Teorema residui
Salve,
Ho difficoltà a risolvere il seguente integrale definito $int e^z/cosh(z) dz$.Lungo il cerchio definito da $(z)=5$. Ho sostituito $cosh(z)$ con
$cosh(z)=(e^z+e^-z)/2$ e poi $(z+z^-1)/2$.
Il risultato del problema è $8pii$ ,ma con la somma dei residui ottengo solamente 2.
Qualcuno può aiutarmi?
Saluti
Ho difficoltà a risolvere il seguente integrale definito $int e^z/cosh(z) dz$.Lungo il cerchio definito da $(z)=5$. Ho sostituito $cosh(z)$ con
$cosh(z)=(e^z+e^-z)/2$ e poi $(z+z^-1)/2$.
Il risultato del problema è $8pii$ ,ma con la somma dei residui ottengo solamente 2.
Qualcuno può aiutarmi?
Saluti
Risposte
E poi... Perché hai sostituito $z$ al posto di $e^z$?
Inoltre, non è che sostituire esplicitamente l'espressione del coseno iperbolico sia molto utile, dato che il calcolo si fa direttamente, una volta stabilite quante e quali sono le singolarità dell'integrando che cadono dentro il dominio delimitato dal cammino d'integrazione.
Hai classificato le singolarità dell'integranda?
Che ne è venuto fuori?
Inoltre, non è che sostituire esplicitamente l'espressione del coseno iperbolico sia molto utile, dato che il calcolo si fa direttamente, una volta stabilite quante e quali sono le singolarità dell'integrando che cadono dentro il dominio delimitato dal cammino d'integrazione.
Hai classificato le singolarità dell'integranda?
Che ne è venuto fuori?
Ciao,
La funzione cosh(z) non passa mai da 0,dunque in teoria non ci sono singolarità.
per la funzione $f(z) = e^z/cosh(z).$
La funzione cosh(z) non passa mai da 0,dunque in teoria non ci sono singolarità.
per la funzione $f(z) = e^z/cosh(z).$
La somma dei residui andrebbe poi moltiplicata per \( 2\pi i \) quindi avrai come risultato \( 4\pi i \) - Vedi formula:
\( \int f(z)dz = 2\pi i \sum {Res} f(z) \)
Occorre ora capire perchè ti ritorna \( 4\pi i \) anzichè \( 8\pi i \).
\( \int f(z)dz = 2\pi i \sum {Res} f(z) \)
Occorre ora capire perchè ti ritorna \( 4\pi i \) anzichè \( 8\pi i \).
Inoltre senza effettuare il secondo passaggio a z puoi, secondo me, considerare solo la parte Reale del coseno iperbolico quindi basta che consideri e^z / 2
Se nel piano non ci sono singolarità, perché l'integrale dovrebbe venire non nullo?
L'integrale è di questo tipo \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx \) oppure \( \int_{0}^{+\infty} f(x)\, dx \) ?
Gugo mi hai aperto ora un enorme dubbio... Devo evidentemente studiami meglio l'argomento. Ti ringrazio... 
Io ho considerato che il calcolo del residuo si fa tramite il limite e il limite di una costante è ancora una costante. E' sbagliato il ragionamento? per questo ho considerato la somma dei residui pari a 2 che moltiplicato per \( 2i\pi \) mi da \( 4i\pi \).
Ora manca solo capire se l'integrale fornito va da -inf a + inf o da 0 a +inf.
Cosa sbaglio? Lo so che il post non è stato aperto da me ma credo serva per comprendere meglio l'argomento. Grazie
Io ho considerato che il calcolo del residuo si fa tramite il limite e il limite di una costante è ancora una costante. E' sbagliato il ragionamento? per questo ho considerato la somma dei residui pari a 2 che moltiplicato per \( 2i\pi \) mi da \( 4i\pi \).
Ora manca solo capire se l'integrale fornito va da -inf a + inf o da 0 a +inf.
Cosa sbaglio? Lo so che il post non è stato aperto da me ma credo serva per comprendere meglio l'argomento. Grazie
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