Dinamica del moto rotatorio, momento angolare.
Nello studio del primo paragrafo, cioè Momento angolare di un punto materiale, vi è la formula del momento angolare:
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
Risposte
Ti ringrazio, non avevo proprio pensato che si poteva ricavare la velocita' dalla seguente:
$ U_i = K_f $
$ U_i = K_f $
Esercizio 2
Ma non capisco il perchè il testo mi da il risultato in termini di componenti!
Insomma, per calcolare il momento angolare totale, io avevo pensato di fare in questo modo:
$ |l_a| = 2.4(kg*m^2)/s $
$ |l_b| = 6.1(kg*m^2)/s $
$ |l_b| = sqrt((-4.8)^2 + (1.6)^2) = 5.05(kg*m^2)/s $
$ |L| = 2.4 + 6.1 + 5.06 = 13.55(kg*m^2)/s $
Secondo voi ho fatto bene
Il testo invece mi da il seguente risultato in questo modo:
$ L_ (Tot) = l_a + l_b + l_c $
$ L_ (Tot) = ((2.4 - 4.8)(kg*m^2)/s)hati + (1.6(kg*m^2)/s )hatj + (-6.1(kg*m^2)/s) hatk $
$ L_ (Tot) = (( - 2.4)(kg*m^2)/s)hati + (1.6(kg*m^2)/s )hatj + (-6.1(kg*m^2)/s) hatk $
Ma non capisco il perchè il testo mi da il risultato in termini di componenti!
Insomma, per calcolare il momento angolare totale, io avevo pensato di fare in questo modo:
$ |l_a| = 2.4(kg*m^2)/s $
$ |l_b| = 6.1(kg*m^2)/s $
$ |l_b| = sqrt((-4.8)^2 + (1.6)^2) = 5.05(kg*m^2)/s $
$ |L| = 2.4 + 6.1 + 5.06 = 13.55(kg*m^2)/s $
Secondo voi ho fatto bene
Il testo invece mi da il seguente risultato in questo modo:
$ L_ (Tot) = l_a + l_b + l_c $
$ L_ (Tot) = ((2.4 - 4.8)(kg*m^2)/s)hati + (1.6(kg*m^2)/s )hatj + (-6.1(kg*m^2)/s) hatk $
$ L_ (Tot) = (( - 2.4)(kg*m^2)/s)hati + (1.6(kg*m^2)/s )hatj + (-6.1(kg*m^2)/s) hatk $
Esercizio 3
Risoluzione
Correggetemi se sbaglio.......
Penso che di queste due forze si possa dire che:
$ F_(BA) = -F_(AB) $
$ 14N = - 14N $
Questa è per la Terza Legge di Newton, va bene fin quì?
Adesso mi chiedo che se volessi quantificar il momento risultante di queste due forze, rispetto alle origini, posso dire che è zero????
Adesso sto andando nel pallone
Provo a dire qualcosa:
Punto a)
Il momento di $ B $ su $ A $ rispetto all'origine $ O $ , obbedisce alla terza legge di Newton e quindi è zero
Risoluzione
Correggetemi se sbaglio.......
Penso che di queste due forze si possa dire che:
$ F_(BA) = -F_(AB) $
$ 14N = - 14N $
Questa è per la Terza Legge di Newton, va bene fin quì?
Adesso mi chiedo che se volessi quantificar il momento risultante di queste due forze, rispetto alle origini, posso dire che è zero????
Adesso sto andando nel pallone
Provo a dire qualcosa:
Punto a)
Il momento di $ B $ su $ A $ rispetto all'origine $ O $ , obbedisce alla terza legge di Newton e quindi è zero
Es 2 : il libro ha ragione. Il momento angolare è un vettore, e quindi si può scomporre rispetto a degli assi, ovvero comporre come nell'esercizio dato, secondo necessità .
Es 3 : dovrebbe esserti facile rispondere applicando la definizione di " momento angolare", cioè quella di prodotto vettoriale. Quindi, occhio e ingegno!
