Cinematica in due dimensioni-Quesiti
Quesito 1
a) Il vettore posizione genera un angolo di 90 gradi con il vettore velocità, si ha una tangenza con la traiettoria.
b) Il vettore posizione individua un punto in un determinato tempo del corpo, mentre la velocità è la differenza tra due punti e quindi tra due vettori posizione.
c) Una condizione di parallelismo.
d)
e) Le stesse condizioni del punto d).
a) Il vettore posizione genera un angolo di 90 gradi con il vettore velocità, si ha una tangenza con la traiettoria.
b) Il vettore posizione individua un punto in un determinato tempo del corpo, mentre la velocità è la differenza tra due punti e quindi tra due vettori posizione.
c) Una condizione di parallelismo.
d)
e) Le stesse condizioni del punto d).
Risposte
Quesito 23
Risposta
a) $ a_x = - $ negativa.
b) $ a_x = 0 $ nulla.
c) $ a_x = - $ negativa.
Risposta
a) $ a_x = - $ negativa.
b) $ a_x = 0 $ nulla.
c) $ a_x = - $ negativa.
"Bad90":
Quesito 23
Risposta
a) $ a_x = - $ negativa.
b) $ a_x = 0 $ nulla.
c) $ a_x = - $ negativa.
La \(a\) è sbagliata
"Bad90":
Quesito 22
Risposta
a) Nell'istante $ t_1 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = + $ positivo
$ a_x (t) = + $ positivo
b) Nell'istante $ t_2 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = 0 $ nullo
$ a_x (t) = 0 $ nullo
c) Nell'istante $ t_3 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = + $ positivo
$ a_x (t) = + $ positivo
La \(a\) è la \(b\) sono sbagliate
"Cuspide83":
[quote="Bad90"]Quesito 23
Risposta
a) $ a_x = - $ negativa.
b) $ a_x = 0 $ nulla.
c) $ a_x = - $ negativa.
La \(a\) è sbagliata[/quote]
Dimostriamolo innanzitutto in via analitica e poi in via geometrica.
La velocità in funzione del tempo del tuo grafico è una parabola, quindi posso scriverla così
\[v(t)=kt^{2}\]
con \(k>0\) costante. La parabola è però rovesciata quindi dovrò scriverla così
\[v(t)=-kt^{2}\]
però ancora il suo vertice non è nell'origine, quindi prima devo traslarla verso destra di una quantità \(t_{2}\)
\[v(t)=-k(t-t_{2})^{2}\]
e poi traslarla verso l'alto di una quantità \(v(t_{2})=h\)
\[v(t)=-k(t-t_{2})^{2}+h\]
Adesso finalmente hai la tua funzione. L'accelerazione che cosa è? E' la derivata della velocità, quindi
\[a(t)=\frac{dv}{dt}=-2k(t-t_{2})=2kt_{2}-2kt\]
come vedi l'accelerazione è una funzione lineare (il suo grafico è una retta) con un coefficiente angolare \(-2k\) negativo. Se ora la disegni ti accorgerai che in un certo intervallo l'accelerazione è positiva in un altro è negativa.
Riguardo alla via "geometrica" ti ho già risposto in un'altro thread. L'accelerazione è la derivata (fatta rispetto al tempo) della velocità, ma ti avevo anche detto che la derivata rappresenta da un punto di vista geometrico il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione.
Ovvero, prendi le tre rette tangenti al grafico dell'esercizio nei punti di ascissa \(t_{1}, t_{2}, t_{3}\). Come puoi osservare la prima "pende" verso l'alto cioè ha coefficiente angolare \(>0\) quindi l'accelerazione è positiva, la seconda invece è una retta orizzontale quindi il suo coefficiente angolare è \(=0\) quindi l'accelerazione è nulla, e infine l'ultima "pende" verso il basso quindi il suo coefficiente angolare è \(<0\) cioè l'accelerazione è negativa.
Scusami, ma peche' devi traslarla verso l'alto?
Io ho pensato che bisogna traslarla verso il basso, portando il vertice nell'origine, giusto????
Cosa e' che non sto capendo?
Io ho pensato che bisogna traslarla verso il basso, portando il vertice nell'origine, giusto????
Cosa e' che non sto capendo?
