Superfici di R^3 e derivate
Salve, sto avendo seri problemi ad arrivare ad alcuni risultati presentati dal Fasano-Marmi (che quando c'è da fare anche il conto più corto decide di ometterlo e presentare il solo risultato finale 
). Anch'io non riscrivo tutta le definizioni ma solo le cose strettamente necessarie:
$S= {(x_1,x_2,x_3) \in U|F(x_1,x_2,x_3) =0}$, sia poi $f:U \to \RR$ ove $U$ è un intorno della proiezione di $P = (x_1,x_2,x_3)$ sul piano $x_1,x_2$, tale che:
$S= graph(f) = {(x_1,x_2,x_3) \in R^3|(x_1,x_2) \in U, x_3 = f(x_1,x_2)}$
Qui c'è i passaggi che non capisco(riporto le parole):
Inoltre da F(x_1,x_2,x_3) = 0 e per esempio se $\frac{\partial F}{\partial x_3} \ne 0$ segue
$\frac{\partial F}{\partial x_1}dx_1+ \frac{\partial F}{\partial x_2}dx_2+\frac{\partial F}{\partial x_2}dx_2 $
e quindi da $F(x_1,x_2,f(x_1,x_2) ) = 0$ segue che
$\frac{\partial f}{\partial x_1} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x_1}}{\frac{\partial F}{\partial x_3}}, \frac{\partial f}{\partial x_2} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x_2}}{\frac{\partial F}{\partial x_3}}$
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi come ottenere questi risultati (lo so che sto chiedendo praticamente di svolgere un esercizio però non riesco proprio a capire). Grazie a chi risponderà
). Anch'io non riscrivo tutta le definizioni ma solo le cose strettamente necessarie:$S= {(x_1,x_2,x_3) \in U|F(x_1,x_2,x_3) =0}$, sia poi $f:U \to \RR$ ove $U$ è un intorno della proiezione di $P = (x_1,x_2,x_3)$ sul piano $x_1,x_2$, tale che:
$S= graph(f) = {(x_1,x_2,x_3) \in R^3|(x_1,x_2) \in U, x_3 = f(x_1,x_2)}$
Qui c'è i passaggi che non capisco(riporto le parole):
Inoltre da F(x_1,x_2,x_3) = 0 e per esempio se $\frac{\partial F}{\partial x_3} \ne 0$ segue
$\frac{\partial F}{\partial x_1}dx_1+ \frac{\partial F}{\partial x_2}dx_2+\frac{\partial F}{\partial x_2}dx_2 $
e quindi da $F(x_1,x_2,f(x_1,x_2) ) = 0$ segue che
$\frac{\partial f}{\partial x_1} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x_1}}{\frac{\partial F}{\partial x_3}}, \frac{\partial f}{\partial x_2} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x_2}}{\frac{\partial F}{\partial x_3}}$
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi come ottenere questi risultati (lo so che sto chiedendo praticamente di svolgere un esercizio però non riesco proprio a capire). Grazie a chi risponderà
Risposte
Non è il teorema delle funzioni implicite? Non capisco cosa il libro voglia dire dopo la prima occorrenza di "segue": scrive una sorta di forma differenziale, ma non è una vera e propria "frase".
La cosa strana è che io ho riportato esattamente cosa dice il libro.
Io ho pensato e sono arrivato a questa conclusione:
La prima implicazione proviene dal fatto che prende l'equazione $F(x_1,x_2,x_3) = 0$ e deriva entrambi i membri ottenendo $\gradF(\vec x) = 0$. Poi l'unica possibilità è, secondo me, che moltiplica scalarmente i membri dell'ultima equazione per un vettore $\vec v = (dx_1,dx_2,dx_3)$ di incrementi infinitesimi delle tre variabili, arbitrati suppongo ottenendo quella specie di forma differenziale.
Io ho pensato e sono arrivato a questa conclusione:
La prima implicazione proviene dal fatto che prende l'equazione $F(x_1,x_2,x_3) = 0$ e deriva entrambi i membri ottenendo $\gradF(\vec x) = 0$. Poi l'unica possibilità è, secondo me, che moltiplica scalarmente i membri dell'ultima equazione per un vettore $\vec v = (dx_1,dx_2,dx_3)$ di incrementi infinitesimi delle tre variabili, arbitrati suppongo ottenendo quella specie di forma differenziale.
Il seguito continuo a non avere la minima idea invece (a proposito come detto anche a Dissonance, io non ho mai studiato il th. della funzione implicita, mai nominato dal professore)
Esatto, vedi, qui stai proprio scoprendo ciò di cui parlavamo nell'altro thread. La tua superficie è l'insieme determinato dall'equazione
\[
F(x_1, x_2, x_3)=0.\]
Una equazione implicita. Ora nell'altro thread tu chiedevi: e come faccio a passarla in forma parametrica? Nella pratica, osservi l'equazione abbastanza a lungo finché non trovi un metodo. [Ad esempio: \(x^2+y^2+z^2-1=0\), la sfera di raggio 1, come si passa in forma parametrica? Puoi usare le coordinate polari, la proiezione stereografica, le coordinate cilindriche, coordinate così e coordinate colà, ce ne sono per tutti i gusti. ]
Ma in teoria, esiste un metodo sufficientemente generale? Partiamo dalla fine. Supponiamo di potere risolvere \(x_3\) come funzione di \(x_1, x_2\). Se si potesse fare questo avremmo finito, perché avremmo espresso la nostra superficie in termini dei parametri \(x_1, x_2\). Ma si può fare questo? Sicuramente se si potesse fare avremmo l'equazione
\[F(x_1, x_2, f(x_1, x_2))=0.\]
Differenziando,
\[
\partial_{x_1} F dx_1+ \partial_{x_2} F dx_2+\partial_{x_3}F\left( \partial_{x_1} f dx_1+\partial_{x_2}f dx_2\right)=0.\]
E qui arriva il conto del libro. Se \(\partial_{x_3}F=0\) questa equazione non contiene nessuna informazione su \(f\), quindi è completamente inutile. Siamo in un caso simile all'altro thread: quando si annullano le derivate di \(F\) non si può concludere proprio niente.