Es 3 : dovrebbe esserti facile rispondere applicando la definizione di " momento angolare", cioè quella di prodotto vettoriale. Quindi, occhio e ingegno!
"navigatore":
Es 3 : dovrebbe esserti facile rispondere applicando la definizione di " momento angolare", cioè quella di prodotto vettoriale. Quindi, occhio e ingegno!
Allora quello che ho detto e' sbagliato?
Certo che se ricavo il momento angolare delle forze singole rispetto ad O, penso che saranno due momenti diversi in quanto si hanno due raggi deversi! Intendi questo?
A me sembra che questa sia tipo una interazione tra particelle interne di un corpo!
Non sto capendo come fare
Mi sembra ovvio che se utilizzo la formula seguente:
$ l = mv*senalpha $
dovrò conoscere la velocità, e in questo caso come faccio a ricavare la velocità con i dati che ho
Secondo me qui si può fare solo così:
Momento della forza $ F_(AB) $
Scusate, ma qui per la direzione si può subito dire che la direzione è a $ tan alpha =(3/4) $ cioè $ alpha = tg^(-1) (3/4) = 36.87^o $
Allora il momento sarà:
$ M_(AB) = r * F*sen (180^o - alpha) $
$ M_(AB) = r * F*sen (180^o - 36.87^o) $
$ M_(AB) = 4m * 14N* sen 36.87^o = 33.6 N*m$
Va bene fin qui????????????????
Scusa Bad, ma rileggendo il testo noto che in realtà si richiede non il momento angolare, ma il momento di una forza, forse ti ho un po' sviato parlando di momento angolare, che qui non c'entra. Ho sbagliato io.
Il problema vuole sapere il momento, rispetto all'origine, di ciascuna delle due forze esercitate da una particella sull'altra . Quindi devi calcolare il momento, rispetto ad $O$, di ciascuna forza, applicando sempre la definizione di momento di una forza come prodotto vettoriale.
E poi vuole sapere il momento complessivo delle due forze, che sono uguali e contrarie, sempre rispetto ad $O$.....Questo è facile, su...in pratica hai già risposto a questo....
Comunque nel triangolo non c'è alcun angolo di 30º . Dove lo vedi ?
Il problema vuole sapere il momento, rispetto all'origine, di ciascuna delle due forze esercitate da una particella sull'altra . Quindi devi calcolare il momento, rispetto ad $O$, di ciascuna forza, applicando sempre la definizione di momento di una forza come prodotto vettoriale.
E poi vuole sapere il momento complessivo delle due forze, che sono uguali e contrarie, sempre rispetto ad $O$.....Questo è facile, su...in pratica hai già risposto a questo....
Comunque nel triangolo non c'è alcun angolo di 30º . Dove lo vedi ?
Tutto ciò che mi dirai, non sarà un modo per sviarmi, 
, questo mi fa ragionare
Momento della forza $ F_(BA) $
La direzione è $ tg alpha =(4/3) $ cioè $ alpha = tg^(-1) (4/3) = 53.13^o $
Allora il momento sarà:
$ M_(BA) = r * F*sen (360^o - alpha) $
Sapendo che $ -alpha = -90^o - 53.13^o => alpha = 143.13^o $ allora:
$ M_(BA) = r * F*sen [360^o - ( 143.13^o)] $
$ M_(BA) = 3m * 14N* - sen 143.13^o $
$ M_(BA) = 3m * 14N* (- 0.60) $
$ M_(BA) = -25.2 N*m $
Il momento di interazione sarà dato dalla seguente interazione delle forze:
$ F_(BA) = -F_(AB) $
Cioè
