Successione di funzioni in spazio Lp
Buonasera, sto cozzando contro un esercizio che credo abbia rivelato una mia lacuna...
Considero $f_n(x)=sqrtn/(1+(nx)^2), x in R$
Devo verificare che $f_n->f$ in $L^p, p=1,2$
Ho semplicemente attaccato la definizione, e dunque per $p=1$ (e poi anche per l'altro caso):
$int_R|sqrtn/(1+(nx)^2)|dx=pi/sqrtn
Ho invece il problema opposto con p=2 (e dunque quel modulo elevato al quadrato), l'integrale mi viene $pi/2$ (dopo conti infiniti), dunque anch'esso esiste finito, eppure l'esercizio mi dice che quell'integrale diverge a infinito. Cosa mi sono perso?
Grazie
Considero $f_n(x)=sqrtn/(1+(nx)^2), x in R$
Devo verificare che $f_n->f$ in $L^p, p=1,2$
Ho semplicemente attaccato la definizione, e dunque per $p=1$ (e poi anche per l'altro caso):
$int_R|sqrtn/(1+(nx)^2)|dx=pi/sqrtn
Ho invece il problema opposto con p=2 (e dunque quel modulo elevato al quadrato), l'integrale mi viene $pi/2$ (dopo conti infiniti), dunque anch'esso esiste finito, eppure l'esercizio mi dice che quell'integrale diverge a infinito. Cosa mi sono perso?
Grazie
Risposte
Ciao Silence,
Non ho capito perché dopo conti infiniti... Integrando per parti $\int 1/(1 + y^2) \text{d}y $, che è il ben noto integrale dell'arcotangente, oppure anche ponendo direttamente $y := tan u $ nell'integrale $\int 1/(1 + y^2)^2 \text{d}y $ dopo qualche passaggio si ha:
$\int 1/(1 + y^2)^2 \text{d}y = 1/2 (y/(1 + y^2) + arctan y) + c $
A questo punto ponendo $y := nx \implies \text{d}y = n \text{d}x $ si ha:
$\int n/(1 + (nx)^2)^2 \text{d}x = 1/2 ((nx)/(1 + (nx)^2) + arctan(nx)) + c $
In definitiva si ha:
$\int_{-\infty}^{+\infty} n/(1 + (nx)^2)^2 \text{d}x = [1/2 ((nx)/(1 + (nx)^2) + arctan(nx))]_{-\infty}^{+\infty}= \pi/4 - (-\pi/4) = \pi/2 $
"Silence":
l'integrale mi viene $\pi/2 $ (dopo conti infiniti)
Non ho capito perché dopo conti infiniti... Integrando per parti $\int 1/(1 + y^2) \text{d}y $, che è il ben noto integrale dell'arcotangente, oppure anche ponendo direttamente $y := tan u $ nell'integrale $\int 1/(1 + y^2)^2 \text{d}y $ dopo qualche passaggio si ha:
$\int 1/(1 + y^2)^2 \text{d}y = 1/2 (y/(1 + y^2) + arctan y) + c $
A questo punto ponendo $y := nx \implies \text{d}y = n \text{d}x $ si ha:
$\int n/(1 + (nx)^2)^2 \text{d}x = 1/2 ((nx)/(1 + (nx)^2) + arctan(nx)) + c $
In definitiva si ha:
$\int_{-\infty}^{+\infty} n/(1 + (nx)^2)^2 \text{d}x = [1/2 ((nx)/(1 + (nx)^2) + arctan(nx))]_{-\infty}^{+\infty}= \pi/4 - (-\pi/4) = \pi/2 $
Così ho fatto 
semplicemente un integrale più lungo di quelli che normalmente capitano negli esercizi, il problema non sono i conti, il problema è che l'esercizio (che viene da un esame), mi dice che quell'integrale diverge a $oo$ e che quindi la successione non tende a un valore finito in $L^2$, e non capisco perché.
