Cinematica in due dimensioni-Quesiti
Quesito 1
a) Il vettore posizione genera un angolo di 90 gradi con il vettore velocità, si ha una tangenza con la traiettoria.
b) Il vettore posizione individua un punto in un determinato tempo del corpo, mentre la velocità è la differenza tra due punti e quindi tra due vettori posizione.
c) Una condizione di parallelismo.
d)
e) Le stesse condizioni del punto d).
a) Il vettore posizione genera un angolo di 90 gradi con il vettore velocità, si ha una tangenza con la traiettoria.
b) Il vettore posizione individua un punto in un determinato tempo del corpo, mentre la velocità è la differenza tra due punti e quindi tra due vettori posizione.
c) Una condizione di parallelismo.
d)
e) Le stesse condizioni del punto d).
Risposte
Si nav ho sbagliato nel non fargli porre \(h\) e \(h'\) come
\[h=l-l\cos{\theta}\hspace{1 cm}h'=l-l\cos{\alpha}\]
me ne sono accorto ora, pardon ma in questi gg sono un pò incasinato e fuso...
\[h=l-l\cos{\theta}\hspace{1 cm}h'=l-l\cos{\alpha}\]
me ne sono accorto ora, pardon ma in questi gg sono un pò incasinato e fuso...
Comunque Bad ora non impazzire 
devi solo "modificare" la prima equazione che abbiamo scritto
\[m_{1}gh=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}h=l(1-\cos{\theta})=\frac{v^{2}_{1}}{2g}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\cos{\theta}=1-\frac{v^{2}_{1}}{2gl}\]
\[\cos{\theta}=1-\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}v^{2}_{2i}=1-\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}2gh'=1-\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}2gl(1-\cos{\alpha})\]
quindi semplificando e facendo i conti
\[\cos{\theta}=1-\frac{16}{9}(1-\cos{\alpha})=0.2531\ rad\]
\[\Rightarrow\hspace{1 cm}\theta=\arccos{0.2531}=0.3382\ rad\simeq 19.38^{\circ}\]
devi solo "modificare" la prima equazione che abbiamo scritto\[m_{1}gh=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}_{1}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}h=l(1-\cos{\theta})=\frac{v^{2}_{1}}{2g}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\cos{\theta}=1-\frac{v^{2}_{1}}{2gl}\]
\[\cos{\theta}=1-\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}v^{2}_{2i}=1-\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}2gh'=1-\frac{1}{2gl}\frac{16}{9}2gl(1-\cos{\alpha})\]
quindi semplificando e facendo i conti
\[\cos{\theta}=1-\frac{16}{9}(1-\cos{\alpha})=0.2531\ rad\]
\[\Rightarrow\hspace{1 cm}\theta=\arccos{0.2531}=0.3382\ rad\simeq 19.38^{\circ}\]
Ti ringrazio amico mio Cuspide, mi hai fatto capire il fenomeno! 
Ma come posso rispondere a questa traccia?
Io ho pensato a fare in questo modo:
$ v_(xcm) = 1/(225) sum(30m/s * 52kg)+(2m/s * 48kg) $
$ v_(xcm) =7.36m/s $
$ v_(ycm) = 1/(225) sum(32m/s * 125kg) $
$ v_(ycm) = 17.77 m/s $
Cosa ne dite
Io ho pensato a fare in questo modo:
$ v_(xcm) = 1/(225) sum(30m/s * 52kg)+(2m/s * 48kg) $
$ v_(xcm) =7.36m/s $
$ v_(ycm) = 1/(225) sum(32m/s * 125kg) $
$ v_(ycm) = 17.77 m/s $
Cosa ne dite
Io ti darei una zappa sui piedi.. smettila di usare i valori, ti distraggono dal problema fisico (quelli li metti alla fine).
Tu hai che un sistema di riferimento con origine in \(O\) misura una velocità per il satellite diretta lungo l'asse \(y\) e una velocità per Ben diretta lungo l'asse \(x\).
La velocità di Tony è misurata nel sistema con origine in \(O\) ma è misurata rispetto al satellite (cioè è la velocità relativa al satellite non è "assoluta"), quindi dal teorema delle velocità relative (applicato al caso di due punti materiali) hai che la velocità di Ben rispetto al satellite è uguale a
\[\vec{v}_{Br}=\vec{v}_{B}-\vec{v}_{s}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{v}_{B}=\vec{v}_{Br}+\vec{v}_{s}\]
quindi ora hai la velocità "assoluta" di Ben (cioè misurata dal sistema di riferimento con origine in \(O\)).
Adesso calcoliamo la velocità del centro di massa del sistema; sappiamo che la velocità del centro di massa misurata in un sistema di riferimento è uguale a
\[\vec{v}_{CM}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{m_{s}\vec{v}_{s}+m_{T}\vec{v}_{T}+m_{B}\vec{v}_{B}}{m_{s}+m_{T}+m_{B}}=\frac{(m_{s}+m_{B})\vec{v}_{s}+m_{B}\vec{v}_{Br}+m_{T}\vec{v}_{T}}{m_{s}+m_{T}+m_{B}}\]
(dove le \(\vec{v}_{i}\) sono misurate nello stesso sistema di riferimento). Adesso puoi divertirti a calcolare le componenti proiettando l'uguaglianza lungo gli assi.