$ M_(Tot) = M_(AB) + M_(BA) $
$ M_(Tot) = (33.6N*m) + (-25 N*m) = 8.6N*m $
Ehi NAv. dici che va bene
, questo mi fa ragionare Momento della forza $ F_(BA) $
La direzione è $ tg alpha =(4/3) $ cioè $ alpha = tg^(-1) (4/3) = 53.13^o $
Allora il momento sarà:
$ M_(BA) = r * F*sen (360^o - alpha) $
Sapendo che $ -alpha = -90^o - 53.13^o => alpha = 143.13^o $ allora:
$ M_(BA) = r * F*sen [360^o - ( 143.13^o)] $
$ M_(BA) = 3m * 14N* - sen 143.13^o $
$ M_(BA) = 3m * 14N* (- 0.60) $
$ M_(BA) = -25.2 N*m $
Il momento di interazione sarà dato dalla seguente interazione delle forze:
$ F_(BA) = -F_(AB) $
Cioè
$ M_(Tot) = M_(AB) + M_(BA) $
$ M_(Tot) = (33.6N*m) + (-25 N*m) = 8.6N*m $
Ehi NAv. dici che va bene
La risposta è una sola : 
Per stasera :
Per stasera :
Bad tu fai troppi calcoli e pochi ragionamenti:
\(1)\) Il problema innanzitutto ti chiede di determinare la direzione dei momenti \(\vec{M}_{A}\) e \(\vec{M}_{B}\) rispetto al polo \(O\). Quindi come prima risposta dovresti dire che entrambi i momenti sono perpendicolari ai piani (coincidenti) formati dai vettori \(\vec{x}, \vec{y}\) rispettivamente con i vettori \(\vec{F}_{AB}, \vec{F}_{BA}\) in quanto
\[\vec{M}_{A}=\vec{y}\times\vec{F}_{BA}\hspace{2 cm}\vec{M}_{B}=\vec{x}\times\vec{F}_{AB}\]
Data la direzione, ora tocca al verso. Qui dovresti rispondere dicendo che, sempre per nostra convenzione i vettori \(\vec{M}_{A}, \vec{M}_{B}\) risulteranno avere verso rispettivamente entrante e uscente dal piano prima citato, ovvero i momenti risulteranno essere rispettivamente discordi e concordi all'asse \(z\) del sistema di riferimento.
Veniamo ai moduli; questi sono definiti rispettivamente come
\[M_{A}=yF_{BA}\sin{\theta}=yF_{BA}\sin{(\pi-\theta')}=yF_{BA}\sin{\theta'}=\frac{xy}{d}F_{BA}\]
\[M_{B}=xF_{AB}\sin{\phi}=xF_{AB}\sin{(\pi-\phi')}=xF_{AB}\sin{\phi'}=\frac{xy}{d}F_{AB}\]
\(2)\) Il secondo punto è più interessante. Infatti da quello che ho scritto sopra, ovvero che i moduli dei momenti sono uguali, che le proiezioni dei momenti sull'asse \(z\) sono uniche e opposte, avresti dovuto subito dire che il momento risultante era nullo. Un modo più "elegante" per affermare ciò, sarebbe stato dire che questo sistema di forze consiste in una coppia di forze a braccio nullo.
\(1)\) Il problema innanzitutto ti chiede di determinare la direzione dei momenti \(\vec{M}_{A}\) e \(\vec{M}_{B}\) rispetto al polo \(O\). Quindi come prima risposta dovresti dire che entrambi i momenti sono perpendicolari ai piani (coincidenti) formati dai vettori \(\vec{x}, \vec{y}\) rispettivamente con i vettori \(\vec{F}_{AB}, \vec{F}_{BA}\) in quanto
\[\vec{M}_{A}=\vec{y}\times\vec{F}_{BA}\hspace{2 cm}\vec{M}_{B}=\vec{x}\times\vec{F}_{AB}\]
Data la direzione, ora tocca al verso. Qui dovresti rispondere dicendo che, sempre per nostra convenzione i vettori \(\vec{M}_{A}, \vec{M}_{B}\) risulteranno avere verso rispettivamente entrante e uscente dal piano prima citato, ovvero i momenti risulteranno essere rispettivamente discordi e concordi all'asse \(z\) del sistema di riferimento.