Così come non capisco come mai mi dice che il primo integrale converge a zero...
semplicemente un integrale più lungo di quelli che normalmente capitano negli esercizi, il problema non sono i conti, il problema è che l'esercizio (che viene da un esame), mi dice che quell'integrale diverge a $oo$ e che quindi la successione non tende a un valore finito in $L^2$, e non capisco perché.Così come non capisco come mai mi dice che il primo integrale converge a zero...
Forse essendo $f_n(x) = sqrtn/(1+(nx)^2) $ ti si sta semplicemente dicendo che dato che $\AA x \in \RR $ si ha $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0 $ allora si ha:
$\lim_{n \to +\infty}\int_{\RR} |f_n(x)| \text{d}x = \lim_{n \to +\infty}\int_{\RR} f_n(x) \text{d}x = \int_{\RR} \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \text{d}x = 0 $
mentre invece
$\lim_{n \to +\infty}\int_{\RR} |f_n(x)|^2 \text{d}x = \lim_{n \to +\infty}\int_{\RR} f_n^2 (x) \text{d}x \ne \int_{\RR} \lim_{n \to +\infty} f_n^2 (x) \text{d}x = 0 $
$\lim_{n \to +\infty}\int_{\RR} |f_n(x)| \text{d}x = \lim_{n \to +\infty}\int_{\RR} f_n(x) \text{d}x = \int_{\RR} \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \text{d}x = 0 $
mentre invece
$\lim_{n \to +\infty}\int_{\RR} |f_n(x)|^2 \text{d}x = \lim_{n \to +\infty}\int_{\RR} f_n^2 (x) \text{d}x \ne \int_{\RR} \lim_{n \to +\infty} f_n^2 (x) \text{d}x = 0 $
Guarda, ti mostro la risposta direttamente, che purtroppo è un po' ermetica. Il problema principale è proprio che dice il contrario di quello che ho trovato io e quel che mi hai detto tu adesso, cioè che il secondo integrale non tende a zero, è questo che non capisco. Ecco qui:
La sostituzione è quella che si adopera per risolvere l'integrale, dunque ho dato per scontato si trattasse di quel tipo di procedimento. Non capisco però quella tendenza a zero per il primo e non tendenza a zero per il secondo. Nessuno dei due tende a zero, a conti fatti, esistono entrambi finiti e dunque dovrebbero appartenere a entrambi gli spazi, o sbaglio?
La sostituzione è quella che si adopera per risolvere l'integrale, dunque ho dato per scontato si trattasse di quel tipo di procedimento. Non capisco però quella tendenza a zero per il primo e non tendenza a zero per il secondo. Nessuno dei due tende a zero, a conti fatti, esistono entrambi finiti e dunque dovrebbero appartenere a entrambi gli spazi, o sbaglio?
Credo che tu stia confondendo $f_n\to f$ in $L^{p}$ con $f_n\in L^{p}$. Possibile? Propongo alcune domande che spero possano aiutarti a comprendere meglio la situazione.
Che cos'è $f$ e che cosa si intende con $f_n\to f$ in $L^{p}$? Cosa si deve verificare per dimostrare la convergenza in $L^{p}$? Rispondi almeno alle prime due domande, dopo ci occuperemo della terza.
Che cos'è $f$ e che cosa si intende con $f_n\to f$ in $L^{p}$? Cosa si deve verificare per dimostrare la convergenza in $L^{p}$? Rispondi almeno alle prime due domande, dopo ci occuperemo della terza.
Secondo me non c'è da calcolare nessun integrale. Basta il cambio di variabile e poi il limite a \(n\to \infty\). Il problema di Silence è sicuramente che si imbroglia con il cambio di variabile.
Concordo con dissonance, calcolare gli integrali è un'(in)utile perdita di tempo. Alla fin fine, è sufficiente notare che $\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{1+y^2}\mbox{d}y$ e $\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{(1+y^2)^2}\mbox{d}y$ sono numeri reali, il secondo dei quali diverso da zero.
