Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Sia $U$ uno spazio vettoriale normato infinito dimensionale separabile sul campo complesso $\mathbb{C}$ e sia $A \subset U$ numerabile, compatto, linearmente indipendente, infinito e tale che $U = span(A)$
Sia $V$ uno spazio vettoriale normato infinito dimensionale separabile sul campo complesso $\mathbb{C}$ e sia $B \subset V$ numerabile, compatto, linearmente indipendente, infinito e tale che $V = span(B)$
Sia $S : A \to B$ un ...
Buongiorno a tutti. Studiavo le distribuzioni e mi sono imbattuto nel seguente teorema:
"Se la derivata nel senso delle distribuzioni di una distribuzione $f$ è pari a $0$, allora $f$ è costante".
Uno dei passaggi cruciali della dimostrazione è il seguente (cito testualmente dagli appunti di Metodi Matematici del mio professore): "Si verifica facilmente che la derivata di una funzione test si caratterizza come una funzione test a integrale nullo". Il ...
Salve ragazzi,
devo svolgere l'integrale lungo il bordo di D di questa funzione:
$( e^(z^2))/((z^2-1)^2sen(\pi z))$ Con $D:={ z \in C : |z-1/2|<1}$
Il procedimento mi è chiarissimo, infatti non sono qui per quello, bensì per un dubbio forse un po' stupido.
Procedo al calcolo delle singolarità.
Da $(z^2-1)^"$ ottengo che le sigolarità sono $1$ e $-1$.
Invece da $sen(\pi z )$ ho qualche dubbio.
In generale, se ho $sen(x) = 0$ posso scrivere $x=0 + 2k\pi$ v ...
Salve ragazzi,
vi sottopongo questo integrale. Ho svolto tutti i calcoli e un calcolo non risulta uguale alla soluzione. Vorrei capire dove sbaglio.
Si calcoli l'integrale di $(z^2+1)/(z(z-8))$ lungo $\gamma$ = circonferenza di centro $(3,0)$ e raggio $6$ .
Vi spiego il mio procedimento.
Calcolo le singolarità : $0$ e $8$. Entrambe appartengono al dominio e sono poli di ordine $1$ .
Ora, immagino di "bucare" la parte ...
$ sup $ Salve a tutti. Ho il seguente esercizio: si consideri l'operatore lineare: $V : f(x) -> V(x)*f(x)$ dove
\[ V(x) = \begin{cases} x , & x \in [0,1/2] \\ 1-x ,& x \in [1/2,1] \end{cases} \]
nello spazio di Banach $L([0;1])$.
Si dimostri che:
a)$V(x)$ è limitato
b)si calcoli la norma di $V(x)$
Per dimostrare che $V$ è un operatore limitato penso si possa utilizzare il fatto che se $f=cost.=1$ allora $||V*f||_1<=||V||_2 * mis([0;1])^(1/2) <= Sup_(x in [0,1]) [||V||_2*(1-0)] = 1/4$ da cui ...
Salve ragazzi, vi chiedo aiuto per una tipologia esercizi di analisi reale che dovrebbe essere quasi meccanica (dovrebbe e soprattutto quasi )
Si tratta dell'applicazione del teorema di Lebesgue. Devo calcolare il limite per n che tende ad infinito dell' integrale che va da 1 a $n^2$ di
$[(sen(n^10 x) )/x^2]e^(-nx)$
Prima di tutto, questo teorema posso applicarlo se la funzione (in questo caso $[(sen(n^10 x) )/x^2]e^(-nx)$ ) è misurabile, non negativa e monotona crescente. Sbaglio o non è monotona ...
Ciao a tutti.
Sto studiando (per un corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria) l'applicazione delle serie di Fourier alla soluzione dell'equazione del calore ($u_t(x,t)=u_(x x)(x,t)$);
a lezione abbiamo visto come risolvere l'equazione nel caso di c.c. di Dirichlet omogenee($u(0,t)=0=u(pi,t)$), mentre in un esercizio ci viene chiesto di risolverla in c.c. di Neumann omogenee ($u_x(0,t)=0=u_x(pi,t)$), con profilo iniziale della temperatura $u(x,0)=varphi(x)$, con $varphi in L^2(0,pi)$
Nell'esercizio, viene ...
Salve,
sto cercando di calcolare questo integrale per cui è richiesto esplicitamente una risoluzione con il metodo dei Residui
\begin{equation}
I = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+3x^2)}
\end{equation}
Dunque per ricondurmi ad un integrale della forma \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \mathrm{d}x\) procedo con la sotituzione $x = t^2$ e notando che la nuova funzione risulta dispari estendo l'integrale a tutto l'asse reale:
\begin{equation}
I = ...
Salve,
sto cercando di risolvere il seguente integrale:
\[
\beta_{\omega\omega'}=\frac{1}{4\pi\sqrt{\omega\omega'}}\,\int_{-\infty}^\infty\,du\, \exp\left[-i\,\omega\,u+i\frac{\omega'}{\kappa}e^{-\kappa u}\right]\,\left(\omega'\,e^{-\kappa u}-\omega\right)
\]
il cui risultato è ...
Salve,una delle ultime domande che feci sul calcolo delle variazioni era come trovare un possibile minimo di un funzionale,in quell'occasione mi fu detto che avrei dovuto usare l'equazioni di Eulero-Lagrange e anche i metodi diretti.In questo argomento io vi chiedo,se non vi reca disturbo,come calcolare un possibile massimo di un funzionale.
Buonasera a tutti.