Veniamo ai moduli; questi sono definiti rispettivamente come
\[M_{A}=yF_{BA}\sin{\theta}=yF_{BA}\sin{(\pi-\theta')}=yF_{BA}\sin{\theta'}=\frac{xy}{d}F_{BA}\]
\[M_{B}=xF_{AB}\sin{\phi}=xF_{AB}\sin{(\pi-\phi')}=xF_{AB}\sin{\phi'}=\frac{xy}{d}F_{AB}\]
\(2)\) Il secondo punto è più interessante. Infatti da quello che ho scritto sopra, ovvero che i moduli dei momenti sono uguali, che le proiezioni dei momenti sull'asse \(z\) sono uniche e opposte, avresti dovuto subito dire che il momento risultante era nullo. Un modo più "elegante" per affermare ciò, sarebbe stato dire che questo sistema di forze consiste in una coppia di forze a braccio nullo.
Ma si fa in un attimo!
Lo vedi il triangolo $AOB$, rettangolo in $O$ ? Un cateto vale 3, l'altro vale 4, allora l'ipotenusa AB = 5 : è una terna pitagorica. Le due forze sono uguali e contrarie, quindi il momento dell'una è uguale e contrario, come vettore, al momento dell'altra rispetto a qualunque polo.
Lo avevi gia detto Bad : il momento totale delle due forze è zero.
Prendi la forza applicata in B cioè $F_(AB)$ . Il verso del suo momento è antiorario, quindi orientato come $veck$ che esce dal foglio. Il modulo è uguale alla forza per il braccio. Il braccio è l'altezza del triangolo rettangolo riferita all'ipotenusa, e vale $h = (3*4)/5 = 2.4m$
(Euclide...l'area del triangolo...).
Percio il momento rispetto ad $O$ vale : $vecM = F*h*veck$
Quello della forza applicata in A è uguale e contrario.
Lo vedi il triangolo $AOB$, rettangolo in $O$ ? Un cateto vale 3, l'altro vale 4, allora l'ipotenusa AB = 5 : è una terna pitagorica. Le due forze sono uguali e contrarie, quindi il momento dell'una è uguale e contrario, come vettore, al momento dell'altra rispetto a qualunque polo.
Lo avevi gia detto Bad : il momento totale delle due forze è zero.
Prendi la forza applicata in B cioè $F_(AB)$ . Il verso del suo momento è antiorario, quindi orientato come $veck$ che esce dal foglio. Il modulo è uguale alla forza per il braccio. Il braccio è l'altezza del triangolo rettangolo riferita all'ipotenusa, e vale $h = (3*4)/5 = 2.4m$
(Euclide...l'area del triangolo...).
Percio il momento rispetto ad $O$ vale : $vecM = F*h*veck$
Quello della forza applicata in A è uguale e contrario.
Non sono tanto convinto perche' se il braccio ha dimensioni diverse per ogni singola forza, dovrebbe dare un momento diverso!
E sei in errore. Che cosa è il braccio di una forza rispetto ad un polo?
"navigatore":
E sei in errore. Che cosa è il braccio di una forza rispetto ad un polo?
Il momento è parallelo all'asse es. z, se le forze e i bracci si trovano sul piano xy, quindi la direzione del momento è uguale e contraria, questa è l'immagine:
Scusami, ma non so rispondere alla domanda che mi hai fatto.....
Che cosa è il braccio di una forza rispetto ad un polo?
Come dovrei rispondere
Dimmi se ho compreso:
Essendo il braccio in questi casi in cui compare un triangolo rettangolo, proprio l’altezza relativa all’ipotenusa, allora il momento risultante sarà proprio nullo in quanto le forze sono uguali e contrarie:
"Cuspide83":
Bad tu fai troppi calcoli e pochi ragionamenti:
Ma questo vuol dire che i miei calcoli sono sbagliati
Non occorre che ritagli pagine di libro e le pubblichi. Non serve a nessuno, tantomeno a te.
