siano corretti e lo sono perchè ho fatto grafici e prove e riprove da due giorni a rompermi la testa!
Il fattore per la quale va moltiplicato il mio valore con il suo è:
$ 0.002m : 1 = 0.03m : x $
$ x=15 $ numero puro, infatti il mio $ 0.002m * 15 = 0.03m $
Cosa ne dici
Dovresti renderti conto di una cosa Bad. Io posso aiutarti in linea teorica, cioè con spiegazioni e esempi laddove possibile. Ma non posso certo mettermi a controllare ogni minimo calcoletto, anche perché non ne avrei la possibilità, trattandosi in questo caso di punti dati da un disegno che solo tu hai, e che solo tu puoi misurare. Spero sia chiaro...non è che non voglio aiutarti, c'è proprio una impossibilità operativa.
Osservo due cose : se il primo punto ha ascissa uguale a zero e ordinata pure uguale a zero, come mi sembra di aver capito, la retta deve passare per l'origine. Controlla, mi sembra che non sia così.
L'intercetta all'origine $q$ di una retta di equazione :$y = mx + q$ si trova semplicemente mettendo $x = 0$ nell'equazione. Se hai invece una retta disegnata per punti su un grafico, devi vedere in quale punto la retta taglia l'asse $y$ : l'ordinata di questo punto è proprio $q$.
Infine, hai un mezzo infallibile per controllare il risultato : ottenuta l'equazione della retta, sostituisci i valori della variabile $t$ che hai dalla tabella, e verifica se ottieni i valori della variabile $x$ corrispondenti.
Un'ultima cosa : l'equazione deve essere dimensionalmente omogenea. Se al primo membro hai che $y$ è una lunghezza, tali devono essere gli addendi al secondo membro. Controlla sempre l'omogeneità dimensionale della tua equazione.La prima volta l'hai scritta male, la seconda bene.
Se poi i numeri sono diversi, scusami, non posso controllarli.
Allora fa' anche un'altra cosa: prendi i valori di tabella, e con questi valori controlla l'esattezza della equazione che ti dà il libro. Se si trova, ha ragione lui.
Osservo due cose : se il primo punto ha ascissa uguale a zero e ordinata pure uguale a zero, come mi sembra di aver capito, la retta deve passare per l'origine. Controlla, mi sembra che non sia così.
L'intercetta all'origine $q$ di una retta di equazione :$y = mx + q$ si trova semplicemente mettendo $x = 0$ nell'equazione. Se hai invece una retta disegnata per punti su un grafico, devi vedere in quale punto la retta taglia l'asse $y$ : l'ordinata di questo punto è proprio $q$.
Infine, hai un mezzo infallibile per controllare il risultato : ottenuta l'equazione della retta, sostituisci i valori della variabile $t$ che hai dalla tabella, e verifica se ottieni i valori della variabile $x$ corrispondenti.
Un'ultima cosa : l'equazione deve essere dimensionalmente omogenea. Se al primo membro hai che $y$ è una lunghezza, tali devono essere gli addendi al secondo membro. Controlla sempre l'omogeneità dimensionale della tua equazione.La prima volta l'hai scritta male, la seconda bene.
Se poi i numeri sono diversi, scusami, non posso controllarli.
Allora fa' anche un'altra cosa: prendi i valori di tabella, e con questi valori controlla l'esattezza della equazione che ti dà il libro. Se si trova, ha ragione lui.
"navigatore":
Dovresti renderti conto di una cosa Bad. Io posso aiutarti in linea teorica, cioè con spiegazioni e esempi laddove possibile.
Ma infatti
sono fortunato per questo, e te ne ringrazio Ho visto che i procedimenti matematici non li ho sbagliati, a me interessa principalmente questo, perchè come hai visto anche tu, con esercizi tipo questo, c'è solo da impazzire
Esercizio 8
Punto a)
$ x(t) = -(1.8m/s)t -(3.5m/s^3)t^3 $
L'espressione di $ v_x (t) $ sarà:
$ v_x (t) = d/(dt)[ -(1.8m/s)t -(3.5m/s^3)t^3] $
Derivando sarà:
$ v_x (t) = -1.8 m/s -(10.5 m/s^3)t^2 $
Punto b)
Nell'istante $ t=2.6s $ sarà:
$ v_x (t) = -1.8 m/s -(10.5 m/s^3)(2.6s)^2 $
$ v_x (t) = -72.78 m/s$
Punto c)
Nell'istante $ v_(x0) $ sarà $ v_(x0) = 0 $
Dite che va bene il punto c)
Punto a)
$ x(t) = -(1.8m/s)t -(3.5m/s^3)t^3 $
L'espressione di $ v_x (t) $ sarà:
$ v_x (t) = d/(dt)[ -(1.8m/s)t -(3.5m/s^3)t^3] $
Derivando sarà:
$ v_x (t) = -1.8 m/s -(10.5 m/s^3)t^2 $
Punto b)
Nell'istante $ t=2.6s $ sarà:
$ v_x (t) = -1.8 m/s -(10.5 m/s^3)(2.6s)^2 $
$ v_x (t) = -72.78 m/s$
Punto c)
Nell'istante $ v_(x0) $ sarà $ v_(x0) = 0 $
Dite che va bene il punto c)
Punti a e b : ok
Punto c) : se metti t=0 risulta: $v_0 = -1.8m/s $
Punto c) : se metti t=0 risulta: $v_0 = -1.8m/s $
"navigatore":
Punti a e b : ok
Punto c) : se metti t=0 risulta: $v_0 = -1.8m/s $
Ok, grazie mille!
