Corollario della definizione di limite
Salve a tutti, vorrei chiedervi un parere su una questione relativa alla definizione di limite di funzione.
Sia data una funzione $f:X \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ punto di accumulazione per $X$, laddove si ha
$\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ valore finito. Posso prendere allora un $\epsilon_1$ in corrispondenza al quale resta individuato un $\delta_1$ per il quale $|f(x)-l<\epsilon_1$ quando $|x-x_0|<\delta_1$.
La mia domanda è: prendendo un $\epsilon_2 < \epsilon_1$ posso affermare che sarà $\delta_2 \leq \delta_1$?
Ho proceduto dimostrando per assurdo: supponiamo che in corrispondenza ad una coppia arbitraria $\epsilon_1, \epsilon_2$ risulti $\delta_2 > \delta_1$ (negazione della tesi). Allora per definizione di limite, laddove $|x-x_0|<\delta_1<\delta_2$ mi fa concludere che sarà $|f(x)-l|<\epsilon_2$ anche per $|x-x_0|<\delta_1$ e quindi dovrà essere vero che $\epsilon_2\geq\epsilon_1$, che nega, come si voleva, l'ipotesi iniziale.
Questa piccola prova mi sembra funzionare ma non mi convince del tutto. Ho il dubbio che tirando in ballo la relazione (la supposizione per assurdo) sui delta quando gli $\epsilon$ non sono ancora noti, anzi con l'obbiettivo di definire successivamente la relazione tra questi ultimi, stia causando una una falla nella logica di questa dimostrazione.
Un ringraziamento a chi vorrà aiutarmi in questa (probabilmente banale) questione!!
Sia data una funzione $f:X \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ punto di accumulazione per $X$, laddove si ha
$\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ valore finito. Posso prendere allora un $\epsilon_1$ in corrispondenza al quale resta individuato un $\delta_1$ per il quale $|f(x)-l<\epsilon_1$ quando $|x-x_0|<\delta_1$.
La mia domanda è: prendendo un $\epsilon_2 < \epsilon_1$ posso affermare che sarà $\delta_2 \leq \delta_1$?
Ho proceduto dimostrando per assurdo: supponiamo che in corrispondenza ad una coppia arbitraria $\epsilon_1, \epsilon_2$ risulti $\delta_2 > \delta_1$ (negazione della tesi). Allora per definizione di limite, laddove $|x-x_0|<\delta_1<\delta_2$ mi fa concludere che sarà $|f(x)-l|<\epsilon_2$ anche per $|x-x_0|<\delta_1$ e quindi dovrà essere vero che $\epsilon_2\geq\epsilon_1$, che nega, come si voleva, l'ipotesi iniziale.
Questa piccola prova mi sembra funzionare ma non mi convince del tutto. Ho il dubbio che tirando in ballo la relazione (la supposizione per assurdo) sui delta quando gli $\epsilon$ non sono ancora noti, anzi con l'obbiettivo di definire successivamente la relazione tra questi ultimi, stia causando una una falla nella logica di questa dimostrazione.
Un ringraziamento a chi vorrà aiutarmi in questa (probabilmente banale) questione!!
Risposte
È falso, pensa ad una funzione costante. Per essa ogni $\delta$ rende vera la definizione di limite qualsiasi sia $\epsilon$ (quindi anche per coppie $\epsilon_2<\epsilon_1$ corrispondenti a $\delta_1$ e $\delta_2$) e quindi ciò vale anche per $\delta_2>\delta_1$.
"GianlucaN":
La mia domanda è: prendendo un $\epsilon_2 < \epsilon_1$ posso affermare che sarà $\delta_2 \leq \delta_1$?
Rifletti sulla domanda su una funzione costante, e tieni presente che dalla definizione di limite, dato $\epsilon$, il $\delta$ non è mica unico!
Grazie mille per le risposte, mi hanno aiutato a chiarire il significato della definizione. In effetti, così ho anche realizzato meglio cosa avevo in mente quando mi sono posto questo dubbio. Sarebbe corretto il ragionamento se si prendesse in luogo del (non unico) $\delta$, la quantità $\overline{\delta} = s u p {\delta : |f(x)-l| < \epsilon}$, sotto l'ipotesi che per il limite considerato di questa funzione tale estremo superiore
sia un numero finito? In tal caso il $\overline{\delta}$ dovrebbe essere unicamente determinato e si escluderebbero casi simili alla funzione costante che ha $\overline{\delta}=\infty $, realizzando allora l'idea che se esiste per una funzione un limite finito, "se stringo epsilon allora dovrebbe stringersi (o restare uguale) il più grande delta possibile".
sia un numero finito? In tal caso il $\overline{\delta}$ dovrebbe essere unicamente determinato e si escluderebbero casi simili alla funzione costante che ha $\overline{\delta}=\infty $, realizzando allora l'idea che se esiste per una funzione un limite finito, "se stringo epsilon allora dovrebbe stringersi (o restare uguale) il più grande delta possibile".
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