Cinematica in due dimensioni-Quesiti
Quesito 1
a) Il vettore posizione genera un angolo di 90 gradi con il vettore velocità, si ha una tangenza con la traiettoria.
b) Il vettore posizione individua un punto in un determinato tempo del corpo, mentre la velocità è la differenza tra due punti e quindi tra due vettori posizione.
c) Una condizione di parallelismo.
d)
e) Le stesse condizioni del punto d).
a) Il vettore posizione genera un angolo di 90 gradi con il vettore velocità, si ha una tangenza con la traiettoria.
b) Il vettore posizione individua un punto in un determinato tempo del corpo, mentre la velocità è la differenza tra due punti e quindi tra due vettori posizione.
c) Una condizione di parallelismo.
d)
e) Le stesse condizioni del punto d).
Risposte
Ma hai fatto i passaggi al contrario 
Hai iniziato da dopo l'urto?
Poi non capisco perchè l'altezza deve essere $ h = L*cosalpha $ quando io penso che sia $ h =L- L*cosalpha $
E poi se si ha un urto del genere, non pensi che la prima pallina si ferma e trasmetta la quantità di moto alla seconda?
HELPPPPPP
Cuspide, non sto capendo la tua sequenza di passaggi, perdonami, ma non capisco nemmeno perchè scrivi questo:
\[\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}+\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}}(v^{2}_{2i}-v^{2}_{2f})=2(v^{2}_{2i}-v^{2}_{2f})\]
Ma da dove deduci che ci sia un movimento di entrambi le palline dopo l'urto?
Se le masse sono uguali e una pallina inizialmente è ferma, le equazioni sono le seguenti:
$ { ( (m_1*v_1)_i = (m_2*v_2)_f ),( (m_1v_1^2)_i =(m_2v_2^2)_f ):} $
In attesa di questi chiarimenti, spero di capire cosa vuole questo esercizio!
Hai iniziato da dopo l'urto? Poi non capisco perchè l'altezza deve essere $ h = L*cosalpha $ quando io penso che sia $ h =L- L*cosalpha $
E poi se si ha un urto del genere, non pensi che la prima pallina si ferma e trasmetta la quantità di moto alla seconda?
HELPPPPPP
Cuspide, non sto capendo la tua sequenza di passaggi, perdonami, ma non capisco nemmeno perchè scrivi questo:
\[\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}+\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}}(v^{2}_{2i}-v^{2}_{2f})=2(v^{2}_{2i}-v^{2}_{2f})\]
Ma da dove deduci che ci sia un movimento di entrambi le palline dopo l'urto?
Se le masse sono uguali e una pallina inizialmente è ferma, le equazioni sono le seguenti:
$ { ( (m_1*v_1)_i = (m_2*v_2)_f ),( (m_1v_1^2)_i =(m_2v_2^2)_f ):} $
In attesa di questi chiarimenti, spero di capire cosa vuole questo esercizio!
Ho iniziato a studiare il moto dopo l'urto perchè l'incognità che a me interessa si trova nelle equazioni del moto successivo all'urto.
Studiandole ci si accorge che manca un dato (oltre alla lunghezza \(l\)), e ti chiedi da dove lo prendo questo dato? Allora ti rispondi beh dallo studio dell'urto. Ma studiando l'urto ti accorgi che ti manca anche qui una quantità, e ti chiedi da dove la ricavo? Beh la ricavo studiando il moto di \(m_{2}\) prima dell'urto.
Per l'altezza guarda la figura
Per i "passaggi": abbiamo detto che l'urto è di tipo elastico quindi si ha la conservazione della quantità di moto totale del sistema
\[\vec{P}_{i}=m_{1}\vec{v}_{1i}+m_{2}\vec{v}_{2i}=m_{1}\vec{v}_{1f}+m_{2}\vec{v}_{2f}=\vec{P}_{f}\]
e si ha anche la conservazione dell'energia cinetica totale del sistema
\[E_{ki}=E_{1i}+E_{2i}=E_{1f}+E_{2f}=E_{kf}\]
(l'urto ricordati lo puoi studiare anche nel centro di massa del sistema).
Studiandole ci si accorge che manca un dato (oltre alla lunghezza \(l\)), e ti chiedi da dove lo prendo questo dato? Allora ti rispondi beh dallo studio dell'urto. Ma studiando l'urto ti accorgi che ti manca anche qui una quantità, e ti chiedi da dove la ricavo? Beh la ricavo studiando il moto di \(m_{2}\) prima dell'urto.
