Dinamica del moto rotatorio, momento angolare.
Nello studio del primo paragrafo, cioè Momento angolare di un punto materiale, vi è la formula del momento angolare:
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
$ l = vecr * vecp $
che può essere anche scritta in questo modo:
$ l = r * p*senalpha $
Allora mi chiedo il perchè si moltiplica sempre per $ senalpha $ , insomma, perchè viene utilizzato il seno dell'angolo
Risposte
____
"Bad90":
a) Se il momento angolare di un sistema rispetto a un punto e' nullo, allora il momento risultante delle forze esterne sara' nullo!
b) Si, dovra' essere nulla anche la forza risultante esterna applicata al sistema!
a) io ho detto esattamente il contrario: cioè non è vero che se il momento angolare è nullo, allora deve essere nullo anche il momento meccanico, infatti ti ho scritto che \(M\) non è uguale a zero ma è uguale a
\[M^{E}=v_{O}\times P\]
b) no, perchè la risultante delle forze e il momento meccanico totale sono due grandezze indipendenti, infatti
\[F=\sum_{i}F_{i}\hspace{2 cm}M=\sum_{i}r_{i}\times F_{i}=\sum_{i}r_{i}\times F^{E}\]
cioè se la somma delle forze è nulla non è detto che lo sia anche il momento, infatti se vedi nella definizione del momento meccanico, non hai la somma delle forze ma hai la somma di prodotti vettoriali.
Questo invece non accade per il punto materiale, infatti in questo caso se è nulla la somma è anche nullo il momento
\[F=\sum_{i}F_{i}\hspace{2 cm}M=r_{i}\times\sum_{i}F_{i}\]
"Cuspide83":
[quote="Bad90"]
a) Se il momento angolare di un sistema rispetto a un punto e' nullo, allora il momento risultante delle forze esterne sara' nullo!
b) Si, dovra' essere nulla anche la forza risultante esterna applicata al sistema!
a) io ho detto esattamente il contrario: cioè non è vero che se il momento angolare è nullo, allora deve essere nullo anche il momento meccanico, infatti ti ho scritto che \(M\) non è uguale a zero ma è uguale a
\[M^{E}=v_{O}\times P\]
b) no, perchè la risultante delle forze e il momento meccanico totale sono due grandezze indipendenti, infatti
\[F=\sum_{i}F_{i}\hspace{2 cm}M=\sum_{i}r_{i}\times F_{i}=\sum_{i}r_{i}\times F^{E}\]
cioè se la somma delle forze è nulla non è detto che lo sia anche il momento, infatti se vedi nella definizione del momento meccanico, non hai la somma delle forze ma hai la somma di prodotti vettoriali.
Questo invece non accade per il punto materiale, infatti in questo caso se è nulla la somma è anche nullo il momento
\[F=\sum_{i}F_{i}\hspace{2 cm}M=r_{i}\times\sum_{i}F_{i}\][/quote]
Ok, ma il quesito non mi parlava di momento meccanico, tu come hai fatto a pensare proprio al Momento meccanico?????
"Bad90":
Perchè tu non ci ascolti!!!! Le parole sono importanti!!!!!
Allora il momento della quantità di moto è chiamato momento angolare, il momento della forza è chiamato momento meccanico;
ricorda devi sempre specificare di che momento parli perchè sono cose diverse.
Il quesito ti chiede se il momento angolare è nullo in un polo: allora lo è anche quello meccanico nello stesso polo? oppure, deve essere nulla la risultante delle forze esterne?
"Cuspide83":
[quote="Bad90"]
Perchè tu non ci ascolti!!!! Le parole sono importanti!!!!!
Allora il momento della quantità di moto è chiamato momento angolare, il momento della forza è chiamato momento meccanico;
ricorda devi sempre specificare di che momento parli perchè sono cose diverse.
Il quesito ti chiede se il momento angolare è nullo in un polo: allora lo è anche quello meccanico nello stesso polo? oppure, deve essere nulla la risultante delle forze esterne?[/quote]
Ma non'e' che non ascolto, ma credimi che il testo non mi spiega le cose in modo molto esplicito e non e' facile capirlo!
Adesso ho conpreso quello che volevi dire
Ti ringrazio!
Quesito 19
Sinceramente non sto capendo cosa vuole che debba dire?!?!?!?!
HELPPPPPPPPP
Sinceramente non sto capendo cosa vuole che debba dire?!?!?!?!