Tu hai che un sistema di riferimento con origine in \(O\) misura una velocità per il satellite diretta lungo l'asse \(y\) e una velocità per Ben diretta lungo l'asse \(x\).
La velocità di Tony è misurata nel sistema con origine in \(O\) ma è misurata rispetto al satellite (cioè è la velocità relativa al satellite non è "assoluta"), quindi dal teorema delle velocità relative (applicato al caso di due punti materiali) hai che la velocità di Ben rispetto al satellite è uguale a
\[\vec{v}_{Br}=\vec{v}_{B}-\vec{v}_{s}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{v}_{B}=\vec{v}_{Br}+\vec{v}_{s}\]
quindi ora hai la velocità "assoluta" di Ben (cioè misurata dal sistema di riferimento con origine in \(O\)).
Adesso calcoliamo la velocità del centro di massa del sistema; sappiamo che la velocità del centro di massa misurata in un sistema di riferimento è uguale a
\[\vec{v}_{CM}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{m_{s}\vec{v}_{s}+m_{T}\vec{v}_{T}+m_{B}\vec{v}_{B}}{m_{s}+m_{T}+m_{B}}=\frac{(m_{s}+m_{B})\vec{v}_{s}+m_{B}\vec{v}_{Br}+m_{T}\vec{v}_{T}}{m_{s}+m_{T}+m_{B}}\]
(dove le \(\vec{v}_{i}\) sono misurate nello stesso sistema di riferimento). Adesso puoi divertirti a calcolare le componenti proiettando l'uguaglianza lungo gli assi.
Scusami, ma perche' lavorare con le componenti e non con i moduli delle velocita?????
Si potrebbe fare?
Si potrebbe fare?
Nel tuo esercizio componenti e moduli "coincidono", ad esempio consideriamo il satellite, lui ha una velocità
\[\vec{v}=0\vec{i}+32\vec{j}+0\vec{k}\]
cioè il modulo del vettore coincide con la sola componente in questo sistema di riferimento
\[v=32\]
\[\vec{v}=0\vec{i}+32\vec{j}+0\vec{k}\]
cioè il modulo del vettore coincide con la sola componente in questo sistema di riferimento
\[v=32\]
Infatti adesso mi sono reso conto!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Non ho il risultato e quindi non so se ho pensato correttamente.....
Il fatto che mi sembra più un discorso algebrico, insomma, basta impostare una proporzione e il gioco è fatto, ma chiedo a voi una conferma....
$ 1.7(rad)/s : 0.41m = x : 0.25m $
$ x = 1.03(rad)/s $
Cosa ne pensate
Non saprei come far un ulteriore riscontro se quanto ho calcolato sia corretto
Ma poi ho ancora un dubbio.... La velocità angolare, potrebbe essere calcolata mediante la seguente?
$ L_i = L_f$
Cioè:
$ Iomega_i = Iomega_f $
Solo che pensando alla conservazione del momento angolare, la velocità angolare, dovrebbe restare costante,
AIUTOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
Tutto al più varierà la velocità lineare
INVOCO L'AIUTO DEL GRANDE CUSPIDE 83
Non ho il risultato e quindi non so se ho pensato correttamente.....
Il fatto che mi sembra più un discorso algebrico, insomma, basta impostare una proporzione e il gioco è fatto, ma chiedo a voi una conferma....
$ 1.7(rad)/s : 0.41m = x : 0.25m $
$ x = 1.03(rad)/s $
Cosa ne pensate
Non saprei come far un ulteriore riscontro se quanto ho calcolato sia corretto
Ma poi ho ancora un dubbio.... La velocità angolare, potrebbe essere calcolata mediante la seguente?
$ L_i = L_f$
Cioè:
$ Iomega_i = Iomega_f $
Solo che pensando alla conservazione del momento angolare, la velocità angolare, dovrebbe restare costante,
AIUTOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
Tutto al più varierà la velocità lineare
INVOCO L'AIUTO DEL GRANDE CUSPIDE 83
Io ragionerei in questo modo:
Considera due punti della cinghia, uno nel punto di contatto piu alto con la ruota \(A\) e l'altro nel punto di contatto piu alto con la ruota \(C\).
Supponiamo ora che le ruote ruotino in senso orario (la cinghia ovviamente si muove nello stesso senso); la condizione di non slittamento implica che se il secondo punto si muove di una quantità infinitesima \(dS\) anche il primo punto si sposterà di una quantità infinitesima \(ds=dS\).
Ricordando che tra arco e angolo sussiste la seguente relazione (applicata alle due circonferenze)
\[rd\phi=ds\hspace{2 cm}Rd\Phi=dS\]
si ottiene dall'uguaglianza \(ds=dS\)
\[rd\phi=Rd\Phi\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}r\frac{d\phi}{dt}=R\frac{d\Phi}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{d\phi}{dt}=\frac{R}{r}\frac{d\Phi}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\omega=\frac{R}{r}\Omega\]
Considera due punti della cinghia, uno nel punto di contatto piu alto con la ruota \(A\) e l'altro nel punto di contatto piu alto con la ruota \(C\).