Per l'altezza guarda la figura
Per i "passaggi": abbiamo detto che l'urto è di tipo elastico quindi si ha la conservazione della quantità di moto totale del sistema
\[\vec{P}_{i}=m_{1}\vec{v}_{1i}+m_{2}\vec{v}_{2i}=m_{1}\vec{v}_{1f}+m_{2}\vec{v}_{2f}=\vec{P}_{f}\]
e si ha anche la conservazione dell'energia cinetica totale del sistema
\[E_{ki}=E_{1i}+E_{2i}=E_{1f}+E_{2f}=E_{kf}\]
(l'urto ricordati lo puoi studiare anche nel centro di massa del sistema).
Perdonami ancora, adesso ho capito come hai considerato l'altezza, ma credimi che non sto capendo un granchè dai passaggi come li hai esposti!
Sono sicuro che si possano esprimere in modo molto più chiaro e comprensibile, ma questo è sempre per colpa della mia capacità limitata di comprendere delle formule .....
Perdonami se ti faccio stressare, adesso vedo di capire e fare tesoro di quanto mi hai spiegato, appena capisco il tutto, ti autorizzo a darmi 100 di queste
Sono sicuro che si possano esprimere in modo molto più chiaro e comprensibile, ma questo è sempre per colpa della mia capacità limitata di comprendere delle formule .....
Perdonami se ti faccio stressare, adesso vedo di capire e fare tesoro di quanto mi hai spiegato, appena capisco il tutto, ti autorizzo a darmi 100 di queste
Allora, vediamo di scrivere i passaggi cominciando a ritroso...
Inizialmente ho:
$ m_2gh_2 =1/2m_2v_2^2 $
Con $ h_2 = l*cosalpha $
Ovviamente abbiamo in questo caso, una velocità di $ m_2 $ acquisita dall'urto che è proprio:
$ v_2^2 = 2g*lcosalpha $
Abbiamo una quantità di moto:
$ m_2 v_2 = m_1v_1 $
Perchè tu ci metti pure $ (m_2 v_2)_i = m_1v_1 +(m_2 v_2)f $
Mi stai facendo incasinare
Inizialmente ho:
$ m_2gh_2 =1/2m_2v_2^2 $
Con $ h_2 = l*cosalpha $
Ovviamente abbiamo in questo caso, una velocità di $ m_2 $ acquisita dall'urto che è proprio:
$ v_2^2 = 2g*lcosalpha $
Abbiamo una quantità di moto:
$ m_2 v_2 = m_1v_1 $
Perchè tu ci metti pure $ (m_2 v_2)_i = m_1v_1 +(m_2 v_2)f $
Mi stai facendo incasinare
Bad durante l'urto siccome questo è di tipo elastico si conservano quantità di moto TOTALE (cioè del sistema \(m_{1},m_{2}\)) ed energia cinetica totale.
Se un cosa si conserva significa che quella cosa "prima e dopo" sarà sempre la stessa cosa
\[\vec{P}_{i}=\vec{P}_{f}\hspace{2 cm}E_{ki}=E_{kf}\]
La massa \(m_{1}\) ha solo velocità e quindi energia cinetica alla fine dell'urto; la massa \(m_{2}\) invece ha velocità (e quindi una certa energia cinetica) sia all'inizio che alla fine dell'urto (ovviamente diverse perchè parte dell'energia è stata trasferita per mettere in moto la massa \(m_{1}\)).
La cosa interessante è proprio questa che l'energia cinetica totale non viene "sperperata" (in questo tipo di urto), ad esempio in un urto completamente anelastico (le masse dopo l'urto rimangono attaccate) parte dell'energia viene "consumata" per deformare i corpi e far si che rimangano appunto attaccati.
Se un cosa si conserva significa che quella cosa "prima e dopo" sarà sempre la stessa cosa
\[\vec{P}_{i}=\vec{P}_{f}\hspace{2 cm}E_{ki}=E_{kf}\]
La massa \(m_{1}\) ha solo velocità e quindi energia cinetica alla fine dell'urto; la massa \(m_{2}\) invece ha velocità (e quindi una certa energia cinetica) sia all'inizio che alla fine dell'urto (ovviamente diverse perchè parte dell'energia è stata trasferita per mettere in moto la massa \(m_{1}\)).