HELPPPPPPPPP
Un consiglio che ti dò è imparare la terminologia e non trascurarla, perchè questa è strettamente legata al fenomeno che stai studiando, e così facendo capirai e ricorderai in modo molto rapido, fidati!!!Per esempio se io ti dico che cosa è \(ma\)?
Tu cosa rispondi?
Massa per accelerazione!
Ok bravo! Perchè a questa semplice domanda molti mi rispondono: forza... ma la forza è uguale alla massa per l'accelerazione solo nei sistemi di riferimento inerziali. Come vedi allora, i termini giusti diventano importantissimi per non fare confusione e dire stupidaggini.
"Cuspide83":
Ok bravo! Perchè a questa semplice domanda molti mi rispondono: forza... ma la forza è uguale alla massa per l'accelerazione solo nei sistemi di riferimento inerziali. Come vedi allora, i termini giusti diventano importantissimi per non fare confusione e dire stupidaggini.
Ok, adesso mi sto impallando con il quesito 19!??!?!?
"Bad90":
Quesito 19
Sinceramente non sto capendo cosa vuole che debba dire?!?!?!?!
HELPPPPPPPPP
Il problema ti chiede sostanzialmente: se cambio massa alla mia "trottola" cosa succede al modulo della velocità angolare di precessione?
Beh tu sai che un cambio della massa (sia come distribuzione geometrica che come quantità) porta a una modifica del momento di inerzia del corpo.
Ma tu sai anche che il modulo della velocità angolare di precessione dipende dal momento di inerzia della nostra trottola.
Quindi, se aumento la massa della ruota aumenta il momento di inerzia della stessa; ma se aumenta il momento di inerzia allora diminuisce la velocità angolare di precessione.
Ma questo e' il principio di conservazione del momento angolare, giusto?????
..
Azz, ma tu già alle sei a postare quesiti?!?!?! 
No, non è il principio di conservazione del momento angolore. Semplicemente il quesito ti chiede: se prendiamo due sistemi simili, di cui uno costituito da una ruota con più massa, a parità di velocità di rotazione sul proprio asse, quale differenza c'è tra le velocità angolari di precessione?
Allora, abbiamo detto che la ruota più "pesante" avrà un momento di inerzia maggiore della ruota con meno massa, e quindi la sua velocità angolare di precessione sarà minore rispetto alla velocità di precessione della ruota più "leggera".
Non sò se sai come si calcola la velocità angolare di precessione, è una cosa di questo tipo
\[\omega_{p}=\frac{a}{I\omega}\]
lasciamo stare \(a\) che è un prodotto di alcuni fattori che per ora non ti interessano; comunque come vedi a parità di velocità angolare \(\omega\) la velocità angolare di precessione dipende solo dal momento di inerzia.
"Bad90":
Ma questo e' il principio di conservazione del momento angolare, giusto?????
No, non è il principio di conservazione del momento angolore. Semplicemente il quesito ti chiede: se prendiamo due sistemi simili, di cui uno costituito da una ruota con più massa, a parità di velocità di rotazione sul proprio asse, quale differenza c'è tra le velocità angolari di precessione?
Allora, abbiamo detto che la ruota più "pesante" avrà un momento di inerzia maggiore della ruota con meno massa, e quindi la sua velocità angolare di precessione sarà minore rispetto alla velocità di precessione della ruota più "leggera".
Non sò se sai come si calcola la velocità angolare di precessione, è una cosa di questo tipo
\[\omega_{p}=\frac{a}{I\omega}\]
lasciamo stare \(a\) che è un prodotto di alcuni fattori che per ora non ti interessano; comunque come vedi a parità di velocità angolare \(\omega\) la velocità angolare di precessione dipende solo dal momento di inerzia.
Ma infatti, il momento angolare e' dato dal prodotto della massa per il quadrato del raggio per la velocita' angolare!
Mi sembra chiaro che se aumenta la massa o il raggio, dovra' diminuire la velocita' angolare, oppure viceversa! Ma questo e' prorpio il principio di conservazione del momento angolare!
In sostanza, posso far aumentare il raggio oppure la massa, e' lo stesso in termini di conservazione, perche' si tratta proprio del momento di inerzia $ I= mr^2 $ che aumenta o diminuisce e il tutto influisce sulla velocita' angolare!