[Edit]Anche il primo è diverso da zero, ma moltiplica la successione infinitesima $\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$, sicché...[/Edit]
[Edit]Anche il primo è diverso da zero, ma moltiplica la successione infinitesima $\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$, sicché...[/Edit]
Rieccoci, scusate il ritardo nella risposta, spero abbiate passato uno splendido Natale. Dunque, tornando a noi:
Perdona quella che probabilmente si dimostrerà essere ignoranza, la verità è che sto appunto iniziando a frequentare questi arogmenti, e uso esercizi del genere per "ricostruire" il significato della teoria, è il modo più efficace per imparare e memorizzare, nel mio caso (più che altro perché da libri e dispense in genere non emerge mai una versione "colloquiale" della teoria, che dunque mi scrivo da solo una volta che capisco il meccanismo).
Dunque, cos'è $f$ e cosa si intende con $f_n\to f$ in $L^{p}$? Per come l'ho inteso io, si parla di convergenza di una serie di funzioni in $L^p$, e $f$ è il valore di tale convergenza.
Cosa si deve verificare dipende da $p$. Nel caso $p=1$ ad esempio mi pare di ricordare che basti il teorema di Lebesgue, mentre per $p=2$ bisogna manipolare la successione per far valere di nuovo Lebesgue.
In poche parole (di nuovo, abbi pazienza, potrei dire stupidaggini, sto riferendo quel che ho capito): deve esistere una funzione $g in L^p(R)$ tale che $|f_n(x)|<=g(x)$ quasi ovunque.
Concordo sull'inutilità del calcolo degli integrali, era proprio per disassemblare l'intero procedimento e studiarmi il significato di ogni passaggio. Semplicemente non capivo perché il primo integrale tende a 0, ma credo di aver compreso il mio (banalissimo, sciocchissimo, vergognosissimo - se ho ragione - errore): sono stato tratto in errore dalla scrittura sintetica della soluzione. Non è tanto il valore dell'integrale a determinare a cosa esso tenda, ma la presenza del fattore $1/sqrtn$ davanti. Come ogni successione che si rispetti, la convergenza si verifica per $n->oo$ (chissà perché me ne sono sconvenientemente sbattuto), e indipendentemente dall'integrale quel fattore $1/sqrtn$ azzera tutto. Essendo assente nel secondo integrale, ciò non sussiste in $L^2(R)$ (che è il motivo per cui appunto non serve calcolare gli integrali).
Speriamo...
"Mathita":
Credo che tu stia confondendo $f_n\to f$ in $L^{p}$ con $f_n\in L^{p}$. Possibile? Propongo alcune domande che spero possano aiutarti a comprendere meglio la situazione.
Che cos'è $f$ e che cosa si intende con $f_n\to f$ in $L^{p}$? Cosa si deve verificare per dimostrare la convergenza in $L^{p}$? Rispondi almeno alle prime due domande, dopo ci occuperemo della terza.
Perdona quella che probabilmente si dimostrerà essere ignoranza, la verità è che sto appunto iniziando a frequentare questi arogmenti, e uso esercizi del genere per "ricostruire" il significato della teoria, è il modo più efficace per imparare e memorizzare, nel mio caso (più che altro perché da libri e dispense in genere non emerge mai una versione "colloquiale" della teoria, che dunque mi scrivo da solo una volta che capisco il meccanismo).
Dunque, cos'è $f$ e cosa si intende con $f_n\to f$ in $L^{p}$? Per come l'ho inteso io, si parla di convergenza di una serie di funzioni in $L^p$, e $f$ è il valore di tale convergenza.
Cosa si deve verificare dipende da $p$. Nel caso $p=1$ ad esempio mi pare di ricordare che basti il teorema di Lebesgue, mentre per $p=2$ bisogna manipolare la successione per far valere di nuovo Lebesgue.