La cosa interessante è proprio questa che l'energia cinetica totale non viene "sperperata" (in questo tipo di urto), ad esempio in un urto completamente anelastico (le masse dopo l'urto rimangono attaccate) parte dell'energia viene "consumata" per deformare i corpi e far si che rimangano appunto attaccati.
E quindi è proprio per questo motivo che ci metti una quantità di moto finale, cioè questo:
$ (m_2 v_2)_i = m_1v_1 +(m_2 v_2)f $
$ (m_2 v_2)_i = m_1v_1 +(m_2 v_2)f $
"Cuspide83":
\[\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{v}_{2f}=\frac{(m_{2}v_{2i}-m_{1}v_{1})}{m_{2}}\vec{u}=\frac{(2v_{2i}-v_{1})}{2}\vec{u}\]
Ma da dove lo hai preso quel 2 al secondo membro che moltiplica la velocità $ 2v_(2i) $
E poi non ho nemmeno capito l'ultimo passaggio che hai scritto
\[\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{2f}=\frac{(2v_{2i}-v_{1})^{2}}{4}\]
yeah!!! 
Mi è venuto perchè il testo dice che \(m_{2}=2m_{1}\) e che \(m_{1}=m\).
Il secondo ho preso il modulo quadro perchè nella formula a noi serviva elevato al quadrato
Mi è venuto perchè il testo dice che \(m_{2}=2m_{1}\) e che \(m_{1}=m\).
Il secondo ho preso il modulo quadro perchè nella formula a noi serviva elevato al quadrato
"Cuspide83":
yeah!!!
Mi è venuto perchè il testo dice che \(m_{2}=2m_{1}\) e che \(m_{1}=m\).
Il secondo ho preso il modulo quadro perchè nella formula a noi serviva elevato al quadrato
Adesso ho capito!
Ma perchè serviva al quadrato?
Insomma, qual'è stato il passaggio che ti ha fatto capire che devi utilizzare il quadrato???
Io penso che mi stai facendo incasinare, perchè se tutto si conserva, per quale motivo devo cominciare dalla fine
Ciò che è all'inizio sarà per forza alla fine!
Amico mio Cuspide, non vorrei che devo fare io così?
Mi stai facendo andare a Roma passando da Amsterdam
Certe volte non ti capisco
Ciò che è all'inizio sarà per forza alla fine!
Amico mio Cuspide, non vorrei che devo fare io così?
Mi stai facendo andare a Roma passando da Amsterdam
Certe volte non ti capisco
Perchè noi vogliamo ricavare \(v^{2}_{1}\) dalla conservazione dell'energia cinetica durante l'urto ed era uscita la formula
\[v^{2}_{1}=2(v^{2}_{2i}-v^{2}_{2f})\]
e a noi come vedi serve al quadrato.
Comunque io ho scritto la conservazione della quantità di moto in forma vettoriale. Però puoi osservare come all'inizio e alla fine dell'urto le velocità sono praticamente orizzontali quindi puoi proiettarle su un asse orizzontale ottenendo
\[m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2}\]
(forse avevo sbagliato anche io un segno quindi stai sempre attento) la velocità di \(m_{1}\) è rivolta verso sinistra concorde alla velocità iniziale di \(m_{2}\) ma discorde alla velocità finale di \(m_{2}\) che è rivolta verso destra.
\[v^{2}_{1}=2(v^{2}_{2i}-v^{2}_{2f})\]
e a noi come vedi serve al quadrato.
Comunque io ho scritto la conservazione della quantità di moto in forma vettoriale. Però puoi osservare come all'inizio e alla fine dell'urto le velocità sono praticamente orizzontali quindi puoi proiettarle su un asse orizzontale ottenendo
\[m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2}\]
(forse avevo sbagliato anche io un segno quindi stai sempre attento) la velocità di \(m_{1}\) è rivolta verso sinistra concorde alla velocità iniziale di \(m_{2}\) ma discorde alla velocità finale di \(m_{2}\) che è rivolta verso destra.
"Bad90":
I
Ciò che è all'inizio sarà per forza alla fine!
Ricorda che noi stiamo sempre considerando solo un piccolo intervallino di tempo durante il quale avviene l'urto. La conservazione delle due grandezze la devi applicare solo in questo PIIIIIIIIIIIIIIIIIIIccOLiSSIMO intervallo di tempo.
