Dinamica del moto rotatorio, momento angolare.
Nello studio del primo paragrafo, cioè Momento angolare di un punto materiale, vi è la formula del momento angolare:
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
Risposte
Certe volte mi sento proprio desolato...
Nell'esercizio 3, la circostanza che AOB sia un triangolo rettangolo è relativa solo a quella particolare disposizione proposta dalla tua figura, e quindi si può ricavare il braccio nel modo che ti ho detto, come altezza del tr rettangolo relativa all'ipotenusa.
Ma questa non è mica una regola generale!
Data una forza $vecF$ che giace sulla sua retta di azione, e dato un polo $O$ qualsiasi, il braccio della forza rispetto ad $O$ è semplicemente la distanza di $O$ dalla retta di azione della forza.
Se poi hai due forze uguali e contrarie, il momento totale è nullo rispetto a qualsiasi polo, anche se sta sulla Luna.
Questa è ciò che devi ricordare.
Nell'esercizio 3, la circostanza che AOB sia un triangolo rettangolo è relativa solo a quella particolare disposizione proposta dalla tua figura, e quindi si può ricavare il braccio nel modo che ti ho detto, come altezza del tr rettangolo relativa all'ipotenusa.
Ma questa non è mica una regola generale!
Data una forza $vecF$ che giace sulla sua retta di azione, e dato un polo $O$ qualsiasi, il braccio della forza rispetto ad $O$ è semplicemente la distanza di $O$ dalla retta di azione della forza.
Se poi hai due forze uguali e contrarie, il momento totale è nullo rispetto a qualsiasi polo, anche se sta sulla Luna.
Questa è ciò che devi ricordare.
Es 4 : che c'entra "il momento della forza" ?????
Qui non ci sono forze, ci sono due masse uguali su traiettorie parallele distanti D, in moto con la stessa velocità. Calcola i due momenti della quantita di moto rispetto a un polo qualsiasi del piano, e fa la somma ALGEBRICA dei rispettivi moduli, poiché i vettori velocità sono in verso opposto.
Es 5 : bellissimo quel " $ * -\omega_z$ " !
Vuole farti capire l'additività di certe grandezze.
Qui non ci sono forze, ci sono due masse uguali su traiettorie parallele distanti D, in moto con la stessa velocità. Calcola i due momenti della quantita di moto rispetto a un polo qualsiasi del piano, e fa la somma ALGEBRICA dei rispettivi moduli, poiché i vettori velocità sono in verso opposto.
Es 5 : bellissimo quel " $ * -\omega_z$ " !
Vuole farti capire l'additività di certe grandezze.
Per l'esercizio 5 ho sbagliato a mettere quel meno alla velocita' angolare, scusami!
Comunque adesso ho compreso il perche' di quell'esercizio!
Comunque adesso ho compreso il perche' di quell'esercizio!
Esercizio 6
La cosa che mi viene in mente di fare è considerare questo:
L'equazione del moto
$ tau_z = I *alpha_z $
$ alpha_z = (tau_z)/I $
$ alpha_z = (18N*m)/(0.15kg*m^2) $
$ alpha_z = (18N*m)/(0.15kg*m^2) = (120)/(s^2) $
E quindi l'accelerazione angolare sarà:
$ alpha_z = 120(rad)/(s^2) $
La velocità angolare sarà:
$ omega_z = [120(rad)/(s^2)]*t$
La sua coordinata dell'angolo in funzione del tempo sarà:
$ vartheta_t = vartheta _o +omega_(zo)*t + 1/2alpha_z*t^2 $
$ vartheta_t = vartheta _o +1/2alpha_z*t^2 $
$ vartheta_t = vartheta _o +1/2(120(rad)/(s^2))*t^2 $
$ vartheta_t = vartheta _o +(60(rad)/(s^2))*t^2 $
La cosa che mi viene in mente di fare è considerare questo:
L'equazione del moto
$ tau_z = I *alpha_z $
$ alpha_z = (tau_z)/I $
$ alpha_z = (18N*m)/(0.15kg*m^2) $
$ alpha_z = (18N*m)/(0.15kg*m^2) = (120)/(s^2) $
E quindi l'accelerazione angolare sarà:
$ alpha_z = 120(rad)/(s^2) $
La velocità angolare sarà:
$ omega_z = [120(rad)/(s^2)]*t$
La sua coordinata dell'angolo in funzione del tempo sarà:
$ vartheta_t = vartheta _o +omega_(zo)*t + 1/2alpha_z*t^2 $
$ vartheta_t = vartheta _o +1/2alpha_z*t^2 $
$ vartheta_t = vartheta _o +1/2(120(rad)/(s^2))*t^2 $
$ vartheta_t = vartheta _o +(60(rad)/(s^2))*t^2 $
"navigatore":
Es 4 : che c'entra "il momento della forza" ?????