Scusa ma come si determina l'accelerazione in un istante t di x secondi Se non erro devo utilizzare il calcolo tipo $ lim_(Delta t->0) $ , nel caso in cui ho un grafico, basta prendere un $ Delta t $ molto vicino a quello richiesto
Ecco l'esercizio:
Non ho trovo problemi nel risolvere il punto a) e il punto b), ma il punto c), come devo risolverlo?
Se non erro devo utilizzare il calcolo tipo $ lim_(Delta t->0) $ , nel caso in cui ho un grafico, basta prendere un $ Delta t $ molto vicino a quello richiesto Ecco l'esercizio:
Non ho trovo problemi nel risolvere il punto a) e il punto b), ma il punto c), come devo risolverlo?
Hai un grafico che ti dà la velocità in funzione del tempo. L'accelerazione è per definizione la derivata della velocità rispetto al tempo. : $ a_x = [(dv)/(dt)]_x $
Non devi fare altro che quello che hai fatto in un precedente esercizio, quando avevi il grafico dello spazio in funzione del tempo; lí avevi questa relazione tra velocità e spazio: $ v_x = [(ds)/(dt)]_x $.
Se confronti le due relazioni, ti accorgi che hanno la stessa struttura, basta mettere, nella seconda, $a$ al posto di $v$ e $v$ al posto di $s$ (qualche matematico prima o poi mi fucila qui...), e ottieni la prima.
Allora, fai qui quello che prima avevi fatto là : ti ricordi? Piccole variazioni di ascissa, e corrispondenti piccole variazioni di ordinata, il rapporto incrementale...Insomma, la stessa operazione di derivazione grafica.
Non devi fare altro che quello che hai fatto in un precedente esercizio, quando avevi il grafico dello spazio in funzione del tempo; lí avevi questa relazione tra velocità e spazio: $ v_x = [(ds)/(dt)]_x $.
Se confronti le due relazioni, ti accorgi che hanno la stessa struttura, basta mettere, nella seconda, $a$ al posto di $v$ e $v$ al posto di $s$ (qualche matematico prima o poi mi fucila qui...), e ottieni la prima.
Allora, fai qui quello che prima avevi fatto là : ti ricordi? Piccole variazioni di ascissa, e corrispondenti piccole variazioni di ordinata, il rapporto incrementale...Insomma, la stessa operazione di derivazione grafica.
Ma infatti, è quello che sto facendo, ma il testo come al solito mi da dei risultati diversi per arrotondamenti che fa!
Adesso rifaccio i calcoli, comunque il testo dice che deve essere $ 0.25 m/s^2 $.
Cosa ne dici
Adesso rifaccio i calcoli, comunque il testo dice che deve essere $ 0.25 m/s^2 $.
Cosa ne dici
Se osservi il grafico, ti accorgi che tra 4 e 6 s la curva è pressocchè rettilinea.
Cioè intorno a $t=5s$ il rapporto incrementale è pressocchè costante. Questo ti facilita il compito.
Sui valori, ti ripeto che non posso aiutarti, dipende da te.
Fai una verifica: misura i valori di $v$ a $4s$ e a $6s$ e fa il calcolo con questi, assumendo quindi proprio un andamento rettilineo del grafico in tale intervallo. Vedi che cosa ottieni.
Ma comunque quello che conta è il metodo.
Cioè intorno a $t=5s$ il rapporto incrementale è pressocchè costante. Questo ti facilita il compito.
Sui valori, ti ripeto che non posso aiutarti, dipende da te.
Fai una verifica: misura i valori di $v$ a $4s$ e a $6s$ e fa il calcolo con questi, assumendo quindi proprio un andamento rettilineo del grafico in tale intervallo. Vedi che cosa ottieni.