No tu "fisicamente" non devi traslare nulla (non saprei neanche a cosa possa servirti), ma devi capire da un "disegno" com'è fatta l'equazione della tua funzione, per poi poterla derivare e ottenere l'accelerazione.
La tua è una parabola rovesciata con vertice nel punto \(P=(t_{2},v(t_{2}))=(t_{2},h)\), quindi sai che partendo dalla funzione \(v(t)=kt^{2}\) che è una parabola (ma non è la tua), attraverso sue "modificazioni" che si traducono in addizioni o moltiplicazioni all'interno della funzione stessa, riesci ad ottenere l'equazione della TUA parabola
\[v(t)=kt^{2}\hspace{0.5 cm}\rightarrow\hspace{0.5 cm}v(t)=-kt^{2}\hspace{0.5 cm}\rightarrow\hspace{0.5 cm}v(t)=-k(t-t_{2})^{2}\hspace{0.5 cm}\rightarrow\hspace{0.5 cm}v(t)=-k(t-t_{2})^{2}+h\]
La tua è una parabola rovesciata con vertice nel punto \(P=(t_{2},v(t_{2}))=(t_{2},h)\), quindi sai che partendo dalla funzione \(v(t)=kt^{2}\) che è una parabola (ma non è la tua), attraverso sue "modificazioni" che si traducono in addizioni o moltiplicazioni all'interno della funzione stessa, riesci ad ottenere l'equazione della TUA parabola
\[v(t)=kt^{2}\hspace{0.5 cm}\rightarrow\hspace{0.5 cm}v(t)=-kt^{2}\hspace{0.5 cm}\rightarrow\hspace{0.5 cm}v(t)=-k(t-t_{2})^{2}\hspace{0.5 cm}\rightarrow\hspace{0.5 cm}v(t)=-k(t-t_{2})^{2}+h\]
Ma lo hai scritto tu che
e poi traslarla verso l'alto di una quantità \(v(t_{2})=h\)
e poi traslarla verso l'alto di una quantità \(v(t_{2})=h\)
Bad un pò di elasticità... Partiamo dall'inizio, come ho già scritto tu non sai qual'è l'equazione della TUA parabola (conosci la forma a parole: parabola rovesciata con un vertice in un punto, ma non conosci la sua struttura analitica che devi assolutamente trovare se no come azz fai a fare i calcoli???).
Tu sai che la parabola simmetrica rispetto all'asse delle ordinate e con vertice nell'origine è "fatta" in questo modo
\[y=kx^{2}\]
ma se tu metti sullo stesso grafico questa e anche la TUA parabola osservi subito che non si sovrappongono (questo vuol dire che l'equazione \(y=kx^{2}\) non descrive la TUA parabola. Quindi attraverso traslazioni (che si fanno aggiungendo o sottraendo un valore alla variabile o alla funzione) "sposti" questa parabola cercando la sovrapposizione. Quando ci riesci, significa che l'equazione che hai trovato descrive la TUA parabola, e quindi poi con quella ci fai quel che ci devi fare in base all'esercizio.
Tu sai che la parabola simmetrica rispetto all'asse delle ordinate e con vertice nell'origine è "fatta" in questo modo
\[y=kx^{2}\]
ma se tu metti sullo stesso grafico questa e anche la TUA parabola osservi subito che non si sovrappongono (questo vuol dire che l'equazione \(y=kx^{2}\) non descrive la TUA parabola. Quindi attraverso traslazioni (che si fanno aggiungendo o sottraendo un valore alla variabile o alla funzione) "sposti" questa parabola cercando la sovrapposizione. Quando ci riesci, significa che l'equazione che hai trovato descrive la TUA parabola, e quindi poi con quella ci fai quel che ci devi fare in base all'esercizio.
Senza nulla togliere alla corretta spiegazione matematica di Cuspide, vorrei farti notare qualcosa di più immediato, diciamo "pratico" ( quanto odio questo aggettivo! Talvolta conviene usare appunto un metodo pratico). Cuspide è un ragazzo in gamba, non se la prenderà per questo.