Qui non ci sono forze, ci sono due masse uguali su traiettorie parallele distanti D, in moto con la stessa velocità. Calcola i due momenti della quantità di moto rispetto a un polo qualsiasi del piano, e fa la somma ALGEBRICA dei rispettivi moduli, poiché i vettori velocità sono in verso opposto.
Quindi????
Non sto capendo il concetto ......
Cosa si deve rispondere
Esercizio 7
Il punto a) sono riuscito a risolverlo tranquillamente, ecco qui:
Solo che ho utilizzato lo stesso metodo per risolvere il punto b) ma non mi viene il risultato!
Perchè?
Per il punto b), ho addizionato alla $ F_t = 32N $ gli altri Newton del peso e quindi $ F_t = 32N + 32N = 64N $ , ho ripetuto i calcoli ma non è venuto il risultato
Cosa sto trascurando
Il punto a) sono riuscito a risolverlo tranquillamente, ecco qui:
Solo che ho utilizzato lo stesso metodo per risolvere il punto b) ma non mi viene il risultato!
Perchè?
Per il punto b), ho addizionato alla $ F_t = 32N $ gli altri Newton del peso e quindi $ F_t = 32N + 32N = 64N $ , ho ripetuto i calcoli ma non è venuto il risultato
Cosa sto trascurando
Esercizio 4
Allora Bad.... ragioniamo...
Consideriamo due punti qualunque dello spazio \(O, O'\) che utilizzeremo come poli per il calcolo dei momenti. Calcoliamo ora il momento angolare totale rispetto a entrambi i poli
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}=\sum_{i}\vec{r}_{i}\times\vec{p_{i}}\hspace{2 cm}\vec{L'}=\vec{r}'_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}'_{2}\times\vec{p}_{2}=\sum_{i}\vec{r}'_{i}\times\vec{p_{i}}\]
Adesso osservando che \(\hspace{0.2 cm}\vec{r}_{i}=\vec{r}_{OO'}+\vec{r}'_{_i}\) (con \(\vec{r}_{OO'}\) raggio vettore di \(O'\) rispetto al polo \(O\)), riscriviamo il momento \(\vec{L}\) in funzione del momento \(L'\)
\[\vec{L}=\sum_{i}\vec{r}_{i}\times\vec{p_{i}}=\sum_{i}(\vec{r}_{OO'}+\vec{r}'_{_i})\times\vec{p}_{i}=\vec{r}_{OO'}\times\sum_{i}\vec{p}_{i}+\sum_{i}\vec{r}'_{i}\times\vec{p}_{i}=\vec{r}_{OO'}\times\vec{P}+\vec{L'}\]
Quello che ho trovato è una relazione generale che lega momenti angolari calcolati rispetto diversi poli
\[\vec{L}=\vec{r}_{OO'}\times\vec{P}+\vec{L'}\]
Applichiamola al nostro caso. La quantità di moto totale \(\vec{P}\) è nulla ovvero indipendentemente dalla scelta del polo i due momenti sono uguali.
Riprendiamo la definizione del momento angolare \(\vec{L}\)
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}-\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\times\vec{p}_{1}\]
il vettore \((\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\) è il vettore che individua la posizione della seconda massa rispetto alla prima. Per comodità lo chiamiamo \(\vec{r}\) e lo scomponiamo nella somma di due vettori, uno parallelo alla direzione del moto e l'altro perpendicolare a quest'ultima
\[\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{\parallel}+\vec{r}_{\perp})\times\vec{p}_{1}=\vec{r}_{\perp}\times\vec{p}_{1}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}L=mvd\]
Allora Bad.... ragioniamo...