Supponiamo ora che le ruote ruotino in senso orario (la cinghia ovviamente si muove nello stesso senso); la condizione di non slittamento implica che se il secondo punto si muove di una quantità infinitesima \(dS\) anche il primo punto si sposterà di una quantità infinitesima \(ds=dS\).
Ricordando che tra arco e angolo sussiste la seguente relazione (applicata alle due circonferenze)
\[rd\phi=ds\hspace{2 cm}Rd\Phi=dS\]
si ottiene dall'uguaglianza \(ds=dS\)
\[rd\phi=Rd\Phi\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}r\frac{d\phi}{dt}=R\frac{d\Phi}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{d\phi}{dt}=\frac{R}{r}\frac{d\Phi}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\omega=\frac{R}{r}\Omega\]
Scusami, ma io quei simboli non li ho capiti, si potrebbe avere una versione delle spiegazioni un po più elementari
Te ne sarei molto grato!
Poi il mio testo non tratta quei concetti in questo modo, quello è un esercizio che fa parte del paragrafo Relazioni tra grandezze lineari e grandezze angolari
Sono sicuro che esiste un modo alternativo per risolverlo, solo che la mia inesperienza non mi da la possibilità di sapere quale sia
Ma dimmi se ho capito..............
Le relazioni che hai scritto dovrebbero essere le seguenti:
$ v_1 = v_2 $
Ovviamente $ omega = v/r $ portera' a $ omega r = v $
Con velocita' angolari sara':
$ omega_1 r_1 = omega_2 r_2 $
e si potrebbe pensare a un qualcosa di simile:
$ omega_1 = (omega_2 r_2)/r_1 $
Ma scusa, allora la mia prima proporzione che ho fatto nel primo messaggio di questo esercizio, e' corretta????
Giusto?
Te ne sarei molto grato!
Poi il mio testo non tratta quei concetti in questo modo, quello è un esercizio che fa parte del paragrafo Relazioni tra grandezze lineari e grandezze angolari
Sono sicuro che esiste un modo alternativo per risolverlo, solo che la mia inesperienza non mi da la possibilità di sapere quale sia
Ma dimmi se ho capito..............
Le relazioni che hai scritto dovrebbero essere le seguenti:
$ v_1 = v_2 $
Ovviamente $ omega = v/r $ portera' a $ omega r = v $
Con velocita' angolari sara':
$ omega_1 r_1 = omega_2 r_2 $
e si potrebbe pensare a un qualcosa di simile:
$ omega_1 = (omega_2 r_2)/r_1 $
Ma scusa, allora la mia prima proporzione che ho fatto nel primo messaggio di questo esercizio, e' corretta????
Giusto?
Cero che abbiamo scritto la stessa cosa... non ti ricordi piu come è definita la velocità?
\[v=\frac{ds}{dt}\]
solo che io ti ho volevo dare anche la "spiegazione": un punto si sposta di una quantita infinitesima \(ds\) che dovrà essere uguale allo spostamento infinitesimo dell'altro punto \(dS\) cioè \(ds=dS\).
Ora io per scrivere \(ds\) e \(dS\) ho usato una FONDAMENTALE relazione geometrica cioè che l'arco infinitesimo è uguale al prodotto tra il raggio e l'angolo infinitesimo.
Oppure in modo equivalente potevi semplicemente usare la definizione di velocità infatti
\[v=\frac{ds}{dt}\hspace{1 cm}V=\frac{dS}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}ds=vdt=\omega rdt\hspace{1 cm}dS=Vdt=\Omega Rdt\]
e dall'uguaglianza ottieni
\[\omega r=\Omega R\]
quindi si arriva allo stesso risultato.
\[v=\frac{ds}{dt}\]
solo che io ti ho volevo dare anche la "spiegazione": un punto si sposta di una quantita infinitesima \(ds\) che dovrà essere uguale allo spostamento infinitesimo dell'altro punto \(dS\) cioè \(ds=dS\).
Ora io per scrivere \(ds\) e \(dS\) ho usato una FONDAMENTALE relazione geometrica cioè che l'arco infinitesimo è uguale al prodotto tra il raggio e l'angolo infinitesimo.
Oppure in modo equivalente potevi semplicemente usare la definizione di velocità infatti
\[v=\frac{ds}{dt}\hspace{1 cm}V=\frac{dS}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}ds=vdt=\omega rdt\hspace{1 cm}dS=Vdt=\Omega Rdt\]
e dall'uguaglianza ottieni
\[\omega r=\Omega R\]
quindi si arriva allo stesso risultato.
"Cuspide83":
Cero che abbiamo scritto la stessa cosa... non ti ricordi piu come è definita la velocità?
\[v=\frac{ds}{dt}\]
Si, inizialmente non stavo ricordando, ma poi ho compreso perfettamente
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