Cuspide, ti posso chiedere per favore se metti da parte questo tua mitragliatrice di equazioni
Potresti commentare quello che hai fatto senza tante equazioni e dire ciò che succede e che va fatto
E da ieri che cerco di comprenderti, ma non ti capisco e non riesco a seguirti!
Perdonami, ma devi posare quella mitragliatrice, perchè non si capisce nulla
Potresti commentare quello che hai fatto senza tante equazioni e dire ciò che succede e che va fatto
E da ieri che cerco di comprenderti, ma non ti capisco e non riesco a seguirti!
Perdonami, ma devi posare quella mitragliatrice, perchè non si capisce nulla
Aspetta che sto scrivendo.
"Cuspide83":
Aspetta che sto scrivendo.
Ok, ti ringrazio
Dico questo perchè ho rivisto gli esercizi dove tu cercavi di aiutarmi, comprendendo il significato, si arriva al risultato in pochi minuti, mentre tu spari formule e non si capisce un bel niente e si perde solo tempo
Il mio amico Nav. ha ragione, si deve comprendere il concetto Fisico, ma come fai tù, non conviene farlo
Permettimi di dirtelo, ma mi sembra che tu hai molto tempo da perdere
Supponiamo che io una sera ti chieda di dirmi dove hai messo le chiavi (e che tu non lo ricordi). Quando pensi a dove le hai messe, in genere parti a ritroso e dici qual'è l'ultima cosa che ho fatto etc etc... non parti dal mattino quando ti sei svegliato, perchè sicuramente andrai a pescare nella memoria informazioni che POTREBBERO essere inutili.
La stessa cosa ho fatto qui. COSA NE Sò che studiare il moto della massa \(m_{2}\) (quella che viene mossa per prima) mi porti a ottenere informazioni importanti?!? Potrebbe anche essere che le informazioni che ho sono gia sufficienti per risolvere il problema (e quindi eventualmente farei solo calcoli inutili).
Quindi io devo calcolare l'angolo massimo \(\theta\) formato tra filo e verticale. Siccome sulla massa \(m_{1}\) (dopo l'urto) agiscono solo forza peso e tensione del filo (ma questa è sempre ortogonale allo spostamento) sò che posso utilizzare la conservazione dell'energia meccanica
\[m_{1}gh=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\cos{\theta}=\frac{v^{2}_{1}}{2gl}\]
A questo punto posso calcolarmi l'angolo??? NO! perchè non conosco il quadrato della velocità \(v_{1}\) e la lunghezza \(l\). Per la lunghezza PREGO la madonna affinché scompaia successivamente con qualche semplificazione, per la velocità invece HO un'ILLUMINAZIONE! Potrei calcolarla studiando il moto dell'urto!!!
Beh l'urto è di tipo elastico quindi sò che all'inizio e alla fine dell'urto la quantità di moto TOTALE e l'energia cinetica TOTALE (non di ogni singolo termine) del sistema non deve essere cambiata.