Mi sembra chiaro che se aumenta la massa o il raggio, dovra' diminuire la velocita' angolare, oppure viceversa! Ma questo e' prorpio il principio di conservazione del momento angolare!
In sostanza, posso far aumentare il raggio oppure la massa, e' lo stesso in termini di conservazione, perche' si tratta proprio del momento di inerzia $ I= mr^2 $ che aumenta o diminuisce e il tutto influisce sulla velocita' angolare!
No.
Prima di tutto il momento angolare è cosi definito
\[\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\hspace{2 cm}L=rp\sin{\theta}=mrv\sin{\theta}=mrR\omega\sin{\theta}\]
cioè se io prendo un polo generico il prodotto \(r\sin{\theta}\neq R\), quindi vai a rivederti la definizione generale di momento di un vettore.
Seconda cosa
noi stiamo parlando di velocità angolare di precessione cioè la velocità angolare dell'asse di rotazione della ruota attorno all'asse verticale, e non di velocità angolare della ruota.
Prima di tutto il momento angolare è cosi definito
\[\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\hspace{2 cm}L=rp\sin{\theta}=mrv\sin{\theta}=mrR\omega\sin{\theta}\]
cioè se io prendo un polo generico il prodotto \(r\sin{\theta}\neq R\), quindi vai a rivederti la definizione generale di momento di un vettore.
Seconda cosa
"Bad90":
Mi sembra chiaro che se aumenta la massa o il raggio, dovra' diminuire la velocita' angolare, oppure viceversa! Ma questo e' prorpio il principio di conservazione del momento angolare!
In sostanza, posso far aumentare il raggio oppure la massa, e' lo stesso in termini di conservazione, perche' si tratta proprio del momento di inerzia $ I= mr^2 $ che aumenta o diminuisce e il tutto influisce sulla velocita' angolare!
noi stiamo parlando di velocità angolare di precessione cioè la velocità angolare dell'asse di rotazione della ruota attorno all'asse verticale, e non di velocità angolare della ruota.
"Cuspide83":
No.
Prima di tutto il momento angolare è cosi definito
\[\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\hspace{2 cm}L=rp\sin{\theta}=mrv\sin{\theta}=mrR\omega\sin{\theta}\]
cioè se io prendo un polo generico il prodotto \(r\sin{\theta}\neq R\), quindi vai a rivederti la definizione generale di momento di un vettore.
Seconda cosa
[quote="Bad90"]
Mi sembra chiaro che se aumenta la massa o il raggio, dovra' diminuire la velocita' angolare, oppure viceversa! Ma questo e' prorpio il principio di conservazione del momento angolare!
In sostanza, posso far aumentare il raggio oppure la massa, e' lo stesso in termini di conservazione, perche' si tratta proprio del momento di inerzia $ I= mr^2 $ che aumenta o diminuisce e il tutto influisce sulla velocita' angolare!
noi stiamo parlando di velocità angolare di precessione cioè la velocità angolare dell'asse di rotazione della ruota attorno all'asse verticale, e non di velocità angolare della ruota.[/quote]
Ok, stavo facendo un po di confusione.....
Quesito 20
Ma che diamine di quesiti!
Qui si tratta del moto del giroscopio e il testo mi propone di fare esempi utilizzando un povero postino!
Ma secondo voi e' normale esporre i quesiti in questo modo????
Ma che diamine di quesiti!
Qui si tratta del moto del giroscopio e il testo mi propone di fare esempi utilizzando un povero postino!
Ma secondo voi e' normale esporre i quesiti in questo modo????
Esercizio 1
Risoluzione
Lo spazio percorso sarà:
$ 2pir : 360^o = x : 0.87rad $
$ 5.84m : 360^o = x : 49.85^o $
$ x = 0.80m $ (spazio percorso)
Va bene lo spazio percorso???
Come faccio a stabilire il tempo $ t $
Se ricavo il tempo potro' ricavare pa velocita', ma qual'e' il sistema di equazioni????
Ho pensato di impostare il seguente sistema:
$ { ( alpha_(t) = alpha_o + omega_o t + 1/2 g t^2 ),( omega_z = omega_o + g t ):} $
Con questo sistema, sono arrivato alla conclusione, ma non mi trovo con le grandezze !
Ecco qui:
$ { ( t= 0.40s ),( omega_z = 3.96m/s ):} $
Io mi trovo con un momento angolare che non so se e' corretto:
$ l= -(0,93m)^2 *(0.072kg)*(3.96m/s)= -(0.25(kg*m^3)/(s)) $
Il che non mi sembra dimensionalmente corretto, solo che il risultato e' giusto!
