Parametrizzazione regolare a tratti
Salve a tutti, ho quest'esercizio:
Verificare che la parametrizzazione:
$\phi : [-1,1] \to \RR^2, t \to (|t|,t)$
1) non è chiusa
2-) semplice
3-) regolare, in caso contrario trovare una parametrizzazione a tratti
Il punto 1 l'ho fatto;
il punto 2 ho sfruttato il fatto (dettatomi dalla mia professoressa) che se anche una delle componenti è iniettiva nell'interno dell'intervallo $I$ allora la curva è semplice (o iniettiva anch'essa nell'interno di $I$)
3-) Per essere regolare deve essere innanzitutto $\phi \in C^1(I)$, tuttavia la componente $x(t) = |t|$ è ovviamente non derivabile in $x=0$, dove presenta un punto angoloso per via del modulo. Ho deciso di dividere l'intervallo $I$ in $I_1 = [-1,0] , I_2 = [0,1]$. In tal modo ottengo che:
$\phi|_{I_1} \in C^1 \^^ \phi|_{I_2} \in C^1 $ e $|| \vec \phi|_{I_1}'(t)|| = \sqrt2 = || \vec \phi|_{I_2}'(t) || \ne 0 \AA t \in \RR $
Tuttavia dopo aver chiesto alla professoressa, (ammettendo che abbia capito ciò che mi ha detto) mi ha confermato che si potrebbe trovare facilmente una parametrizzazione tale da rendere il vettore velocità della curva sempre più piccolo man mano che ci avviciniamo a 0 e poi farlo crescere nuovamente, così che esso si annulli in zero e non vi sia il problema di non poter trovare la retta tangente a $\phi$ in $t_0 = 0$. Questa è più o meno la spiegazione che mi ha dato (senza poter disegnare rende meno l'idea). Avete idea di quale sia una possibile rappresentazione con queste caratteristiche?
E domanda forse troppo vaga, secondo voi sarebbe possibile trovare una parametrizzazione regolare in tutto $I$ per la curva in questione sebbene il sostegno sia una linea spezzata (ho letto su alcune dispense che le linee spezzate presentano parametrizzazioni regolari)
Verificare che la parametrizzazione:
$\phi : [-1,1] \to \RR^2, t \to (|t|,t)$
1) non è chiusa
2-) semplice
3-) regolare, in caso contrario trovare una parametrizzazione a tratti
Il punto 1 l'ho fatto;
il punto 2 ho sfruttato il fatto (dettatomi dalla mia professoressa) che se anche una delle componenti è iniettiva nell'interno dell'intervallo $I$ allora la curva è semplice (o iniettiva anch'essa nell'interno di $I$)
3-) Per essere regolare deve essere innanzitutto $\phi \in C^1(I)$, tuttavia la componente $x(t) = |t|$ è ovviamente non derivabile in $x=0$, dove presenta un punto angoloso per via del modulo. Ho deciso di dividere l'intervallo $I$ in $I_1 = [-1,0] , I_2 = [0,1]$. In tal modo ottengo che:
$\phi|_{I_1} \in C^1 \^^ \phi|_{I_2} \in C^1 $ e $|| \vec \phi|_{I_1}'(t)|| = \sqrt2 = || \vec \phi|_{I_2}'(t) || \ne 0 \AA t \in \RR $
Tuttavia dopo aver chiesto alla professoressa, (ammettendo che abbia capito ciò che mi ha detto) mi ha confermato che si potrebbe trovare facilmente una parametrizzazione tale da rendere il vettore velocità della curva sempre più piccolo man mano che ci avviciniamo a 0 e poi farlo crescere nuovamente, così che esso si annulli in zero e non vi sia il problema di non poter trovare la retta tangente a $\phi$ in $t_0 = 0$. Questa è più o meno la spiegazione che mi ha dato (senza poter disegnare rende meno l'idea). Avete idea di quale sia una possibile rappresentazione con queste caratteristiche?
E domanda forse troppo vaga, secondo voi sarebbe possibile trovare una parametrizzazione regolare in tutto $I$ per la curva in questione sebbene il sostegno sia una linea spezzata (ho letto su alcune dispense che le linee spezzate presentano parametrizzazioni regolari)
Risposte
Prova un po' a cambiare variabile \(t=s^3\)
Ho seguito il tuo consiglio Dissonance e riporto cosa ho ottenuto:
$\gamma = (|s^3|, s^3) = (s^3,s^3), s \in [-1,0[ $ oppure $ (-s^3,s^3), s \in [0,1] ) $ e quindi ottengo che (prima di tutto che anche in questo caso ho $\gamma \in C^1$):
$\vec \gamma' (t) = ((-3t^2,3t^2), (3t^2,3t^2))$ e quindi $|| \vec \gamma'(t)|| = 3\sqrt2 t^2$ che si annulla in zero come ci eravamo prefissati.
Giusto per sapere, Dissonance per caso avevi già incontrato quest'esercizio o uno simile? (magari è "standard" per chi studia matematica) Oppure l'hai trovata sul momento questa parametrizzazione (non che fosse complicato col senno di poi, il fatto è che mi aspettavo sarebbe stata una parametrizzazione molto diversa, però visto il tuo livello non mi stupirei se l'avessi pensata in 2 secondi
). In ogni caso ti ringrazio 
$\gamma = (|s^3|, s^3) = (s^3,s^3), s \in [-1,0[ $ oppure $ (-s^3,s^3), s \in [0,1] ) $ e quindi ottengo che (prima di tutto che anche in questo caso ho $\gamma \in C^1$):
$\vec \gamma' (t) = ((-3t^2,3t^2), (3t^2,3t^2))$ e quindi $|| \vec \gamma'(t)|| = 3\sqrt2 t^2$ che si annulla in zero come ci eravamo prefissati.
Giusto per sapere, Dissonance per caso avevi già incontrato quest'esercizio o uno simile? (magari è "standard" per chi studia matematica) Oppure l'hai trovata sul momento questa parametrizzazione (non che fosse complicato col senno di poi, il fatto è che mi aspettavo sarebbe stata una parametrizzazione molto diversa, però visto il tuo livello non mi stupirei se l'avessi pensata in 2 secondi
). In ogni caso ti ringrazio
Avevo già riflettuto a esempi simili. Poi con un po' di mestiere sviluppi delle strategie semplici che spesso funzionano. Qui ad esempio, che dobbiamo fare un cambio di variabile, siamo bloccati, allora pensiamo "vabbé, proviamo a fare \(t=s^2\)". Ma poi ci diciamo "ah no, \(t\in [-1, 1]\), se faccio \(t=s^2\) mi incasino". E quindi arriva l'ovvia conclusione "proviamo \(t=s^3\)". E' stato questo il mio percorso mentale
Si avevo immaginato che avessi fatto un ragionamento del genere, grazie mille per il feedback e la grande disponibilità
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