Quindi si hanno due equazioni che devi mettere a sistema per calcolarti la velocità che ci interessa:
\[i)\hspace{2 cm}\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}+\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2f}\]
\[ii)\hspace{2 cm}m_{2}\vec{v}_{2i}=m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2f}\]
(la \(ii\) è una equazione vettoriale perchè le quantità di moto sono vettori, quindi ho dovuto proiettarla come fai per le forze lungo un asse. Le velocità durante l'urto sono orizzontali quindi le proietto orizzontalmente. \(m_{1}\) dopo l'urto và a sinistra, \(m_{2}\) invece prima dell'urto va a sinistra e dopo l'urto va a destra quindi ho messo un segno meno davanti)
Adesso prima di fare il sistema controlliamo quante incognite abbiamo. Infatti abbiamo due equazioni per un massimo di due incognite (cioè non DOBBIAMO avere piu di due incognite). Allora le masse le abbiamo.... e basta... Non abbiamo \(v_{1}\) (che è quella che vogliamo calcolare), ma non abbiamo neanche \(v_{2i}\) e \(v_{2f}\), cioè abbiamo \(3\) incognite.... siamo incartati.... NO!!! Perchè osservo che \(v_{2i}\) la posso calcolare dallo studio del moto della massa \(m_{2}\) prima dell'urto (cioè le mie incognite si riducono a due e posso fare il sistema). Prima di fare il sistema calcoliamoci la velocità iniziale (intesa come velocità che ha prima dell'urto) di \(m_{2}\). Come sempre sulla massa agiscono solo la forza peso e la tensione del filo, ma quest'ultima è sempre ortogonale alla traiettoria (quindi non compie lavoro) e perciò vale la conservazione dell'energia meccanica
\[m_{2}gh'=\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2i}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{2i}=2gh'=2gl\cos{\alpha}\]
A questo punto posso FINALMENTE fare il mio sistema, dalla \(i\) ricavo (ricordando che \(m_{1}=m\) e \(m_{2}=2m\))
\[v_{2f}=\frac{1}{m_{2}}(m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2i})=\frac{(v_{1}-2v_{2i})}{2}\]
che sostituisco nella \(ii\) per potermi ricavare \(v^{2}_{1}\)
\[v^{2}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}}(v^{2}_{2i}-v^{2}_{2f})=2\left[v^{2}_{2i}-\left(\frac{v_{1}-2v_{2i}}{2}\right)^{2}\right]=2\left[v^{2}_{2i}-\frac{v^{2}_{1}+4v^{2}_{2i}-4v_{1}v_{2i}}{4}\right]=\]
\[=2\left[\frac{4v^{2}_{2i}-v^{2}_{1}-4v^{2}_{2i}+4v_{1}v_{2i}}{4}\right]=\frac{4v_{1}v_{2i}-v^{2}_{1}}{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}2v^{2}_{1}=4v_{1}v_{2i}-v^{2}_{1}\]
\[\Rightarrow\hspace{1 cm}v_{1}=\frac{4}{3}v_{2i}\]
Adesso riprendiamo la nostra equazione di partenza
\[\cos{\theta}=\frac{v^{2}_{1}}{2gl}=\frac{1}{2gl}\frac{14}{9}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2gl}\frac{14}{9}2gl\cos{\alpha}=\frac{14}{9}\cos{\alpha}\]
La stessa cosa ho fatto qui. COSA NE Sò che studiare il moto della massa \(m_{2}\) (quella che viene mossa per prima) mi porti a ottenere informazioni importanti?!? Potrebbe anche essere che le informazioni che ho sono gia sufficienti per risolvere il problema (e quindi eventualmente farei solo calcoli inutili).
Quindi io devo calcolare l'angolo massimo \(\theta\) formato tra filo e verticale. Siccome sulla massa \(m_{1}\) (dopo l'urto) agiscono solo forza peso e tensione del filo (ma questa è sempre ortogonale allo spostamento) sò che posso utilizzare la conservazione dell'energia meccanica
\[m_{1}gh=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\cos{\theta}=\frac{v^{2}_{1}}{2gl}\]
A questo punto posso calcolarmi l'angolo??? NO! perchè non conosco il quadrato della velocità \(v_{1}\) e la lunghezza \(l\). Per la lunghezza PREGO la madonna affinché scompaia successivamente con qualche semplificazione, per la velocità invece HO un'ILLUMINAZIONE! Potrei calcolarla studiando il moto dell'urto!!!
Beh l'urto è di tipo elastico quindi sò che all'inizio e alla fine dell'urto la quantità di moto TOTALE e l'energia cinetica TOTALE (non di ogni singolo termine) del sistema non deve essere cambiata.