Consideriamo due punti qualunque dello spazio \(O, O'\) che utilizzeremo come poli per il calcolo dei momenti. Calcoliamo ora il momento angolare totale rispetto a entrambi i poli
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}=\sum_{i}\vec{r}_{i}\times\vec{p_{i}}\hspace{2 cm}\vec{L'}=\vec{r}'_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}'_{2}\times\vec{p}_{2}=\sum_{i}\vec{r}'_{i}\times\vec{p_{i}}\]
Adesso osservando che \(\hspace{0.2 cm}\vec{r}_{i}=\vec{r}_{OO'}+\vec{r}'_{_i}\) (con \(\vec{r}_{OO'}\) raggio vettore di \(O'\) rispetto al polo \(O\)), riscriviamo il momento \(\vec{L}\) in funzione del momento \(L'\)
\[\vec{L}=\sum_{i}\vec{r}_{i}\times\vec{p_{i}}=\sum_{i}(\vec{r}_{OO'}+\vec{r}'_{_i})\times\vec{p}_{i}=\vec{r}_{OO'}\times\sum_{i}\vec{p}_{i}+\sum_{i}\vec{r}'_{i}\times\vec{p}_{i}=\vec{r}_{OO'}\times\vec{P}+\vec{L'}\]
Quello che ho trovato è una relazione generale che lega momenti angolari calcolati rispetto diversi poli
\[\vec{L}=\vec{r}_{OO'}\times\vec{P}+\vec{L'}\]
Applichiamola al nostro caso. La quantità di moto totale \(\vec{P}\) è nulla ovvero indipendentemente dalla scelta del polo i due momenti sono uguali.
Riprendiamo la definizione del momento angolare \(\vec{L}\)
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}-\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\times\vec{p}_{1}\]
il vettore \((\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\) è il vettore che individua la posizione della seconda massa rispetto alla prima. Per comodità lo chiamiamo \(\vec{r}\) e lo scomponiamo nella somma di due vettori, uno parallelo alla direzione del moto e l'altro perpendicolare a quest'ultima
\[\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{\parallel}+\vec{r}_{\perp})\times\vec{p}_{1}=\vec{r}_{\perp}\times\vec{p}_{1}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}L=mvd\]
Esercizio 7
Guarda che nel punto \(b\) la forza \(F_{t}\) non la devi più considerare...
Guarda che nel punto \(b\) la forza \(F_{t}\) non la devi più considerare...
"Cuspide83":
Esercizio 7
Guarda che nel punto \(b\) la forza \(F_{t}\) non la devi più considerare...
Perche'?
Scusami, ma cosa dovrei fare???
Ti sei forse scordato della tensione del filo?!?!?
"Cuspide83":
Ti sei forse scordato della tensione del filo?!?!?
Non sto capendo.............
Ma se nel caso a) la corda esercita una determinata forza, nel caso b) gli viene aggiunto un peso, come dovrei pensare alla tensione?????
Allora nel caso \(a\) viene applicata all'estremità del filo una forza \(F_{t}\), nel caso \(b\) non viene applicata la precedente forza, ma viene aggangiata una massa che col suo peso causa la rotazione della puleggia.
La differenza tra i due casi è che la tensione del filo nel primo caso è uguale alla forza \(F_{t}\), nel secondo invece la tensione vale
\[\vec{F}_{p}+\vec{T}=m\vec{a}\hspace{2 cm}\Rightarrow\hspace{2 cm}T=m(g-a)\]
La differenza tra i due casi è che la tensione del filo nel primo caso è uguale alla forza \(F_{t}\), nel secondo invece la tensione vale
\[\vec{F}_{p}+\vec{T}=m\vec{a}\hspace{2 cm}\Rightarrow\hspace{2 cm}T=m(g-a)\]
E quindi?
Quella $ a $ e' un'accelerazione, giusto?
Quella $ a $ e' un'accelerazione, giusto?
E come si imposta l'equazione che porta alla giusta conclusione?????