Piuttosto, quando uno ti fa una domanda, ti consiglio di fare ricerche su quella domanda, nei libri, su Internet, dove vuoi, e quando ti sei documentato e soprattutto quando hai capito che cosa ti si chiede e che cosa devi rispondere, scrivi la risposta con le tue parole. Ma non arrenderti subito, non chiedere subito : "Che cosa devo rispondere?".
Se ti ho chiesto "che cosa è il braccio di una forza rispetto ad un polo", ho buoni motivi per averlo fatto. Altrimenti, succede che applichi automaticamente la formula del prodotto vettoriale, ma senza renderti conto esattamente qual è il significato fisico del momento di una forza. E questo non va. Lo dico nel tuo interesse, ovviamente. Se una cosa non la impari da solo, a costo di un piccolo sforzo personale, non la impari mai.
E poi, abbi la furbizia di utilizzare quello che già sai e quello che ti è stato detto. Nel caso in esame, ti ho detto che il braccio di entrambe le forze è lo stesso: ne abbiamo già parlato, i bracci dipendono dalla geometria del sistema.
Piuttosto, quando uno ti fa una domanda, ti consiglio di fare ricerche su quella domanda, nei libri, su Internet, dove vuoi, e quando ti sei documentato e soprattutto quando hai capito che cosa ti si chiede e che cosa devi rispondere, scrivi la risposta con le tue parole. Ma non arrenderti subito, non chiedere subito : "Che cosa devo rispondere?".
Se ti ho chiesto "che cosa è il braccio di una forza rispetto ad un polo", ho buoni motivi per averlo fatto. Altrimenti, succede che applichi automaticamente la formula del prodotto vettoriale, ma senza renderti conto esattamente qual è il significato fisico del momento di una forza. E questo non va. Lo dico nel tuo interesse, ovviamente. Se una cosa non la impari da solo, a costo di un piccolo sforzo personale, non la impari mai.
E poi, abbi la furbizia di utilizzare quello che già sai e quello che ti è stato detto. Nel caso in esame, ti ho detto che il braccio di entrambe le forze è lo stesso: ne abbiamo già parlato, i bracci dipendono dalla geometria del sistema.
Scusate, ma se devo esprimere le direzioni che sono uguali e contrarie in termini di gradi, è corretto dire che le direzioni sono opposte sono:
Direzione del momento della forza $ F_(BA) $
$ sen(360^o - beta) $
La direzione è $ tg alpha =(4/3) $ cioè $ alpha = tg^(-1) (4/3) = 53.13^o $
Allora il momento sarà:
$ M_(BA) = r * F*sen (360^o - alpha) $
Sapendo che $ -alpha = -90^o - 53.13^o => alpha = 143.13^o $ allora la direzione sarà:
$ sen [360^o - ( 143.13^o)] $
Direzione del momento della forza $ F_(AB) $
$ sen(180^o - alpha) $
La direzione è $ tan alpha =(3/4) $ cioè $ alpha = tg^(-1) (3/4) = 36.87^o $
Allora il momento sarà:
$ M_(AB) = r * F*sen (180^o - alpha) $
Allora la direzione sarà:
$ sen (180^o - 36.87^o) $
Concludo che le forze sono uguali e contrarie:
Allora:
$ sen(180^o - alpha) = sen (360^o - beta) $
COSA NE DITE DELLE DIREZIONI, è CORRETTO QUELLO CHE HO DETTO
Direzione del momento della forza $ F_(BA) $
$ sen(360^o - beta) $
La direzione è $ tg alpha =(4/3) $ cioè $ alpha = tg^(-1) (4/3) = 53.13^o $
Allora il momento sarà:
$ M_(BA) = r * F*sen (360^o - alpha) $
Sapendo che $ -alpha = -90^o - 53.13^o => alpha = 143.13^o $ allora la direzione sarà:
$ sen [360^o - ( 143.13^o)] $
Direzione del momento della forza $ F_(AB) $
$ sen(180^o - alpha) $
La direzione è $ tan alpha =(3/4) $ cioè $ alpha = tg^(-1) (3/4) = 36.87^o $
Allora il momento sarà:
$ M_(AB) = r * F*sen (180^o - alpha) $
Allora la direzione sarà:
$ sen (180^o - 36.87^o) $
Concludo che le forze sono uguali e contrarie:
Allora:
$ sen(180^o - alpha) = sen (360^o - beta) $
COSA NE DITE DELLE DIREZIONI, è CORRETTO QUELLO CHE HO DETTO
"navigatore":
Non occorre che ritagli pagine di libro e le pubblichi. Non serve a nessuno, tantomeno a te.