Ma comunque quello che conta è il metodo.
"navigatore":
Se osservi il grafico, ti accorgi che tra 4 e 6 s la curva è pressocchè rettilinea.
Cioè intorno a $t=5s$ il rapporto incrementale è pressocchè costante. Questo ti facilita il compito.
Sui valori, ti ripeto che non posso aiutarti, dipende da te.
Ok,
, si, ai calcoli ci sbatto io , sempre con il righello, ho preso intervalli di tempo e velocità prima e dopo dei $ 5s $ dati dalla traccia, ed ho ottenuto $ 0.3 m/s^2 $ Mi va bene lo stesso, perchè qui c'è da impazzire con questi rilievi da fare
Non si può utilizzare la derivata e spero quanto prima di arrivare ad utilizzarla, mi sto allenando continuamente
Il mio testo mi spiega il metodo dell'integrazione che è l'inverso della derivazione, ecco quanto dice:
Mi sembra di aver compreso che nel caso si disponga del'equazione dell'accelerazione tipo questa:
$ a_x = (v_x(t) - v_(x0))/(t-0) $
Passo a ricavare la velocità, sapendo che:
$ v_x (t) = d/(dt)x_t $
allora
$ v_x (t) = v_(x0) + a_x *t $
derivando con la solita procedura
$ d/(dt) x (t) = v_(x0) + a_x *t $
Nel punto che segue vorrei chiarire alcuni dubbi...
E' giusto dire che per integrare bisogna partire dalla seguente formula e poi replicando gli step dell'immagine che ho postato
$ x (t) = C_0 + C_1 t + C_2 t^2 $
Mi sembra di aver compreso che nel caso si disponga del'equazione dell'accelerazione tipo questa:
$ a_x = (v_x(t) - v_(x0))/(t-0) $
Passo a ricavare la velocità, sapendo che:
$ v_x (t) = d/(dt)x_t $
allora
$ v_x (t) = v_(x0) + a_x *t $
derivando con la solita procedura
$ d/(dt) x (t) = v_(x0) + a_x *t $
Nel punto che segue vorrei chiarire alcuni dubbi...
E' giusto dire che per integrare bisogna partire dalla seguente formula e poi replicando gli step dell'immagine che ho postato
$ x (t) = C_0 + C_1 t + C_2 t^2 $
La definizione di "integrale" come operazione inversa della derivata, senza ulteriori precisazioni, farebbe inorridire più di un matematico puro, Bad. Fa inorridire persino me, che sono di bocca buona!
Diciamo che "in un certo senso" molto elementare si può dire in quel modo. Quelle relazioni che tu scrivi, che legano la derivata di una funzione alla funzione stessa e alla variabile indipendente, si chiamano equazioni differenziali. Le equazioni differenziali si "integrano", certamente, se si vuole trovare la funzione. Ma la strada è lunga, per arrivare ai concetti giusti e rigorosi. E mi sembra che prima di parlare di integrazione dovresti maturare perfettamente la derivazione.
Ma comunque, per le tue necessità del momento, segui pure le indicazioni del tuo libro.
Diciamo che "in un certo senso" molto elementare si può dire in quel modo. Quelle relazioni che tu scrivi, che legano la derivata di una funzione alla funzione stessa e alla variabile indipendente, si chiamano equazioni differenziali. Le equazioni differenziali si "integrano", certamente, se si vuole trovare la funzione. Ma la strada è lunga, per arrivare ai concetti giusti e rigorosi. E mi sembra che prima di parlare di integrazione dovresti maturare perfettamente la derivazione.
Ma comunque, per le tue necessità del momento, segui pure le indicazioni del tuo libro.
"navigatore":
La definizione di "integrale" come operazione inversa della derivata, senza ulteriori precisazioni, farebbe inorridire più di un matematico puro, Bad. Fa inorridire persino me, che sono di bocca buona!
Si, ok, era solo una curiosita' e volevo fare chiarezza, ma non di certo voglio irritare qualche matematico
Oggi ho fatto un sacco di esercizi, e sono riuscito a risolverli tranquillamente, sono veramente contento! Penso che la settimana prossima inizio il prossimo capitolo, e aggiungo che e' veramente soddisfacente quando ci si riesce ad addentrarsi in queste materie scentifiche!
Oggi ho fatto un sacco di esercizi, e sono riuscito a risolverli tranquillamente, sono veramente contento! Penso che la settimana prossima inizio il prossimo capitolo, e aggiungo che e' veramente soddisfacente quando ci si riesce ad addentrarsi in queste materie scentifiche!
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