Scusami, ma Se pero' esponi formule senza un commento semplice, non riesco a conprendere il concetto fisico!
Scusami, ma Se pero' esponi formule senza un commento semplice, non riesco a conprendere il concetto fisico!
Nel primo caso la tensione del filo che chiamiamo \(T'\) è uguale alla forza \(F_{t}\).
\[T'=F_{t}\]
Osservando che la forza peso \(mg\) è uguale alla forza \(F_{t}\), nel secondo caso la tensione che ora chiamiamo \(T\) vale
\[T=mg-ma=F_{t}-ma=T'-ma\]
La tensione è stata ricavata dall'equazione del moto della massa appesa e \(a\) è la sua accelerazione.
Come puoi vedere la tensione nel secondo caso è minore di quella del primo caso, in quanto da questa sottrai il prodotto \(ma\), quindi se calcoli il momento meccanico dovuto alle due tensioni, vedrai che il primo avrà modulo maggiore del secondo.
\[T'=F_{t}\]
Osservando che la forza peso \(mg\) è uguale alla forza \(F_{t}\), nel secondo caso la tensione che ora chiamiamo \(T\) vale
\[T=mg-ma=F_{t}-ma=T'-ma\]
La tensione è stata ricavata dall'equazione del moto della massa appesa e \(a\) è la sua accelerazione.
Come puoi vedere la tensione nel secondo caso è minore di quella del primo caso, in quanto da questa sottrai il prodotto \(ma\), quindi se calcoli il momento meccanico dovuto alle due tensioni, vedrai che il primo avrà modulo maggiore del secondo.
Saro' io, ma non ti riesco a capire!
Senza dilungarsi, come giungeresti alla soluzione???
Sai, c'e' il mio amico Nav. che espone i concetti in modo autentico, in un messaggio mi fa capire il concetto!
Io ti ringrazio perche' consideri i miei messaggi, ma sinceramente mi fai perdere in cose che mi portano lontano dalla soluzione del quesito!
Scusami, sara' sicuramente per colpa mia, ma non riesco a capire la soluzione dell'esercizio che tu vorresti darmi!
Ma poi dove hai visto che comincia a girare????
Senza dilungarsi, come giungeresti alla soluzione???
Sai, c'e' il mio amico Nav. che espone i concetti in modo autentico, in un messaggio mi fa capire il concetto!
Io ti ringrazio perche' consideri i miei messaggi, ma sinceramente mi fai perdere in cose che mi portano lontano dalla soluzione del quesito!
Scusami, sara' sicuramente per colpa mia, ma non riesco a capire la soluzione dell'esercizio che tu vorresti darmi!
Ma poi dove hai visto che comincia a girare????
Senza dilungarmi, penso che l'accelerazione si potrebbe calcolare con questa:
$ a= (mg - T)/(m) $
ma mi manca la tensione e mi manca la massa del denominatore!
$ a= (mg - T)/(m) $
ma mi manca la tensione e mi manca la massa del denominatore!
Per la risoluzione di questo problema Bad, non basta impostare una sola equazione. Come vedi i corpi sono due, e devi scrivere delle leggi per entrambi. Ovviamente per la massa appesa dovrai scrivere la seconda legge di Newton, mentre per la puleggia serve la seconda cardinale, o seconda legge di Newton per il moto rotatorio, non so come la chiami
imposta quindi che sul peso appeso la somma di tutte le forze agenti sia uguale alla sua massa per la sua accelerazione, e per la puleggia che la somma di tutti i momenti sia uguale al momento di inerzia per l'acc. angolare.
se osservi bene però ti trovi con 2 equazioni e 3 incognite (che sono T tensione del filo, a acclereazione del corpo, $\alpha$ accelerazione angolare della puleggia). solo che l'accelerazione del corpo e l'acc. angolare della puleggia non sono indipendenti. serve quindi una relazione tra le due, che sarà l'equazione che chiude il sistema.