Quindi si hanno due equazioni che devi mettere a sistema per calcolarti la velocità che ci interessa:
\[i)\hspace{2 cm}\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}+\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2f}\]
\[ii)\hspace{2 cm}m_{2}\vec{v}_{2i}=m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2f}\]
(la \(ii\) è una equazione vettoriale perchè le quantità di moto sono vettori, quindi ho dovuto proiettarla come fai per le forze lungo un asse. Le velocità durante l'urto sono orizzontali quindi le proietto orizzontalmente. \(m_{1}\) dopo l'urto và a sinistra, \(m_{2}\) invece prima dell'urto va a sinistra e dopo l'urto va a destra quindi ho messo un segno meno davanti)
Adesso prima di fare il sistema controlliamo quante incognite abbiamo. Infatti abbiamo due equazioni per un massimo di due incognite (cioè non DOBBIAMO avere piu di due incognite). Allora le masse le abbiamo.... e basta... Non abbiamo \(v_{1}\) (che è quella che vogliamo calcolare), ma non abbiamo neanche \(v_{2i}\) e \(v_{2f}\), cioè abbiamo \(3\) incognite.... siamo incartati.... NO!!! Perchè osservo che \(v_{2i}\) la posso calcolare dallo studio del moto della massa \(m_{2}\) prima dell'urto (cioè le mie incognite si riducono a due e posso fare il sistema). Prima di fare il sistema calcoliamoci la velocità iniziale (intesa come velocità che ha prima dell'urto) di \(m_{2}\). Come sempre sulla massa agiscono solo la forza peso e la tensione del filo, ma quest'ultima è sempre ortogonale alla traiettoria (quindi non compie lavoro) e perciò vale la conservazione dell'energia meccanica
\[m_{2}gh'=\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2i}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{2i}=2gh'=2gl\cos{\alpha}\]
A questo punto posso FINALMENTE fare il mio sistema, dalla \(i\) ricavo (ricordando che \(m_{1}=m\) e \(m_{2}=2m\))
\[v_{2f}=\frac{1}{m_{2}}(m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2i})=\frac{(v_{1}-2v_{2i})}{2}\]
che sostituisco nella \(ii\) per potermi ricavare \(v^{2}_{1}\)
\[v^{2}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}}(v^{2}_{2i}-v^{2}_{2f})=2\left[v^{2}_{2i}-\left(\frac{v_{1}-2v_{2i}}{2}\right)^{2}\right]=2\left[v^{2}_{2i}-\frac{v^{2}_{1}+4v^{2}_{2i}-4v_{1}v_{2i}}{4}\right]=\]
\[=2\left[\frac{4v^{2}_{2i}-v^{2}_{1}-4v^{2}_{2i}+4v_{1}v_{2i}}{4}\right]=\frac{4v_{1}v_{2i}-v^{2}_{1}}{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}2v^{2}_{1}=4v_{1}v_{2i}-v^{2}_{1}\]
\[\Rightarrow\hspace{1 cm}v_{1}=\frac{4}{3}v_{2i}\]
Adesso riprendiamo la nostra equazione di partenza
\[\cos{\theta}=\frac{v^{2}_{1}}{2gl}=\frac{1}{2gl}\frac{14}{9}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2gl}\frac{14}{9}2gl\cos{\alpha}=\frac{14}{9}\cos{\alpha}\]
Ma in sostanza la velocità di $ m_2 $ prima dell'urto, si intende quando parte dalla posizione in cui si trova nell'immagine, giusto?
Nell'immagine, tu hai considerato $ m_2 $ la pallina di destra che ha massa $ 2m $ e $ m_1 $ quella che è ferma, giusto
Adesso devo confermare che hai posato la mitragliatrice e sei stato veramente bravo a farmi capire i concetti
Poi qui hai fatto un errore:
\[\cos{\theta}=\frac{v^{2}_{1}}{2gl}=\frac{1}{2gl}\frac{14}{9}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2gl}\frac{14}{9}2gl\cos{\alpha}=\frac{14}{9}\cos{\alpha}\]
deve essere cosi:
\[\cos{\theta}=\frac{v^{2}_{1}}{2gl}=\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}2gl\cos{\alpha}=\frac{16}{9}\cos{\alpha}\]
Nell'immagine, tu hai considerato $ m_2 $ la pallina di destra che ha massa $ 2m $ e $ m_1 $ quella che è ferma, giusto
Adesso devo confermare che hai posato la mitragliatrice e sei stato veramente bravo a farmi capire i concetti
Poi qui hai fatto un errore:
\[\cos{\theta}=\frac{v^{2}_{1}}{2gl}=\frac{1}{2gl}\frac{14}{9}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2gl}\frac{14}{9}2gl\cos{\alpha}=\frac{14}{9}\cos{\alpha}\]
deve essere cosi:
\[\cos{\theta}=\frac{v^{2}_{1}}{2gl}=\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}v^{2}_{2i}=\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}2gl\cos{\alpha}=\frac{16}{9}\cos{\alpha}\]
Ma poi è possibile che si ha un angolo di oscillazione di $ 1.72^o $
Si le masse le ho considerate cosi come hai detto (d'altra parte basta vedere le rispettive equazioni del moto).