Ma se invece \(\partial_{x_3}F\ne 0\), allora possiamo dividere. Otteniamo così le derivate di \(f\). Attenzione: non sappiamo chi sia \(f\). Non sappiamo neanche se esiste. Ma nel caso in cui esistesse sapremmo calcolare le sue derivate. E qui arriva la matematica non banale, il teorema della funzione implicita, che ti dice "ok, forse non sai calcolare \(f\) ma il semplice fatto che ammetta derivate è sufficiente a garantire che \(f\) esiste".
Spero di avere un po' chiarito cosa si cerca di fare qui. Ripeto, non è importante sapere dimostrare il teorema della funzione implicita. (Ci sono libri interi su questo tema: https://link.springer.com/book/10.1007/ ... 614-5981-1). Ma è importante sapere fare ragionamenti come questo qui.
\[
F(x_1, x_2, x_3)=0.\]
Una equazione implicita. Ora nell'altro thread tu chiedevi: e come faccio a passarla in forma parametrica? Nella pratica, osservi l'equazione abbastanza a lungo finché non trovi un metodo. [Ad esempio: \(x^2+y^2+z^2-1=0\), la sfera di raggio 1, come si passa in forma parametrica? Puoi usare le coordinate polari, la proiezione stereografica, le coordinate cilindriche, coordinate così e coordinate colà, ce ne sono per tutti i gusti. ]
Ma in teoria, esiste un metodo sufficientemente generale? Partiamo dalla fine. Supponiamo di potere risolvere \(x_3\) come funzione di \(x_1, x_2\). Se si potesse fare questo avremmo finito, perché avremmo espresso la nostra superficie in termini dei parametri \(x_1, x_2\). Ma si può fare questo? Sicuramente se si potesse fare avremmo l'equazione
\[F(x_1, x_2, f(x_1, x_2))=0.\]
Differenziando,
\[
\partial_{x_1} F dx_1+ \partial_{x_2} F dx_2+\partial_{x_3}F\left( \partial_{x_1} f dx_1+\partial_{x_2}f dx_2\right)=0.\]
E qui arriva il conto del libro. Se \(\partial_{x_3}F=0\) questa equazione non contiene nessuna informazione su \(f\), quindi è completamente inutile. Siamo in un caso simile all'altro thread: quando si annullano le derivate di \(F\) non si può concludere proprio niente.
Ma se invece \(\partial_{x_3}F\ne 0\), allora possiamo dividere. Otteniamo così le derivate di \(f\). Attenzione: non sappiamo chi sia \(f\). Non sappiamo neanche se esiste. Ma nel caso in cui esistesse sapremmo calcolare le sue derivate. E qui arriva la matematica non banale, il teorema della funzione implicita, che ti dice "ok, forse non sai calcolare \(f\) ma il semplice fatto che ammetta derivate è sufficiente a garantire che \(f\) esiste".
Spero di avere un po' chiarito cosa si cerca di fare qui. Ripeto, non è importante sapere dimostrare il teorema della funzione implicita. (Ci sono libri interi su questo tema: https://link.springer.com/book/10.1007/ ... 614-5981-1). Ma è importante sapere fare ragionamenti come questo qui.
Bella risposta, dissonance. Ho una domanda di natura didattica per steezy. Come mai il tuo professore parte a razzo e introduce il teorema della funzione implicita per le superfici? Solitamente si parte da cose più semplici (si passa per le curve) e poi si generalizza. Strano approccio questo.
Ok adesso ha tutto più senso (se il libro spiegasse come fai tu Dissonance sarebbe davvero ottimo però penso passerebbe da 750 pagine a 7500 
). Lasciando tutto il resto da parte, il fatto che abbiano scritto un'intero libro su un teorema mi affascina ma allo stesse tempo mi spaventa. Comunque grazie nuovamente, sei sempre di grande aiuto.
). Lasciando tutto il resto da parte, il fatto che abbiano scritto un'intero libro su un teorema mi affascina ma allo stesse tempo mi spaventa. Comunque grazie nuovamente, sei sempre di grande aiuto.
Mathita devo informarti che questo professore insegna meccanica analitica (insegna tuttavia anche modelli matematici al secondo semestre e il suo scopo (e del corso) è di fare in qualche mese coordinate lagrangiane, hamiltoniane e relatività). Tuttavia per fare ciò, da quanto sto capendo, servono conoscenze matematiche molto profonde e avanzate che uno studente al secondo anno non si sogna nemmeno. Quindi gli tocca per forza prima fare una carrellata di argomenti di matematica e geometria in maniera purtroppo veloce e approssimativa. La scelta degli argomenti da affrontare la dovresti chiedere direttamente a lui io non saprei risponderti(posso dirti che sta seguendo, saltando molte cose, il Fasano-Marmi, che si trova in inglese online se vuoi controllare le cose che sto chiedendo ultimamente)
"Mathita":
Bella risposta, dissonance. Ho una domanda di natura didattica per steezy. Come mai il tuo professore parte a razzo e introduce il teorema della funzione implicita per le superfici? Solitamente si parte da cose più semplici (si passa per le curve) e poi si generalizza. Strano approccio questo.
Come detto a Dissonance, Il prof non ha mai menzionato tale teorema, solo il libro lo fa
Ah, tutto chiaro: non è un corso di analisi matematica 2! Come non detto, allora. È tutto nella norma.
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