LA curva rappresentata, non è neppure detto che sia una parabola. È solo un possibile grafico della funzione $v(t)$ , cioè "velocità funzione del tempo". Prendi allora il primo istante $t_1$. Un po' prima di tale istante la velocità ha un certo valore, che poi aumenta, cioè "cresce" all'aumentare del tempo. Infatti proprio in $t_1$ vale un po' di piu, e poco dopo $t_1$ vale ancora di più. Questa situazione si descrive in rigorosi termini matematici dicendo che in $t_1$ la funzione $v(t)$ è crescente, anzi in questo caso "strettamente crescente"
E se la velocita cresce col tempo, vuol dire che il moto in quell'istante avviene con accelerazione "positiva".
Adesso, lascio a te fare gli analoghi ragionamenti, negli istanti $t_2$ e $t_3$.
LA curva rappresentata, non è neppure detto che sia una parabola. È solo un possibile grafico della funzione $v(t)$ , cioè "velocità funzione del tempo". Prendi allora il primo istante $t_1$. Un po' prima di tale istante la velocità ha un certo valore, che poi aumenta, cioè "cresce" all'aumentare del tempo. Infatti proprio in $t_1$ vale un po' di piu, e poco dopo $t_1$ vale ancora di più. Questa situazione si descrive in rigorosi termini matematici dicendo che in $t_1$ la funzione $v(t)$ è crescente, anzi in questo caso "strettamente crescente"
E se la velocita cresce col tempo, vuol dire che il moto in quell'istante avviene con accelerazione "positiva".
Adesso, lascio a te fare gli analoghi ragionamenti, negli istanti $t_2$ e $t_3$.
Quoto quanto dice navigatore. Infatti il metodo "geometrico" che ti ho illustrato anche nell'altro thred e che ha ribadito navigatore è sufficiente (e più intuitivo).
Nav. come al solito riesci a rendere la vita facile a tutti!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
"Cuspide83":
[quote="Bad90"]Quesito 22
Risposta
a) Nell'istante $ t_1 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = + $ positivo
$ a_x (t) = + $ positivo
b) Nell'istante $ t_2 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = 0 $ nullo
$ a_x (t) = 0 $ nullo
c) Nell'istante $ t_3 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = + $ positivo
$ a_x (t) = + $ positivo
La \(a\) è la \(b\) sono sbagliate[/quote]
Senza tante complicazioni di calcoli ragionamenti ecc....., concludo dicendoti che:
Quando una curva sale la sua derivata è positiva; quando scende la derivata è negativa; quando né sale né scende la derivata è nulla. Non serve nemmeno conoscere le traslazioni per rispondere ad una domanda del genere, quindi:
Risposta
a) Nell'istante $ t_1 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = - $ positivo
$ a_x (t) = - $ positivo
b) Nell'istante $ t_2 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = 0 $ nullo
$ a_x (t) = 0 $ nullo
c) Nell'istante $ t_3 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = + $ positivo
$ a_x (t) = + $ positivo
"Bad90":
Senza tante complicazioni di calcoli ragionamenti ecc....., concludo dicendoti che:
Quando una curva sale la sua derivata è positiva; quando scende la derivata è negativa; quando né sale né scende la derivata è nulla. Non serve nemmeno conoscere le traslazioni per rispondere ad una domanda del genere, quindi:
Risposta
a) Nell'istante $ t_1 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = - $ positivo
$ a_x (t) = - $ positivo
b) Nell'istante $ t_2 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = 0 $ nullo
$ a_x (t) = 0 $ nullo
c) Nell'istante $ t_3 $ i segni algebrici saranno:
$ v_x (t) = + $ positivo
$ a_x (t) = + $ positivo
Si.. infatti continui a sbagliare........................................................................................................................................
Comunque come sempre ti dò due strade (scegli quella che ti garba di più).
\(1)\) Via analitica: con \(k>0\) hai
\[x(t)=k(t-t_{2})^{2}+h\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v(t)=\frac{dx}{dt}=2k(t-t_{2})\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}a(t)=\frac{dv}{dt}=2k\]
Come vedi l'accelerazione è una costante positiva (una retta orizzontale che sta al di sopra dell'asse delle ascisse) e quindi il suo segno è sempre positivo.
La velocità invece è una funzione lineare (una retta con coefficiente angolare \(2k>0\)) che per \(tt_{2}\) è positiva.
Quindi i segni sono: \(v(t)=(-,\oslash,+)\) e \(a(t)=(+,+,+)\)
\(2)\) Via geometrica:
Il moto che stai descrivendo è un moto rettilineo unifomemente accelerato, quindi in funzione del tempo "lo spazio è una parabola, la velocità è una retta (con pendenza non nulla), l'accelerazione è una costante".
