Funzione con un infinità di punti di singolarità non isolate
Una funzione meromorfa per definizione è una funzione olomorfa \( f : U \setminus K \to \mathbb{C} \) dove \( K \) è un insieme di punti isolati in cui la funzione possiede delle singolarita eliminabili e/o dei poli.
Pertanto se \( U \) è compatto abbiamo forzatamente che \( K \) è finito.
Questo vuol dire che la funzione \( f: \mathbb{D}\setminus K \to \mathbb{C} \) dove \( K = \{ 1/n : n \in \mathbb{N}^* \} \cup \{ 0 \} \) definita come \( z \mapsto 1/\sin(\pi/z) \) non è meromorfa?
abbiamo che \( \sin(\pi/z) : \mathbb{D}^* \to \mathbb{C} \) è olomorfa e gli zeri sono \( 1/n \) pertanto abbiamo che sono dei poli di \( 1/ \sin( \pi/z) \) ma questi poli hanno un punto di accumulazione in zero dove la funzione non è definita, pertanto se fosse una singolarità eliminabile o un polo abbiamo una contraddizione, pertanto questo forza che \( 0 \) è una singolarità essenziale di \(1 / \sin(\pi/z) \)?
Edit: Però una singolarità essenziale è definita a partire dalla sua serie di Laurent pertanto dev'essere isolata, quindi \(0\) cos'è? Semplicemente una singolarità non isolata? E quella funzione non meromorfa?
L'espansione di Laurent di \( \sin(\pi/z) \) attorno a zero è
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \left( \frac{\pi}{z} \right)^{2k+1} \]
pertanto \( 0 \) è una singolarità essenziale di \( \sin( \pi/z) \) dunque non è meromorfa.
Questo vuol dire che se una funzione olomorfa \( f : U \setminus \{z_0 \} \to \mathbb{C}\) diversa dalla funzione nulla che ha un infinità di zeri isolati che convergono a \( z_0 \) implica che \(z_0 \) è una singolarità essenziale?
Non può essere una singolarità eliminabile poiché altrimenti per continuità di \( f \) avremmo che \(f(z_0) = 0 \) e avremmo per il principio degli zeri isolati che \( f = 0 \) su \( U \).
Supponendo per assurdo che è un polo implica che \(f\) meromorfa e dunque \( f'/f \) meromorfa.
Ma gli zeri di ordine \( n \) di \( f \) corrispondono ai poli semplici di \( f'/f \) con residuo \(n \) mentre i poli di \( f \) di ordine \(n \) corrispondono ai poli semplici con residuo \( - n \).
Pertanto \( f'/f \) possiede un infinità di poli ed esiste un polo non isolato poiché gli zeri di \( f \) convergono al polo di \( f \) pertanto \( f'/f \) non può essere meromorfa e quindi \( f \) non meromorfa. Quindi \(z_0 \) non è un polo.
Quindi è una singolarità essenziale di \( f \).
Pertanto se \( U \) è compatto abbiamo forzatamente che \( K \) è finito.
Questo vuol dire che la funzione \( f: \mathbb{D}\setminus K \to \mathbb{C} \) dove \( K = \{ 1/n : n \in \mathbb{N}^* \} \cup \{ 0 \} \) definita come \( z \mapsto 1/\sin(\pi/z) \) non è meromorfa?
abbiamo che \( \sin(\pi/z) : \mathbb{D}^* \to \mathbb{C} \) è olomorfa e gli zeri sono \( 1/n \) pertanto abbiamo che sono dei poli di \( 1/ \sin( \pi/z) \) ma questi poli hanno un punto di accumulazione in zero dove la funzione non è definita, pertanto se fosse una singolarità eliminabile o un polo abbiamo una contraddizione, pertanto questo forza che \( 0 \) è una singolarità essenziale di \(1 / \sin(\pi/z) \)?
Edit: Però una singolarità essenziale è definita a partire dalla sua serie di Laurent pertanto dev'essere isolata, quindi \(0\) cos'è? Semplicemente una singolarità non isolata? E quella funzione non meromorfa?
L'espansione di Laurent di \( \sin(\pi/z) \) attorno a zero è
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \left( \frac{\pi}{z} \right)^{2k+1} \]
pertanto \( 0 \) è una singolarità essenziale di \( \sin( \pi/z) \) dunque non è meromorfa.