In poche parole (di nuovo, abbi pazienza, potrei dire stupidaggini, sto riferendo quel che ho capito): deve esistere una funzione $g in L^p(R)$ tale che $|f_n(x)|<=g(x)$ quasi ovunque.
Concordo sull'inutilità del calcolo degli integrali, era proprio per disassemblare l'intero procedimento e studiarmi il significato di ogni passaggio. Semplicemente non capivo perché il primo integrale tende a 0, ma credo di aver compreso il mio (banalissimo, sciocchissimo, vergognosissimo - se ho ragione - errore): sono stato tratto in errore dalla scrittura sintetica della soluzione. Non è tanto il valore dell'integrale a determinare a cosa esso tenda, ma la presenza del fattore $1/sqrtn$ davanti. Come ogni successione che si rispetti, la convergenza si verifica per $n->oo$ (chissà perché me ne sono sconvenientemente sbattuto), e indipendentemente dall'integrale quel fattore $1/sqrtn$ azzera tutto. Essendo assente nel secondo integrale, ciò non sussiste in $L^2(R)$ (che è il motivo per cui appunto non serve calcolare gli integrali).
Speriamo...
"Silence":
[quote="Mathita"]Credo che tu stia confondendo $f_n\to f$ in $L^{p}$ con $f_n\in L^{p}$. Possibile? Propongo alcune domande che spero possano aiutarti a comprendere meglio la situazione.
Che cos'è $f$ e che cosa si intende con $f_n\to f$ in $L^{p}$? Cosa si deve verificare per dimostrare la convergenza in $L^{p}$? Rispondi almeno alle prime due domande, dopo ci occuperemo della terza.
Perdona quella che probabilmente si dimostrerà essere ignoranza, la verità è che sto appunto iniziando a frequentare questi arogmenti, e uso esercizi del genere per "ricostruire" il significato della teoria, è il modo più efficace per imparare e memorizzare, nel mio caso (più che altro perché da libri e dispense in genere non emerge mai una versione "colloquiale" della teoria, che dunque mi scrivo da solo una volta che capisco il meccanismo).
Dunque, cos'è $f$ e cosa si intende con $f_n\to f$ in $L^{p}$? Per come l'ho inteso io, si parla di convergenza di una serie di funzioni in $L^p$, e $f$ è il valore di tale convergenza.
Cosa si deve verificare dipende da $p$. Nel caso $p=1$ ad esempio mi pare di ricordare che basti il teorema di Lebesgue, mentre per $p=2$ bisogna manipolare la successione per far valere di nuovo Lebesgue.
In poche parole (di nuovo, abbi pazienza, potrei dire stupidaggini, sto riferendo quel che ho capito): deve esistere una funzione $g in L^p(R)$ tale che $|f_n(x)|<=g(x)$ quasi ovunque.[/quote]
Hai scritto cose imprecise ed inutili, “colloquialmente” e no, perché non hai compreso le domande che ti sono state poste.
Ok, è un passo avanti. Adesso ti è chiaro perché il limite faccia zero, ma ti manca la consapevolezza di ciò che il tuo insegnante ha tentato di dimostrare.
Cerco di essere più esplicito. In questo caso particolare, con $\int_{\mathbb{R}}f_{n}$ il tuo professore intende
$||f_n-f||_{L^{1}(\mathbb{R})}:=\int_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\mbox{d}x$
Ha cioè calcolato la norma della differenza tra $f_n$ e il limite puntuale $f$, al variare di $n\in\mathbb{N}$, dopodiché ha dimostrato che la successione delle norme è infinitesima per $n\to +\infty$, garantendo così la convergenza di $f_n$ a $f$ in $L^1$. Nota però che ciò avviene proprio perché $f(x)$ è identicamente nulla q.o. e perché $f_n(x)$ è positiva per ogni $n\in\mathbb{N}$ e per ogni $x\in\mathbb{R}$, pertanto
\[||f_n-f||_{L^{1}(\mathbb{R})}= ||f_n||_{L^{1}(\mathbb{R})}=\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\mbox{d}x\]
E in $L^{2}(\mathbb{R})$?