Lo spazio "scende, si ferma e poi risale" quindi la velocità è \(v(t)=(-,\oslash,+)\). La velocità invece sale sempre quindi l'accelerazione è \(a(t)=(+,+,+)\).
(tutto questo perchè la parabola ha la concavità verso l'alto, se fosse rovesciata, il discorso sarebbe opposto)
\(1)\) Via analitica: con \(k>0\) hai
\[x(t)=k(t-t_{2})^{2}+h\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v(t)=\frac{dx}{dt}=2k(t-t_{2})\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}a(t)=\frac{dv}{dt}=2k\]
Come vedi l'accelerazione è una costante positiva (una retta orizzontale che sta al di sopra dell'asse delle ascisse) e quindi il suo segno è sempre positivo.
La velocità invece è una funzione lineare (una retta con coefficiente angolare \(2k>0\)) che per \(t
Quindi i segni sono: \(v(t)=(-,\oslash,+)\) e \(a(t)=(+,+,+)\)
\(2)\) Via geometrica:
Il moto che stai descrivendo è un moto rettilineo unifomemente accelerato, quindi in funzione del tempo "lo spazio è una parabola, la velocità è una retta (con pendenza non nulla), l'accelerazione è una costante".
Lo spazio "scende, si ferma e poi risale" quindi la velocità è \(v(t)=(-,\oslash,+)\). La velocità invece sale sempre quindi l'accelerazione è \(a(t)=(+,+,+)\).
(tutto questo perchè la parabola ha la concavità verso l'alto, se fosse rovesciata, il discorso sarebbe opposto)
Mi sto impallando con questo :
Ho pensato che bisogna trattare il moto lungo la x e il moto lungo la y, solo che se non sto tovando la combinazione delle equazioni!
Insomma, essendo un moto decelerato in x, ho pensato di utilizzare la seguente:
$ v_x^2 - v_(x0)^2 = 2a_x(x_f - x_i) $
Ma poi cosa devo utilizzare per la y
Ho pensato che bisogna trattare il moto lungo la x e il moto lungo la y, solo che se non sto tovando la combinazione delle equazioni!
Insomma, essendo un moto decelerato in x, ho pensato di utilizzare la seguente:
$ v_x^2 - v_(x0)^2 = 2a_x(x_f - x_i) $
Ma poi cosa devo utilizzare per la y
Hai gia studiato i moti relativi?
"Cuspide83":
Hai gia studiato i moti relativi?
Si, ma non riesco a capire la chiave risolutiva!
Qui c'e' un esempio:
http://www.ba.infn.it/~palano/chimica/b ... index.html
Ok, ma come devo impostar il ragionamento che porta alla soluzione???
Ciao, in realtà è abbastanza semplice: qual è il tempo che ci mette il corpo ad effettuare il percorso salita + discesa? Lo ricavi da queste relazioni $$
\begin{cases}
t_{tot} = 2\cdot t_{salita}\\
0 = v_0 - g\cdot t_{salita} \end{cases} \Rightarrow t_{tot} = \frac{2v_0}{g}. $$ A questo punto ti devi chiedere: "Quanto spazio percorre il treno sotto al corpo in questo lasso di tempo?" Risposta $$
\Delta s = -\frac{1}{2}At_{tot}^2 = -\frac{1}{2}A \frac{4v_0^2}{g^2} = -\frac{2Av_0^2}{g^2}.
$$
\begin{cases}
t_{tot} = 2\cdot t_{salita}\\
0 = v_0 - g\cdot t_{salita} \end{cases} \Rightarrow t_{tot} = \frac{2v_0}{g}. $$ A questo punto ti devi chiedere: "Quanto spazio percorre il treno sotto al corpo in questo lasso di tempo?" Risposta $$
\Delta s = -\frac{1}{2}At_{tot}^2 = -\frac{1}{2}A \frac{4v_0^2}{g^2} = -\frac{2Av_0^2}{g^2}.
$$
Si tratta di un moto parabolico, il tempo equivale a due volte il tmpo di salita!
Ti ringrazio, era veramente semplice!
Ti ringrazio, era veramente semplice!
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