Esercizi derivata distibuzionale
Ciao a tutti, sto studiando la teoria delle distribuzioni da autodidatta e ho qualche problema nel riuscire a calcolare le derivate, per esempio in questo esercizio:
\(\displaystyle f(x)=|x-2|u(x)-|x|u(x-2), x\in R\)
Io applico la definizione per le derivate cioè: \(\displaystyle=- \)
ottendo l'integrale \(\displaystyle \int{f(x)\phi'(x) dx} \), ma non riesco a trovare il risultato...
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie a tutti
\(\displaystyle f(x)=|x-2|u(x)-|x|u(x-2), x\in R\)
Io applico la definizione per le derivate cioè: \(\displaystyle
ottendo l'integrale \(\displaystyle \int{f(x)\phi'(x) dx} \), ma non riesco a trovare il risultato...
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie a tutti
Risposte
Chi è $u$?
Mi sono dimenticato di specificarlo è la funzione di Heaviside
Hai provato a calcolare esplicitamente $$?
Si, ma probabilmente è li che mi perdo...
\(\displaystyle = - \) divido \(\displaystyle f(x) \) in \(\displaystyle g(x)= |x-2|u(x)\) e \(\displaystyle h(x)=|x|u(x-2) \)
Così per \(\displaystyle g(x) \) ho
\(\displaystyle -\int{g(x)*\phi(x)'} dx \)\(\displaystyle \)\(\displaystyle =-\int{ |x-2|u(x)\phi(x)' dx}\)\(\displaystyle =-\int|x-2|\phi(x)'dx =-\int{(x-2)sgn(x-2)\phi(x)'dx }\) da 0 a +inf
Procedo con l'integrazione per parti:
\(\displaystyle -(x-2)\phi(x)+\int ... \) e qua non capisco bene come fare, in teoria dovrei derivare \(\displaystyle f(x) \) ma con la funzione segno mi dovrebbero comparire delle Delta o sbaglio?
Poi faccio la stessa cosa per la seconda funzione e anche li mi perdo allo stesso modo...
\(\displaystyle
Così per \(\displaystyle g(x) \) ho
\(\displaystyle -\int{g(x)*\phi(x)'} dx \)\(\displaystyle \)\(\displaystyle =-\int{ |x-2|u(x)\phi(x)' dx}\)\(\displaystyle =-\int|x-2|\phi(x)'dx =-\int{(x-2)sgn(x-2)\phi(x)'dx }\) da 0 a +inf
Procedo con l'integrazione per parti:
\(\displaystyle -(x-2)\phi(x)+\int ... \) e qua non capisco bene come fare, in teoria dovrei derivare \(\displaystyle f(x) \) ma con la funzione segno mi dovrebbero comparire delle Delta o sbaglio?
Poi faccio la stessa cosa per la seconda funzione e anche li mi perdo allo stesso modo...
Non farti ingannare dalla complessità dell'argomento.
Quelli sono semplicissimi integrali. Comportati come facevi in analisi 1.
Scrivi la funzione a pezzi in modo più esplicito e spezza gli integrali.
Quelli sono semplicissimi integrali. Comportati come facevi in analisi 1.
Scrivi la funzione a pezzi in modo più esplicito e spezza gli integrali.
Ciao, quindi riprendendo da:
\( \displaystyle =-\int_{0}^{+\infty}|x-2|\phi(x)'dx =-\int_{0}^{2}{(-x+2)\phi'(x)dx}-\int_{2}^{+\infty}{(x-2)\phi'(x)dx} =\)
\(\displaystyle =\int_{0}^{2}{x\phi'(x) dx} -2\int_{0}^{2}{\phi'(x) dx} -\int_{2}^{+\infty}{x\phi'(x) dx} +2\int_{2}^{+\infty}{\phi'(x) dx}=\)
Integrando per parti ogni pezzo:
\(\displaystyle [x\phi(x)]_{0}^{2}+\int_{0}^{2}{\phi(x)dx}-2[\phi(x)]_{0}^{2} -2\int_{0}^{2}{0\phi(x)dx}-[x\phi(x)]_{2}^{+\infty}-\int_{2}^{+\infty}\phi(x)dx+2[\phi(x)]_{2}^{+\infty}+2\int_{2}^{+\infty}{0\phi(x)dx}=\)
\(\displaystyle =[x\phi(x)]_{0}^{2}+\int_{0}^{2}{\phi(x)dx}-2[\phi(x)]_{0}^{2} -[x\phi(x)]_{2}^{+\infty}-\int_{2}^{+\infty}\phi(x)dx+2[\phi(x)]_{2}^{+\infty}\)
Ma da qui in poi come si puo' procedere?
\( \displaystyle =-\int_{0}^{+\infty}|x-2|\phi(x)'dx =-\int_{0}^{2}{(-x+2)\phi'(x)dx}-\int_{2}^{+\infty}{(x-2)\phi'(x)dx} =\)
\(\displaystyle =\int_{0}^{2}{x\phi'(x) dx} -2\int_{0}^{2}{\phi'(x) dx} -\int_{2}^{+\infty}{x\phi'(x) dx} +2\int_{2}^{+\infty}{\phi'(x) dx}=\)
Integrando per parti ogni pezzo:
\(\displaystyle [x\phi(x)]_{0}^{2}+\int_{0}^{2}{\phi(x)dx}-2[\phi(x)]_{0}^{2} -2\int_{0}^{2}{0\phi(x)dx}-[x\phi(x)]_{2}^{+\infty}-\int_{2}^{+\infty}\phi(x)dx+2[\phi(x)]_{2}^{+\infty}+2\int_{2}^{+\infty}{0\phi(x)dx}=\)
\(\displaystyle =[x\phi(x)]_{0}^{2}+\int_{0}^{2}{\phi(x)dx}-2[\phi(x)]_{0}^{2} -[x\phi(x)]_{2}^{+\infty}-\int_{2}^{+\infty}\phi(x)dx+2[\phi(x)]_{2}^{+\infty}\)
Ma da qui in poi come si puo' procedere?
Ricorda che $\phi$ è una funzione test, in particolare $\phi =0$ fuori da un intervallo chiuso e limitato. Quindi puoi calcolare le valutazioni che hai scritto.
"Xox":
Ciao a tutti, sto studiando la teoria delle distribuzioni da autodidatta e ho qualche problema nel riuscire a calcolare le derivate, per esempio in questo esercizio:
\(\displaystyle f(x)=|x-2|\operatorname{u}(x)-|x|\operatorname{u}(x-2),\qquad x\in \mathbb{R}\)
La cosa simpatica è che le usuali regole di calcolo continuano a valere per le distribuzioni non singolari corrispondenti, ad esempio, a funzioni $C^1$ a tratti; l’unica cosa cui devi stare attento è usare la proprietà di campionamento della delta di Dirac (i.e., $g(x) delta(x-x_0) = g(x_0) delta(x-x_0)$).
In particolare, la derivata distribuzionale coincide con la derivata usuale (che è definita quasi ovunque) e contiene impulsi centrati negli eventuali punti di discontinuità di prima specie ed aventi ampiezza uguale al salto.
Detta così può sembrare difficile, ma in realtà è una cosa quasi immediata.
Cominciamo a vedere graficamente cosa accade.
Vediamo come ottenere l’espressione analitica di $text(D) f(x)$ facendo calcoli alla maniera (quasi) usuale.
Perfetto grazzie mille penso di aver capito! Gentilissimi!
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