Sto cercando di calcolare l'integrale
$ int_(-oo)^(+oo) (x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx $
ma, dopo aver ripetuto i calcoli piu' volte, giungo sempre alla stessa conclusione, che so essere errata.
Vi chiedo quindi gentilmente conferma della correttezza del mio procedimento.
La funzione integranda ha 4 poli semplici (2 nel semipiano superiore e 2 in quello inferiore); nessuno dei poli e' zero del numeratore.
Integro quindi la funzione complessificata lungo il circuito semicircolare(composto dalla ...
Mi servirebbe la dimostrazione del teorema di Alexsandrov per le funzioni convesse in dimensione $1$.
Sia $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ convessa, allora $f$ ha derivata seconda quasi ovunque. Più precisamente vale l'espansione di Taylor di $f$ fino al secondo ordine.
Ho trovato una dimostrazione nel caso di dimensione $n$ generica nel libro di Evans and Gariepy, 'Measure theory and finite properties of functions'.
Visto che mi serve questo ...
Ciao a tutti, ho alcune difficoltà con questo esercizio:
Siano $ X $,$ Y $,$ Z $ spazi di Banach, $T: X \rightarrow Y$ lineare e $U: Y \rightarrow Z$ lineare, limitato e iniettivo ed inoltre l'operatore composto $UT: X \rightarrow Z$ limitato. Provare che $T$ è limitato.
Ho provato a procedere in questo modo: essendo $UT$ limitato ho che esiste $c>0$ tale che
\( ||UTx|| \leq c ||x||\quad \forall x \in X \)
Inoltre so che U è ...
Buonasera, sto preparando l'orale di analisi 3 e non mi è molto chiara la dimostrazione riguardo l'uniforme continuità su \(\displaystyle \mathbb{R} \) della trasformata di Fourier. Penso che il libro salti alcuni passaggi ma non riesco ad intuirli..
La dimostrazione inizia con : Sia \(\displaystyle h \in \mathbb{R} \) e fissiamo \(\displaystyle \epsilon,R>0 \) tali che :
\(\displaystyle \int_{|x|>R} |f(x)|\;dx < \epsilon \)
allora :
\(\displaystyle \left|\int_{\mathbb{R}} f(x)\;e^{-2\pi\;i ...
Seguendo un analogo teorema che vale in dimensione finita, è ancora vero in dimensione infinita che una matrice unitaria "infinita" manda una base ortonormale in una base ortonormale? Cioè, più precisamente, se ho $\psi_k$ set completo ortonormale, presa una collezione
$$F_{ij}\psi_j$$
con $F_{ij} F^+_{jn} = \delta_{i n}$, mi chiedo se $F_{ij}\psi_j$
forma un set completo ortonormale.
L'ortonormalità è facile da verificare. Mi viene qualche dubbio sul dimostrare che ...
Ciao a tutti,
sto studiando gli operatori compatti e ho provato a svolgere il seguente esercizio: Sia $H=l^2(mathbb(N))$. Studiare la compattezza dell'operatore A cosi' definito
$ (Au)_k= sum_(h\in mathbb(N)) e^(-abs(k-h)) u_h $
A me l'operatore sembra non compatto, percio' ho provato a procedere nel seguente modo: suppongo per assurdo che A sia compatto. Allora vale il teorema " Se A e' compatto, allora A trasforma successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti" e vedo se l'operatore A verifica ...
Ciao a tutti, ho dei dubbi nella ricerca dell'ascissa di convergenza della trasformata di Laplace.
In un esercizio del tipo "trovare la trasformata della funzione $v(t) = t+cost$, specificandone la regione di convergenza", come devo procedere?
Devo buttarmi a calcolare direttamente la trasformata e dal risultato dedurre l'ascissa di convergenza, o va prima studiata l'ascissa di convergenza e successivamente calcolata (o dedotta dalle tabelle) la trasformata?
Grazie
Ciao a tutti devo dimostrare che questo operatore è continuo, io ci ho provato ma non so se sono giusti i passaggi perché mi sembra troppo lunga la dimostrazione, mentre il professore aveva detto che era semplice.
L'operatore $$Tf(x): L^2 ((0,1)) \rightarrow L^2((0,1))$$ ed è tale che $$Tf(x)=\int_{0}^{x} {f(y) dy}$$
Per dimostrare che è continuo devo dimostrare che $||Tf(x)||_{L^2 ((0,1))} \leq C||f(x)||_{L^2 ((0,1))}$.
$$||Tf(x)||^2 = \int_{0}^{1} ...
Salve,
Ho difficoltà a risolvere il seguente integrale definito $int e^z/cosh(z) dz$.Lungo il cerchio definito da $(z)=5$. Ho sostituito $cosh(z)$ con
$cosh(z)=(e^z+e^-z)/2$ e poi $(z+z^-1)/2$.
Il risultato del problema è $8pii$ ,ma con la somma dei residui ottengo solamente 2.
Qualcuno può aiutarmi?
Saluti
Salve a tutti, mi scuso per scrivere così d'improvviso nel vostro forum, ma dopodomani dovrò sostenere un esame impegnativo ed il tempo stringe, per cui ho pensato che chiedere una mano qui sarebbe potuto essere opportuno.
Devo studiare l'analiticità della funzione:
f(z)=e^(-1/z^2)/((z+1)*(z^4-1))
Mi chiedevo come dovessi comportarmi nell'intorno di z=0 e, nel particolare, se la funzione in oggetto presenti o meno una singolarità essenziale in tale punto.
Scusandomi ancora per l'irruenza, ...
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