Piuttosto, quando uno ti fa una domanda, ti consiglio di fare ricerche su quella domanda, nei libri, su Internet, dove vuoi, e quando ti sei documentato e soprattutto quando hai capito che cosa ti si chiede e che cosa devi rispondere, scrivi la risposta con le tue parole. Ma non arrenderti subito, non chiedere subito : "Che cosa devo rispondere?".
Se ti ho chiesto "che cosa è il braccio di una forza rispetto ad un polo", ho buoni motivi per averlo fatto. Altrimenti, succede che applichi automaticamente la formula del prodotto vettoriale, ma senza renderti conto esattamente qual è il significato fisico del momento di una forza. E questo non va. Lo dico nel tuo interesse, ovviamente. Se una cosa non la impari da solo, a costo di un piccolo sforzo personale, non la impari mai.
E poi, abbi la furbizia di utilizzare quello che già sai e quello che ti è stato detto. Nel caso in esame, ti ho detto che il braccio di entrambe le forze è lo stesso: ne abbiamo già parlato, i bracci dipendono dalla geometria del sistema.
Ok, ho fatto un po di ricerche ed effettivamente ho compreso che essendo il braccio in questi casi in cui compare un triangolo rettangolo, proprio l’altezza relativa all’ipotenusa, allora il momento risultante sarà proprio nullo in quanto le forze sono uguali e contrarie:
Esercizio 4
Non so come bisogna dimostrarlo in termini di formule, ma penso che il concetto fisico l'ho compreso perfettamente, "dico che penso di averlo compreso"
.
Insomma, ci sono due punti $ A $ e $ B $, si hanno le stesse condizioni di massa e velocità, si hanno direzioni uguali ma con verso opposto, si ha una distanza che rende parallele le traiettorie dei punti, ma se si pensa al fatto che il momento della forza di $ A $ è calcolata rispetto ad un punto avente distanza $ D $ che è proprio equivalente al punto $ B $ , e viceversa, si avrà per forza un momento identico, cioè che è lo stesso momento di $ A $ rispetto a $ B $ e di $ B $ rispetto a $ A $!
Non so come bisogna dimostrarlo in termini di formule, ma penso che il concetto fisico l'ho compreso perfettamente, "dico che penso di averlo compreso"
. Insomma, ci sono due punti $ A $ e $ B $, si hanno le stesse condizioni di massa e velocità, si hanno direzioni uguali ma con verso opposto, si ha una distanza che rende parallele le traiettorie dei punti, ma se si pensa al fatto che il momento della forza di $ A $ è calcolata rispetto ad un punto avente distanza $ D $ che è proprio equivalente al punto $ B $ , e viceversa, si avrà per forza un momento identico, cioè che è lo stesso momento di $ A $ rispetto a $ B $ e di $ B $ rispetto a $ A $!
Esercizio 5
Questo mi sembra che sia banalissimo, ho fatto così:
$ L = l_1 + l_2 $
$ L = (M_1 * R_1^2* - omega_z) + (M_2 * R_2^2* - omega_z) $
$ L =- omega_z[(M_1 * R_1^2) + (M_2 * R_2^2)] $
Non capisco cosa vuol far capire questo esercizio
Questo mi sembra che sia banalissimo, ho fatto così:
$ L = l_1 + l_2 $
$ L = (M_1 * R_1^2* - omega_z) + (M_2 * R_2^2* - omega_z) $
$ L =- omega_z[(M_1 * R_1^2) + (M_2 * R_2^2)] $
Non capisco cosa vuol far capire questo esercizio
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