Per l'errore di calcolo CONTROLLACI sempre (anche perchè mentre ti rispondo spesso faccio altro e quindi sbaglio anche io
).
Riguardo l'urto invece devi ragionare cosi: l'urto è un fenomeno che avviene in un intervallo di tempo piccolissimo; e in questo intervallo di tempo si assume che le masse non si siano praticamente spostate (cioè si trovano entrambe nella stessa posizione per tutta la durata dell'urto.
Quindi per velocità prima e dopo l'urto si intende la volcità agli estremi di questo intervallino di tempo.
Nel disegno la massa \(m_{2}\) non ha velocità iniziale nel primo tratto perchè parte da ferma, scendendo giu acquista velocità e prima dell'urto avrà una veloctià finale (del primo tratto) che corrisponde alla velocità iniziale del secondo tratto (cioè nell'urto). Avviene l'urto come ti ho detto senza una variazione di posizione, e alla massa si associa la velocità finale (nell'urto), tutto qui.
Per l'errore di calcolo CONTROLLACI sempre (anche perchè mentre ti rispondo spesso faccio altro e quindi sbaglio anche io
).Riguardo l'urto invece devi ragionare cosi: l'urto è un fenomeno che avviene in un intervallo di tempo piccolissimo; e in questo intervallo di tempo si assume che le masse non si siano praticamente spostate (cioè si trovano entrambe nella stessa posizione per tutta la durata dell'urto.
Quindi per velocità prima e dopo l'urto si intende la volcità agli estremi di questo intervallino di tempo.
Nel disegno la massa \(m_{2}\) non ha velocità iniziale nel primo tratto perchè parte da ferma, scendendo giu acquista velocità e prima dell'urto avrà una veloctià finale (del primo tratto) che corrisponde alla velocità iniziale del secondo tratto (cioè nell'urto). Avviene l'urto come ti ho detto senza una variazione di posizione, e alla massa si associa la velocità finale (nell'urto), tutto qui.
Ragazzi, non ho seguito, ma mi sembra che ci sia qualche casino...
La massa $m_2 = 2m$ parte da ferma e "scende" verticalmente di un tratto : $h = L - L*cos14,5º = L(1-cos 14.5º)$
Quindi acquista una velocità $V$ prima dell'urto : $m_2gh = 1/2m_2V^2 rightarrow V = sqrt(2gh)$
Nell'urto elastico, si conservano qdm totale ed energia totale:
$m_2*V = m_2*v' + m_1*u$ -----(1)
$1/2*m_2V^2 = 1/2m_2*v'^2 + 1/2*m_1*u^2$ ------(2)
le (1) e (2) permettono di determinare $v'$ e $u$, che sono le velocita rispettive di $m_2$ e $m_1$ dopo l'urto.
Nota $u$ , la massa $m_1$ sale verticalmente nel campo gravitazionale ad una altezza $k$ data da :
$ m_1gk = 1/2m_1u^2 rightarrow k =u^2/(2g)$
Quindi, nota $k$ ( che dipende da $h$ attraverso le relazioni scritte) si ha :
$k = L(1-cos\alpha) rightarrow cos\alpha = (L-k)/L$
Era questo il problema? O c'è dell'altro?
La massa $m_2 = 2m$ parte da ferma e "scende" verticalmente di un tratto : $h = L - L*cos14,5º = L(1-cos 14.5º)$
Quindi acquista una velocità $V$ prima dell'urto : $m_2gh = 1/2m_2V^2 rightarrow V = sqrt(2gh)$
Nell'urto elastico, si conservano qdm totale ed energia totale:
$m_2*V = m_2*v' + m_1*u$ -----(1)
$1/2*m_2V^2 = 1/2m_2*v'^2 + 1/2*m_1*u^2$ ------(2)
le (1) e (2) permettono di determinare $v'$ e $u$, che sono le velocita rispettive di $m_2$ e $m_1$ dopo l'urto.
Nota $u$ , la massa $m_1$ sale verticalmente nel campo gravitazionale ad una altezza $k$ data da :
$ m_1gk = 1/2m_1u^2 rightarrow k =u^2/(2g)$
Quindi, nota $k$ ( che dipende da $h$ attraverso le relazioni scritte) si ha :
$k = L(1-cos\alpha) rightarrow cos\alpha = (L-k)/L$
Era questo il problema? O c'è dell'altro?
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