Disequazione con fattoriale

[justcoolT]

Disequazione con fattoriale:

Ho delle difficoltà a svolgere il seguente esercizio:
(2n)! >= (n!)^2 per ogni n >= 0
il primo caso è abbastanza semplice ma non riesco a dimostrarlo tramite il principio di induzione.

[anna.supermath]

Ciao, cerco di spiegarti come ho fatto la dimostrazione per induzione.
Fai riferimento al file allegato
Dobbiamo dimostrare (2n)! >= (n!)^2
dove n apparitene all’insieme dei numeri interi positivi
Se n=1 allora 2>1
Se n=2 allora 24>4
Se n= 3 allora 720>36
.
.
.
Per n=k tale relazione risulta vero
(2k)! >= (k!)^2
Adesso si vuole dimostrare che tale relazione vale anche per
n = k+1
ossia
(2k+2)! >= [(k+1)!]^2
ossia
(2k+2)! - [(k+1)!]^2 >= 0
(2k + 2) (2k + 1)(2k)! - [(k+1)k!]^2 >= 0
sostituiamo
(2k)! con (k!)^2
ottenendo
(2k + 2) (2k + 1)(k!)^2 - [(k+1)k!]^2
Da notare che quindi si ha:
(2k + 2) (2k + 1)(2k)! - [(k+1)k!]^2 >= (2k + 2) (2k + 1)(k!)^2 - [(k+1)k!]^2

Da
(2k + 2) (2k + 1)(k!)^2 - [(k+1)k!]^2
si ottiene:
(k!)^2 (3k^2 + 4k +1)
e tale quantità è sicuramente maggiore di zero (poiché k può essere solo maggiore di zero)
Quindi (a maggior ragione)
(2k + 2) (2k + 1)(2k)! - [(k+1)k!]^2 >= 0
che si traduce in
(2k+2)! - [(k+1)!]^2 >= 0
ossia
(2k+2)! >= [(k+1)!]^2
che è quanto volevamo provare, ossia la quantità
(2k)! >= (k!)^2
vale per ogni valore di k.
Si può concludere che
(2n)! >= (n!)^2