Questo vuol dire che se una funzione olomorfa \( f : U \setminus \{z_0 \} \to \mathbb{C}\) diversa dalla funzione nulla che ha un infinità di zeri isolati che convergono a \( z_0 \) implica che \(z_0 \) è una singolarità essenziale?
Non può essere una singolarità eliminabile poiché altrimenti per continuità di \( f \) avremmo che \(f(z_0) = 0 \) e avremmo per il principio degli zeri isolati che \( f = 0 \) su \( U \).
Supponendo per assurdo che è un polo implica che \(f\) meromorfa e dunque \( f'/f \) meromorfa.
Ma gli zeri di ordine \( n \) di \( f \) corrispondono ai poli semplici di \( f'/f \) con residuo \(n \) mentre i poli di \( f \) di ordine \(n \) corrispondono ai poli semplici con residuo \( - n \).
Pertanto \( f'/f \) possiede un infinità di poli ed esiste un polo non isolato poiché gli zeri di \( f \) convergono al polo di \( f \) pertanto \( f'/f \) non può essere meromorfa e quindi \( f \) non meromorfa. Quindi \(z_0 \) non è un polo.
Quindi è una singolarità essenziale di \( f \).
Risposte
Mi sembra ti sia risposto da solo a tutte le domande.
Si, come hai dimostrato. Ti confesso che mi perdo un po' nella tua dimostrazione, anche perché si possa fare in modo più semplice usando proprio un tuo esercizio recente. Tu hai dimostrato che una funzione meromorfa \(f\) si può scrivere come rapporto di due funzioni olomorfe \(h\) e \(k\);
\[
f=\frac{h}{k}.\]
Ma se \(f\) ha zeri non isolati, questo significa che \(h\) ha zeri non isolati, e dunque \(h=0\) e perciò \(f=0\).
Semplicemente una singolarità non isolata?Si.
Questo vuol dire che se una funzione olomorfa f:U∖{z0}→C diversa dalla funzione nulla che ha un infinità di zeri isolati che convergono a z0 implica che z0 è una singolarità essenziale?
Si, come hai dimostrato. Ti confesso che mi perdo un po' nella tua dimostrazione, anche perché si possa fare in modo più semplice usando proprio un tuo esercizio recente. Tu hai dimostrato che una funzione meromorfa \(f\) si può scrivere come rapporto di due funzioni olomorfe \(h\) e \(k\);
\[
f=\frac{h}{k}.\]
Ma se \(f\) ha zeri non isolati, questo significa che \(h\) ha zeri non isolati, e dunque \(h=0\) e perciò \(f=0\).
https://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function
Tra gli esempi ci sono tutte le funzioni che stai considerando. Nessuna di esse è meromorfa.
Tra gli esempi ci sono tutte le funzioni che stai considerando. Nessuna di esse è meromorfa.
Ok grazie mille.
Però c'è un problema
Siccome una singolarità essenziale si definisce a partire dallo sviluppo di Laurent abbiamo che è isolata.
Ma se \( f \) possiede una singolarità essenziale (diciamo in \(z_0\)) allora \( 1/f \) possiede una singolarità essenziale in \(z_0\), infatti \( f \) possiede una singolarità essenziale se e solo se entrambe sono false
\( \lim_{z \to z_0} f(z) = c \in \mathbb{C} \)
\( \lim_{z \to z_0}\left| f(z) \right|= + \infty \)
Supponendo \(1/ f \) non possiede una singolarità essenziale in \(z_0 \) vuol dire che almeno una delle due condizioni sopra è soddisfatta
supponiamo che
\( \lim_{z \to z_0} 1/f(z) = c \in \mathbb{C} \)
se \(c=0\) allora vuol dire che \( \lim_{z \to z_0}\left| f(z) \right|= + \infty \), assurdo.
se \( c \neq 0 \) allora \( \lim_{z \to z_0} f(z) = 1/c \), assurdo
allora
\( \lim_{z \to z_0}\left| 1/f(z) \right|= + \infty \)
ma
\( \lim_{z \to z_0} f(z) = 0 \in \mathbb{C} \)
assurdo.
Pertanto \( 1/f \) possiede una singolarità essenziale.
Ora abbiamo che \( \sin( \pi/z ) \) possiede una singolarità essenziale in \( z_0 = 0 \) pertanto anche \( 1/ \sin( \pi/z) \) possiede una singolarità essenziale ma non è isolata...
Però c'è un problema
"dissonance":
Mi sembra ti sia risposto da solo a tutte le domande.
Semplicemente una singolarità non isolata?Si.
Siccome una singolarità essenziale si definisce a partire dallo sviluppo di Laurent abbiamo che è isolata.
Ma se \( f \) possiede una singolarità essenziale (diciamo in \(z_0\)) allora \( 1/f \) possiede una singolarità essenziale in \(z_0\), infatti \( f \) possiede una singolarità essenziale se e solo se entrambe sono false
\( \lim_{z \to z_0} f(z) = c \in \mathbb{C} \)
\( \lim_{z \to z_0}\left| f(z) \right|= + \infty \)
Supponendo \(1/ f \) non possiede una singolarità essenziale in \(z_0 \) vuol dire che almeno una delle due condizioni sopra è soddisfatta
supponiamo che
\( \lim_{z \to z_0} 1/f(z) = c \in \mathbb{C} \)
se \(c=0\) allora vuol dire che \( \lim_{z \to z_0}\left| f(z) \right|= + \infty \), assurdo.
se \( c \neq 0 \) allora \( \lim_{z \to z_0} f(z) = 1/c \), assurdo
allora
\( \lim_{z \to z_0}\left| 1/f(z) \right|= + \infty \)
ma
\( \lim_{z \to z_0} f(z) = 0 \in \mathbb{C} \)
assurdo.
Pertanto \( 1/f \) possiede una singolarità essenziale.
Ora abbiamo che \( \sin( \pi/z ) \) possiede una singolarità essenziale in \( z_0 = 0 \) pertanto anche \( 1/ \sin( \pi/z) \) possiede una singolarità essenziale ma non è isolata...
Si, come hai dimostrato. Ti confesso che mi perdo un po' nella tua dimostrazione, anche perché si possa fare in modo più semplice usando proprio un tuo esercizio recente. Tu hai dimostrato che una funzione meromorfa \(f\) si può scrivere come rapporto di due funzioni olomorfe \(h\) e \(k\);
\[
f=\frac{h}{k}.\]
Ma se \(f\) ha zeri non isolati, questo significa che \(h\) ha zeri non isolati, e dunque \(h=0\) e perciò \(f=0\).
Guarda che però \( f \) ha zeri isolati poiché il punto di accumulazione degli zeri non fa parte del dominio di olomorfia della \( f \), ne tanto meno nel dominio di definizione.
Gli zeri di \( h \) si accumulano nello zero di \( k \) sostanzialmente. Ma da qui non puoi concludere che \( f = 0 \).
Edit:
A meno che non consideri la derivata logaritmica
\(f'/f = \frac{(h' k - k' h)/k^2}{h/k } = \frac{h'k - k'h}{kh} \)
che è meromorfa se \( f \) è meromorfa e ora i poli di \(f'/f \) si accumulano in un polo di \( f'/f \).
Poiché i poli sono gli zeri di \(kh \) che sono dati dagli zeri di \( k \) e/o di \( h \). E siccome gli zeri di \( h \) si accumulano nello zero di \( k \) concludiamo.
Quanto al resto, si tratta solo di ricordare le definizioni. MI PARE che per classificare le singolarità esse debbano essere isolate, se non sono isolate allora non si può sviluppare in serie di Laurent e quindi non ha senso nessuna classificazione, come hai osservato.
Si effettivamente le singolarità eliminabili, i poli e le singolarità essenziali devono essere isolate, ma esistono singolarità non isolate non classificabili.
Siccome \( \sin(\pi/z ) \) possiede una singolarità essenziale in \( 0 \) e \( 1/ \sin(\pi/z) \) non la possiede non capisco dove sta l'errore nella mia "dimostrazione" qui sotto.
Siccome \( \sin(\pi/z ) \) possiede una singolarità essenziale in \( 0 \) e \( 1/ \sin(\pi/z) \) non la possiede non capisco dove sta l'errore nella mia "dimostrazione" qui sotto.
"3m0o":
Siccome una singolarità essenziale si definisce a partire dallo sviluppo di Laurent abbiamo che è isolata.
Ma se \( f \) possiede una singolarità essenziale (diciamo in \( z_0 \)) allora \( 1/f \) possiede una singolarità essenziale in \( z_0 \), infatti \( f \) possiede una singolarità essenziale se e solo se entrambe sono false
\( \lim_{z \to z_0} f(z) = c \in \mathbb{C} \)
\( \lim_{z \to z_0}\left| f(z) \right|= + \infty \)
Supponendo \( 1/ f \) non possiede una singolarità essenziale in \( z_0 \) vuol dire che almeno una delle due condizioni sopra è soddisfatta
supponiamo che
\( \lim_{z \to z_0} 1/f(z) = c \in \mathbb{C} \)
se \( c=0 \) allora vuol dire che \( \lim_{z \to z_0}\left| f(z) \right|= + \infty \), assurdo.
se \( c \neq 0 \) allora \( \lim_{z \to z_0} f(z) = 1/c \), assurdo
allora
\( \lim_{z \to z_0}\left| 1/f(z) \right|= + \infty \)
ma
\( \lim_{z \to z_0} f(z) = 0 \in \mathbb{C} \)
assurdo.
Pertanto \( 1/f \) possiede una singolarità essenziale.
Ora abbiamo che \( \sin( \pi/z ) \) possiede una singolarità essenziale in \( z_0 = 0 \) pertanto anche \( 1/ \sin( \pi/z) \) possiede una singolarità essenziale ma non è isolata...
"3m0o":
Questo vuol dire che se una funzione olomorfa \( f : U \setminus \{z_0 \} \to \mathbb{C}\) diversa dalla funzione nulla che ha un infinità di zeri isolati che convergono a \( z_0 \) implica che \(z_0 \) è una singolarità essenziale?
Tra l'altro questo fatto risulta molto intuitivo pensando al Grande teorema di Piacrd. Infatti in un intorno di \(z_0 \) prende infinite volte il valore di \(0\).
E pertanto dovrebbe essere vero anche \( f: U \setminus \{z_0 \} \to \mathbb{C} \) diversa dalla funzione nulla tale che per un infinita di punti isolati \( (z_n)_{ n \in \mathbb{N} } \) abbiamo che \(f(z_n) = c \in \mathbb{C} \), dove gli \(z_n \) si accumulano in \(z_0 \). Allora \( f \) possiede una singolarità essenziale in \( z_0 \).
Basta applicare la dimostrazione precedente a \( g(z) := f(z) - c \), tant'è che le singolarità di \( g \) sono esattamente quelle di \(f \) e viceversa (stesso tipo).
Per il teorema di Picard se \( f \) ha una singolarità essenziale allora per ogni \( w \in \mathbb{C} \), senza al massimo uno, la \( f \) li assume infinite volte in qualunque intorno bucato di \(z_0 \).
Secondo se il valore escluso dal teorema di Picard di \( f \) è lo \( 0 \) allora la dimostra che \( 1/f \) ha una singolarità essenziale funziona. Altrimenti se lo zero viene preso infinite volte dalla \(f \) c'è una successione che si accumula a \(z_0 \) e quindi \( 1/f \) non possiede una singolarità essenziale in quanto non isolata.
Ma non capisco dov'è l'errore della dimostrazione.
Edit: e quindi credo che l'errore sia la conclusione perché il ragionamento è corretto!
La conclusione dovrebbe essere allora non è un polo e non è una singolarità eliminabile che non è equivalente a dire allora è una singolarità essenziale poiché esistono singolarità che non sono nessuna di queste 3. Non tiene conto infatti della possiblità che vi siano infiniti poli (della 1/f) che si accumulano in \(z_0 \).
Secondo se il valore escluso dal teorema di Picard di \( f \) è lo \( 0 \) allora la dimostra che \( 1/f \) ha una singolarità essenziale funziona. Altrimenti se lo zero viene preso infinite volte dalla \(f \) c'è una successione che si accumula a \(z_0 \) e quindi \( 1/f \) non possiede una singolarità essenziale in quanto non isolata.
Ma non capisco dov'è l'errore della dimostrazione.
Edit: e quindi credo che l'errore sia la conclusione perché il ragionamento è corretto!
La conclusione dovrebbe essere allora non è un polo e non è una singolarità eliminabile che non è equivalente a dire allora è una singolarità essenziale poiché esistono singolarità che non sono nessuna di queste 3. Non tiene conto infatti della possiblità che vi siano infiniti poli (della 1/f) che si accumulano in \(z_0 \).
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