Help!!!!!!
Ma dove ho sbagliato???????????
Risoluzione
Lo spazio percorso sarà:
$ 2pir : 360^o = x : 0.87rad $
$ 5.84m : 360^o = x : 49.85^o $
$ x = 0.80m $ (spazio percorso)
Va bene lo spazio percorso???
Come faccio a stabilire il tempo $ t $
Se ricavo il tempo potro' ricavare pa velocita', ma qual'e' il sistema di equazioni????
Ho pensato di impostare il seguente sistema:
$ { ( alpha_(t) = alpha_o + omega_o t + 1/2 g t^2 ),( omega_z = omega_o + g t ):} $
Con questo sistema, sono arrivato alla conclusione, ma non mi trovo con le grandezze
! Ecco qui:
$ { ( t= 0.40s ),( omega_z = 3.96m/s ):} $
Io mi trovo con un momento angolare che non so se e' corretto:
$ l= -(0,93m)^2 *(0.072kg)*(3.96m/s)= -(0.25(kg*m^3)/(s)) $
Il che non mi sembra dimensionalmente corretto, solo che il risultato e' giusto!
Help!!!!!!
Ma dove ho sbagliato???????????
\(1)\) Allora, per ricavare lo spazio percorso non c'era bisogno di fare la proporzione (anche se va bene lo stesso), in quanto DOVRESTI sapere che il rapporto tra arco e raggio è proprio uguale all'angolo sotteso
\[\theta=\frac{s}{R}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}s=R\theta\]
\(2)\) La pallina ha velocità iniziale nulla e si trova in una posizione di non equlibrio tale per cui, sotto l'azione del suo stesso peso si muoverà (almeno inizialmente) sul tratto di circonferenza in senso orario.
Questo vuol dire che il momento angolare della pallina rispetto all'origine del sistema di riferimento avrà: direzione perpendicolare al foglio, verso entrante nello stesso, e modulo
\[L=mRv\]
quindi ti basta solo conoscere la velocità della pallina nel punto in cui vuoi calcolare il momento.
Per calcolare la velocità della pallina hai diverse strade, la più semplice è osservare che sulla stessa agiscono forza peso e reazione vincolare della guida; ora essendo la reazione vincolare sempre perpendicolare allo spostamento il suo lavoro è nullo, ovvero hai solo il lavoro compiuto dalla forza peso, ma ancora essendo questa una forza conservativa puoi applicare il teorema di conservazione dell'energia meccanica
\[mgy_{i}=\frac{1}{2}mv^{2}_{f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v_{f}=\sqrt{2gy_{i}}\]
che sostituita nella relazione sul modulo del momento angolare ti da
\[L=mR\sqrt{2gy_{i}}=mR\sqrt{2gR\sin{\theta}}=m\sqrt{2gR^{3}\sin{\theta}}\]
Ora divertiti a sostituire
\[\theta=\frac{s}{R}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}s=R\theta\]
\(2)\) La pallina ha velocità iniziale nulla e si trova in una posizione di non equlibrio tale per cui, sotto l'azione del suo stesso peso si muoverà (almeno inizialmente) sul tratto di circonferenza in senso orario.
Questo vuol dire che il momento angolare della pallina rispetto all'origine del sistema di riferimento avrà: direzione perpendicolare al foglio, verso entrante nello stesso, e modulo
\[L=mRv\]
quindi ti basta solo conoscere la velocità della pallina nel punto in cui vuoi calcolare il momento.
Per calcolare la velocità della pallina hai diverse strade, la più semplice è osservare che sulla stessa agiscono forza peso e reazione vincolare della guida; ora essendo la reazione vincolare sempre perpendicolare allo spostamento il suo lavoro è nullo, ovvero hai solo il lavoro compiuto dalla forza peso, ma ancora essendo questa una forza conservativa puoi applicare il teorema di conservazione dell'energia meccanica
\[mgy_{i}=\frac{1}{2}mv^{2}_{f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v_{f}=\sqrt{2gy_{i}}\]
che sostituita nella relazione sul modulo del momento angolare ti da
\[L=mR\sqrt{2gy_{i}}=mR\sqrt{2gR\sin{\theta}}=m\sqrt{2gR^{3}\sin{\theta}}\]
Ora divertiti a sostituire
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