[Edit]Ti consiglio di cambiare approccio di studio: così si rischia di meccanizzare troppo i procedimenti e di perdere il vero significato delle cose.[/Edit]
Cerco di essere più esplicito. In questo caso particolare, con $\int_{\mathbb{R}}f_{n}$ il tuo professore intende
$||f_n-f||_{L^{1}(\mathbb{R})}:=\int_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\mbox{d}x$
Ha cioè calcolato la norma della differenza tra $f_n$ e il limite puntuale $f$, al variare di $n\in\mathbb{N}$, dopodiché ha dimostrato che la successione delle norme è infinitesima per $n\to +\infty$, garantendo così la convergenza di $f_n$ a $f$ in $L^1$. Nota però che ciò avviene proprio perché $f(x)$ è identicamente nulla q.o. e perché $f_n(x)$ è positiva per ogni $n\in\mathbb{N}$ e per ogni $x\in\mathbb{R}$, pertanto
\[||f_n-f||_{L^{1}(\mathbb{R})}= ||f_n||_{L^{1}(\mathbb{R})}=\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\mbox{d}x\]
E in $L^{2}(\mathbb{R})$?
[Edit]Ti consiglio di cambiare approccio di studio: così si rischia di meccanizzare troppo i procedimenti e di perdere il vero significato delle cose.[/Edit]
Per cominciare, grazie infinite della spiegazione. Mi rendo conto che il metodo non è tra i più ortodossi, purtroppo mi riesce più facile assorbire i significati quando riesco a "visualizzarli", da cui nasce la necessità di poterne parlare in modo discorsivo (oppure, appunto, di ricostruire il vero significato da un procedimento come questo). Di nuovo, chiedo scusa per averti costretto a esplicitare così tanto e ti ringrazio per la pazienza.
Dunque, vediamo se ho capito, proseguo da dove hai lasciato. Abbi pazienza, mi dilungherò sui passaggi e probabilmente mi esprimerò in modo ingenuo, è giusto per essere sicuro di seguire il percorso giusto.
Il limite puntuale nullo è, e nullo rimane, dunque si ha $||f_n-f||_(L^2(mathbb{R}))=||f_n||_(L^2(mathbb{R}))$, tuttavia stavolta
$int_mathbb{R}|f_n(x)-f(x)|^2dx=int_mathbb{R}|f_n(x)|^2dx$ NON è infinitesima. Infatti
$int_mathbb{R}|sqrtn/(1+(nx)^2)|^2dx -> nx=y -> int_mathbb{R}1/(1+y^2)^2dy$ è indipendente da $n$, e siccome $f_n(x)>0 -> n in mathbb{N}$
quell'integrale sarà positivo a sua volta. Pertanto, niente convergenza in $L^2(mathbb{R})$.
Ancora grazie
Dunque, vediamo se ho capito, proseguo da dove hai lasciato. Abbi pazienza, mi dilungherò sui passaggi e probabilmente mi esprimerò in modo ingenuo, è giusto per essere sicuro di seguire il percorso giusto.
Il limite puntuale nullo è, e nullo rimane, dunque si ha $||f_n-f||_(L^2(mathbb{R}))=||f_n||_(L^2(mathbb{R}))$, tuttavia stavolta
$int_mathbb{R}|f_n(x)-f(x)|^2dx=int_mathbb{R}|f_n(x)|^2dx$ NON è infinitesima. Infatti
$int_mathbb{R}|sqrtn/(1+(nx)^2)|^2dx -> nx=y -> int_mathbb{R}1/(1+y^2)^2dy$ è indipendente da $n$, e siccome $f_n(x)>0 -> n in mathbb{N}$
quell'integrale sarà positivo a sua volta. Pertanto, niente convergenza in $L^2(mathbb{R})$.
Ancora grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo