Convergenza normale sse converge uniformemente su tutti i compatti
Per le serie di potenze complesse abbiamo che la convergenza normale è equivalente alla convergenza uniforme su tutti compatti.
Una direzione non riesco a farla, l'altra forse, secondo voi va bene?
Per alleggerire la notazione invece di scrivere \( \sum\limits_{k} a_k (z - z_0)^k \) suppongo \(z_0 =0 \). Infatti basta fare un ricentraggio della serie di potenze.
Una serie converge uniformemente su un insieme \( K \) se converge e se
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,K} \xrightarrow[N \to \infty]{} 0 \]
dove
\[ \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{\infty,K} = \sup_{z \in K} \left| f(z) \right| \]
Per una successione di funzioni \( f_k : U \to \mathbb{C} \), la serie \( \sum_{k=0}^{\infty} f_k(z) \) converge normalmente su \( U \) se per ogni \( z_0 \in U \) esiste un intorno chiuso \( \overline{D}(z_0,\epsilon) \subset U \) per \( \epsilon > 0 \) tale che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,\overline{D}(z_0,\epsilon)} < \infty \]
Per Heine-Borel abbiamo che è equivalente a dire che per tutti i compatti di \(K \subset U\) abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,K} < \infty \]
Siccome abbiamo che per un compatto \(K \) di \(U \) possiamo trovare un ricoprimento di intorni della forma \( D(z,\epsilon) \). E ne possiamo estrarre un sottoricoprimento finito \( K \subset \{D(z_j,\epsilon_j) \}_{j=1,\ldots,m} \) in modo tale che per qualunque \(j=1,\ldots,m \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,\overline{D}(z_j,\epsilon_j)} < \infty \]
Pertanto
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,K} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \max_{i=1,\ldots,m} \left( \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,\overline{D}(z_i,\epsilon_i)} \right) < \infty \]
\( \Rightarrow \)
Sia \( f(z)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k z^k \) una serie di potenze che converge normalmente su un aperto \(U \subset \mathbb{C} \).
Allora abbiamo che per tutti i compatti \( K \) di \( U \), e per \( z \in K \) risulta:
\[ \infty >\sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,K} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \sup_{z \in K} \left| a_k z^k \right| \geq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left|a_k z^k \right| \]
Pertanto su \( K \) la serie converge assolutamente e dunque converge semplicemente.
Dimostriamo ora che la
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,K} \xrightarrow[N \to \infty]{} 0 \]
Risulta per ogni \( N \in \mathbb{N} \)
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,K}= \sup_{z \in K} \begin{vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{vmatrix} = \sup_{z \in K} \begin{vmatrix} \sum\limits_{k=N+1}^{\infty} a_k z^k \end{vmatrix} \]
Per ogni \( N \) abbiamo che il sup è finito. Dimostriamo che va a zero. Abbiamo che siccome le somme parziali \[ S_N(z)= \sum\limits_{k=0}^{ N} a_k z^k \]
convergono in quanto la serie converge, per ogni \(z \in K \), allora \( \sum\limits_{k=N+1}^{\infty} a_k z^k \) va a zero quando \( N \to \infty \).
E così anche il supermum, dunque
\[ \lim\limits_{N \to \infty} \sup_{z \in K} \begin{vmatrix} \sum\limits_{k=N+1}^{\infty} a_k z^k \end{vmatrix} = 0 \]
\( \Leftarrow \)
Sia \( f(z)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k z^k \) una serie di potenze che converge uniformemente su ogni compatto \(K \) di un aperto \(U \subset \mathbb{C} \).
Per questa direzione ho problemi! Qualcuno ha consigli?
Pensavo di utilizzare il fatto che siccome \( f \) converge su ogni compatto allora \(f \) è olomorfa su ogni compatto. Ma non vedo come continuare.
Una direzione non riesco a farla, l'altra forse, secondo voi va bene?
Per alleggerire la notazione invece di scrivere \( \sum\limits_{k} a_k (z - z_0)^k \) suppongo \(z_0 =0 \). Infatti basta fare un ricentraggio della serie di potenze.
Una serie converge uniformemente su un insieme \( K \) se converge e se
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,K} \xrightarrow[N \to \infty]{} 0 \]
dove
\[ \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{\infty,K} = \sup_{z \in K} \left| f(z) \right| \]
Per una successione di funzioni \( f_k : U \to \mathbb{C} \), la serie \( \sum_{k=0}^{\infty} f_k(z) \) converge normalmente su \( U \) se per ogni \( z_0 \in U \) esiste un intorno chiuso \( \overline{D}(z_0,\epsilon) \subset U \) per \( \epsilon > 0 \) tale che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,\overline{D}(z_0,\epsilon)} < \infty \]
Per Heine-Borel abbiamo che è equivalente a dire che per tutti i compatti di \(K \subset U\) abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,K} < \infty \]
Siccome abbiamo che per un compatto \(K \) di \(U \) possiamo trovare un ricoprimento di intorni della forma \( D(z,\epsilon) \). E ne possiamo estrarre un sottoricoprimento finito \( K \subset \{D(z_j,\epsilon_j) \}_{j=1,\ldots,m} \) in modo tale che per qualunque \(j=1,\ldots,m \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,\overline{D}(z_j,\epsilon_j)} < \infty \]
Pertanto
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,K} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \max_{i=1,\ldots,m} \left( \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty,\overline{D}(z_i,\epsilon_i)} \right) < \infty \]
\( \Rightarrow \)
Sia \( f(z)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k z^k \) una serie di potenze che converge normalmente su un aperto \(U \subset \mathbb{C} \).
Allora abbiamo che per tutti i compatti \( K \) di \( U \), e per \( z \in K \) risulta:
\[ \infty >\sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,K} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \sup_{z \in K} \left| a_k z^k \right| \geq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left|a_k z^k \right| \]
Pertanto su \( K \) la serie converge assolutamente e dunque converge semplicemente.
Dimostriamo ora che la
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,K} \xrightarrow[N \to \infty]{} 0 \]
Risulta per ogni \( N \in \mathbb{N} \)
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,K}= \sup_{z \in K} \begin{vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_k z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{vmatrix} = \sup_{z \in K} \begin{vmatrix} \sum\limits_{k=N+1}^{\infty} a_k z^k \end{vmatrix} \]
Per ogni \( N \) abbiamo che il sup è finito. Dimostriamo che va a zero. Abbiamo che siccome le somme parziali \[ S_N(z)= \sum\limits_{k=0}^{ N} a_k z^k \]
convergono in quanto la serie converge, per ogni \(z \in K \), allora \( \sum\limits_{k=N+1}^{\infty} a_k z^k \) va a zero quando \( N \to \infty \).
E così anche il supermum, dunque
\[ \lim\limits_{N \to \infty} \sup_{z \in K} \begin{vmatrix} \sum\limits_{k=N+1}^{\infty} a_k z^k \end{vmatrix} = 0 \]
\( \Leftarrow \)
Sia \( f(z)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k z^k \) una serie di potenze che converge uniformemente su ogni compatto \(K \) di un aperto \(U \subset \mathbb{C} \).
Per questa direzione ho problemi! Qualcuno ha consigli?
Pensavo di utilizzare il fatto che siccome \( f \) converge su ogni compatto allora \(f \) è olomorfa su ogni compatto. Ma non vedo come continuare.
Risposte
Se ho capito bene la tua definizione di "convergenza normale", l'esercizio chiede di dimostrare che è la stessa cosa supporre convergenza uniforme su tutti i compatti o solo sui dischi chiusi. Detto così, non mi sembra sia tanto complicato, visto che i dischi chiusi sono compatti (il che prova una implicazione), e ogni compatto si ricopre con un numero finito di dischi chiusi (il che prova l'altra implicazione). Forse sto ignorando qualche sottigliezza?
"dissonance":
Se ho capito bene la tua definizione di "convergenza normale", l'esercizio chiede di dimostrare che è la stessa cosa supporre convergenza uniforme su tutti i compatti o solo sui dischi chiusi. Detto così, non mi sembra sia tanto complicato, visto che i dischi chiusi sono compatti (il che prova una implicazione), e ogni compatto si ricopre con un numero finito di dischi chiusi (il che prova l'altra implicazione). Forse sto ignorando qualche sottigliezza?
Ma perché sarebbe così facile ?
Non vedo come la convergenza uniforme su tutti i compatti implica la convergenza normale
Edit:
Il fatto è che se una serie di potenze converge uniformemente su tutti i compatti allora abbiamo che per ogni compatto \( K \) possiamo trovare un ricoprimento di dischi finiti \( \{ \overline{D}(z_j,\epsilon_j) \}_{j=1,\ldots,m} \) in modo tale che la serie converge uniformemente su ogni disco. Questo vuol dire che per per ogni \( j =1,\ldots,m \) e per ogni \( z \in \overline{D}(z_j,\epsilon_j) \) risulta che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \]
converge puntualmente!
Inoltre che per ogni \(j = 1 ,\ldots,m \)
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_kz^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty, \overline{D}(z_j,\epsilon_j)}= \sup_{z \in \overline{D}(z_j,\epsilon_j)} \left| \sum\limits_{k=N+1}^{\infty} a_kz^k \right| \to 0 \]
quando \( N \to \infty \).
Non vedo come questo implica che su ogni disco risulti \[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,\overline{D}(z_j,\epsilon_j) } = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \sup_{z \in \overline{D}(z_j,\epsilon_j) }\begin{vmatrix} a_kz^k \end{vmatrix} < \infty \]
Devo usare da qualche parte il fatto che sono delle serie di potenze complesse, perché altrimenti c'è un controesempio, ad esempio se prendo la serie di funzioni \( f_n = \frac{1}{n} \cdot \mathbf{1}_{[n,n+1)} \) dove \( \mathbf{1}_{[n,n+1)} \) è la funzione indicatrice (1 se \( x \in [n,n+1) \) e zero altrimenti), allora risulta che per ogni compatto di \( \mathbb{R} \) la serie converge puntualmente infatti per ogni compatto \( [a,b] \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} f_n(x) < \infty \]
perché possiede un termine diversi da zero, infatti \( f_n(x) \neq 0 \Leftrightarrow n \in [a,b] \) e \(x \in [n,n+1) \).
E in più converge uniformemente poiché abbiamo per ogni compatto converge puntualmente e
\[ \sup_{x \in [a,b]} \begin{vmatrix} \sum\limits_{n= N+1}^{\infty} f_n(x) \end{vmatrix} \xrightarrow[N \to \infty]{} 0 \]
infatti abbiamo che per \( N \) sufficientemente grande risulta che \(b< N+1 \) e dunque \( f_n(x)=0 \) per ogni \( N+1 \leq n \)
Però la serie non converge normalmente poiché se \( a,b \to \infty \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{n= 0}^{\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} \left|f_n(x) \right|= \sum\limits_{n= 0}^{\infty} \frac{1}{n} \]
Oppure sono io a non capire la definizione che ci hanno dato.
Il fatto è che se una serie di potenze converge uniformemente su tutti i compatti allora abbiamo che per ogni compatto \( K \) possiamo trovare un ricoprimento di dischi finiti \( \{ \overline{D}(z_j,\epsilon_j) \}_{j=1,\ldots,m} \) in modo tale che la serie converge uniformemente su ogni disco. Questo vuol dire che per per ogni \( j =1,\ldots,m \) e per ogni \( z \in \overline{D}(z_j,\epsilon_j) \) risulta che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \]
converge puntualmente!
Inoltre che per ogni \(j = 1 ,\ldots,m \)
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{N} a_kz^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty, \overline{D}(z_j,\epsilon_j)}= \sup_{z \in \overline{D}(z_j,\epsilon_j)} \left| \sum\limits_{k=N+1}^{\infty} a_kz^k \right| \to 0 \]
quando \( N \to \infty \).
Non vedo come questo implica che su ogni disco risulti \[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} a_kz^k \end{Vmatrix}_{\infty,\overline{D}(z_j,\epsilon_j) } = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \sup_{z \in \overline{D}(z_j,\epsilon_j) }\begin{vmatrix} a_kz^k \end{vmatrix} < \infty \]
Devo usare da qualche parte il fatto che sono delle serie di potenze complesse, perché altrimenti c'è un controesempio, ad esempio se prendo la serie di funzioni \( f_n = \frac{1}{n} \cdot \mathbf{1}_{[n,n+1)} \) dove \( \mathbf{1}_{[n,n+1)} \) è la funzione indicatrice (1 se \( x \in [n,n+1) \) e zero altrimenti), allora risulta che per ogni compatto di \( \mathbb{R} \) la serie converge puntualmente infatti per ogni compatto \( [a,b] \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} f_n(x) < \infty \]
perché possiede un termine diversi da zero, infatti \( f_n(x) \neq 0 \Leftrightarrow n \in [a,b] \) e \(x \in [n,n+1) \).
E in più converge uniformemente poiché abbiamo per ogni compatto converge puntualmente e
\[ \sup_{x \in [a,b]} \begin{vmatrix} \sum\limits_{n= N+1}^{\infty} f_n(x) \end{vmatrix} \xrightarrow[N \to \infty]{} 0 \]
infatti abbiamo che per \( N \) sufficientemente grande risulta che \(b< N+1 \) e dunque \( f_n(x)=0 \) per ogni \( N+1 \leq n \)
Però la serie non converge normalmente poiché se \( a,b \to \infty \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{n= 0}^{\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} \left|f_n(x) \right|= \sum\limits_{n= 0}^{\infty} \frac{1}{n} \]
Oppure sono io a non capire la definizione che ci hanno dato.
Guarda, non lo so, non ho proprio tempo di leggere con attenzione, ma io pensavo la cosa seguente; se il compatto \(K\) è contenuto nell'unione finita \(\bigcup_{j=1}^n D_j\), dove ogni \(D_j\) è un disco chiuso, allora per ogni funzione \(f\) si ha
\[
\lVert f \rVert_{K}\le \lVert f\rVert_{D_1}+\ldots+\lVert f\rVert_{D_n}, \]
e da qui segue subito che la serie
\[
\sum_{k=1}^\infty \lVert f_k\rVert_K\]
è convergente se ciascuna delle serie \(\sum_{k=1}^\infty \lVert f_k\rVert_{D_j}\) è convergente.
\[
\lVert f \rVert_{K}\le \lVert f\rVert_{D_1}+\ldots+\lVert f\rVert_{D_n}, \]
e da qui segue subito che la serie
\[
\sum_{k=1}^\infty \lVert f_k\rVert_K\]
è convergente se ciascuna delle serie \(\sum_{k=1}^\infty \lVert f_k\rVert_{D_j}\) è convergente.
"dissonance":
Guarda, non lo so, non ho proprio tempo di leggere con attenzione, ma io pensavo la cosa seguente; se il compatto \(K\) è contenuto nell'unione finita \(\bigcup_{j=1}^n D_j\), dove ogni \(D_j\) è un disco chiuso, allora per ogni funzione \(f\) si ha
\[
\lVert f \rVert_{K}\le \lVert f\rVert_{D_1}+\ldots+\lVert f\rVert_{D_n}, \]
e da qui segue subito che la serie
\[
\sum_{k=1}^\infty \lVert f_k\rVert_K\]
è convergente se ciascuna delle serie \(\sum_{k=1}^\infty \lVert f_k\rVert_{D_j}\) è convergente.
Ma questo dimostra solo che la convergenza normale su ogni disco chiuso dell aperto è equivalente alla convergenza normale su ogni compatto.
Chiaramente la convergenza normale su ogni compatto non è equivalente alla convergenza uniforme su ogni compatto.
Prendi ad esempio prendendo \( f_n(z) = \frac{1}{n} \mathbf{1}_{(0,e^{i \pi/n}]}(z) \) abbiamo che \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(z) \) converge uniformemente su ogni compatto ma non converge normalmente in nessun disco chiuso.
Dove con la scrittura \( (0,e^{i \pi/n}] \) intendo la retta passante per l'origine e il punto \( e^{i \pi/n} \).