prova a pensare per trovarla di quando scende la massa quando gira la puleggia. pensa che c'è la corda che li unisce, quindi diciamo, quanta corda si srotola dalla puleggia è di quanto scende la massa. se non erro un po di conoscenza sulle derivate la hai. capisci quindi che trovata una relazione che lega lo spostamento angolare della puleggia a quanto scende la massa, si ottiene poi una relazione anche sulle velocità e sulle accelerazioni
imposta quindi che sul peso appeso la somma di tutte le forze agenti sia uguale alla sua massa per la sua accelerazione, e per la puleggia che la somma di tutti i momenti sia uguale al momento di inerzia per l'acc. angolare.
se osservi bene però ti trovi con 2 equazioni e 3 incognite (che sono T tensione del filo, a acclereazione del corpo, $\alpha$ accelerazione angolare della puleggia). solo che l'accelerazione del corpo e l'acc. angolare della puleggia non sono indipendenti. serve quindi una relazione tra le due, che sarà l'equazione che chiude il sistema.
prova a pensare per trovarla di quando scende la massa quando gira la puleggia. pensa che c'è la corda che li unisce, quindi diciamo, quanta corda si srotola dalla puleggia è di quanto scende la massa. se non erro un po di conoscenza sulle derivate la hai. capisci quindi che trovata una relazione che lega lo spostamento angolare della puleggia a quanto scende la massa, si ottiene poi una relazione anche sulle velocità e sulle accelerazioni
Diciamo che non sto riuscendo a comprendere perfettamente quello che mi hai detto, ma cosa ne dici di questo?
P.S. Sono costretto ad invocare il mio amico Nav.
Nav. dove seiiiiiiiiiiiiiiiii??????
P.S. Sono costretto ad invocare il mio amico Nav.
Nav. dove seiiiiiiiiiiiiiiiii??????
Bad, l'ultima figura che hai messo, e il relativo calcolo, vanno bene.
Devi capire questo, che comunque è stato già detto dagli altri ragazzi, forse però in una maniera che a te è risultata poco chiara: la forza peso di $32N$, nel caso b, deve accelerare non solo la massa sospesa, ma anche il disco.
Il disco offre una sua resistenza ad essere accelerato, che dipende dal suo momento di inerzia assiale.
La tensione che esiste nel filo situato tra la massa sospesa e il disco è inferiore al peso di $32N$. Infatti la tensione T deve "solo" accelerare il disco. Invece il peso P deve accelerare due corpi, non importa se per il disco si tratta di accelerazione angolare, tanto questa è strettamente connessa a quella lineare.
Ti faccio un esempio : supponi che ci sia un carro attrezzi, che col suo cavo rimorchia una prima automobile , a cui è attaccata con un altro cavo una seconda automobile, supponiamo di uguale massa della prima. In fase di accelerazione del carro attrezzi, nel cavo di rimorchio che tira entrambe le auto c'è una tensione maggiore del cavo che tira solo la seconda auto. Ma evidentemente l'accelerazione è la stessa per tutti, se il filo non si stira.
E cosi succede qui. Analiticamente lo puoi vedere con la seconda equazione cardinale della dinamica, come ti ha detto Eugenio.
Devi capire questo, che comunque è stato già detto dagli altri ragazzi, forse però in una maniera che a te è risultata poco chiara: la forza peso di $32N$, nel caso b, deve accelerare non solo la massa sospesa, ma anche il disco.
Il disco offre una sua resistenza ad essere accelerato, che dipende dal suo momento di inerzia assiale.
La tensione che esiste nel filo situato tra la massa sospesa e il disco è inferiore al peso di $32N$. Infatti la tensione T deve "solo" accelerare il disco. Invece il peso P deve accelerare due corpi, non importa se per il disco si tratta di accelerazione angolare, tanto questa è strettamente connessa a quella lineare.
Ti faccio un esempio : supponi che ci sia un carro attrezzi, che col suo cavo rimorchia una prima automobile , a cui è attaccata con un altro cavo una seconda automobile, supponiamo di uguale massa della prima. In fase di accelerazione del carro attrezzi, nel cavo di rimorchio che tira entrambe le auto c'è una tensione maggiore del cavo che tira solo la seconda auto. Ma evidentemente l'accelerazione è la stessa per tutti, se il filo non si stira.
E cosi succede qui. Analiticamente lo puoi vedere con la seconda equazione cardinale della dinamica, come ti ha detto Eugenio.
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