Ma mi domandavo se la convergenza normale su ogni compatto è equivalente alla convergenza uniforme su ogni compatto se stiamo parlando di funzioni complesse esprimibili in serie di potenze.
Adesso ho capito e ti chiedo scusa per avere sottovalutato il problema.
Bisogna dimostrare che la convergenza uniforme implica la convergenza normale sui compatti. Ovvero, bisogna dimostrare che se la serie \(\sum_k a_k z^k\) converge uniformemente sul disco \(|z|< R\), allora
\[
\sum_{k=0}^\infty |a_k| r^k <\infty, \]
per ogni \(0
In effetti, è sufficiente che la serie converga puntualmente su \(|z|
|a_k|(r')^k \to 0.\]
Ma allora la serie
\[
\sum_{k=0}^\infty |a_k|r^k\]
verifica il criterio della radice.
Questo procedimento si chiama di solito "criterio di Hadamard".
Bisogna dimostrare che la convergenza uniforme implica la convergenza normale sui compatti. Ovvero, bisogna dimostrare che se la serie \(\sum_k a_k z^k\) converge uniformemente sul disco \(|z|< R\), allora
\[
\sum_{k=0}^\infty |a_k| r^k <\infty, \]
per ogni \(0
In effetti, è sufficiente che la serie converga puntualmente su \(|z|
|a_k|(r')^k \to 0.\]
Ma allora la serie
\[
\sum_{k=0}^\infty |a_k|r^k\]
verifica il criterio della radice.
Questo procedimento si chiama di solito "criterio di Hadamard".
L'enunciato che ci hanno dato è falso!
Convergenza locale uniforme \( \not\Rightarrow \) convergenza locale normale. Infatti
Sia \( f_j(z) : = \frac{(-1)^j}{j} e^z \)
Infatti fissato un compatto \( K \) di \( \mathbb{C} \) abbiamo
\[ \sup_{z \in B_1(z_0)} \left| \ln(2) e^z - \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}} f_j(z) \right| \leq e^{\left| z_0 \right| +1} \left| \ln(2) - \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}} \frac{(-1)^j}{j} \right| \xrightarrow{n \to \infty} 0 \]
Dunque
\[ g_n : = \sum_{j=1}^{n } f_j \]
converge localmente uniformemente a \( g(z) = \log(2) e^z \)
Per contro
\[ \sum_{j=1}^{\infty} \sup_{z \in B_r(0)} \left| f_j(z) \right| \geq \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j} \]
Convergenza locale uniforme \( \not\Rightarrow \) convergenza locale normale. Infatti
Sia \( f_j(z) : = \frac{(-1)^j}{j} e^z \)
Infatti fissato un compatto \( K \) di \( \mathbb{C} \) abbiamo
\[ \sup_{z \in B_1(z_0)} \left| \ln(2) e^z - \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}} f_j(z) \right| \leq e^{\left| z_0 \right| +1} \left| \ln(2) - \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}} \frac{(-1)^j}{j} \right| \xrightarrow{n \to \infty} 0 \]
Dunque
\[ g_n : = \sum_{j=1}^{n } f_j \]
converge localmente uniformemente a \( g(z) = \log(2) e^z \)
Per contro
\[ \sum_{j=1}^{\infty} \sup_{z \in B_r(0)} \left| f_j(z) \right| \geq \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j} \]
Ma l’esempio che hai dato nell’ultimo post non è una serie di potenze.
Hai ragione... erano le 4 del mattino.
Però \(g(z) \) è una funzione olomorfa (intera) e può essere espressa come serie di potenze. Mi sembra strano che
\[ \ln(2) e^z = \ln(2) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \]
converge uniformemente localmente e converge normalmente localmente
mentre
\[ \ln(2) e^z = \sum_{k=1}^{\infty} f_k(z) \]
solo uniformemente localmente.
Però \(g(z) \) è una funzione olomorfa (intera) e può essere espressa come serie di potenze. Mi sembra strano che
\[ \ln(2) e^z = \ln(2) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \]
converge uniformemente localmente e converge normalmente localmente
mentre
\[ \ln(2) e^z = \sum_{k=1}^{\infty} f_k(z) \]
solo uniformemente localmente.
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