$ \lim_{x \to 0^+} \frac{(\cos x)^2-1}{\sin (x^2)}$

[ncant04]

Come da titolo. Ho giusto bisogno di una conferma.
Dato che risulta in una forma indeterminata e dato che non ho voluto usare la regola di de l'Hôpital,

\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{(\cos x)^2-1}{\sin (x^2)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1-(\sin x)^2-1}{\sin (x^2)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-(\sin x)^2}{\sin (x^2)}
\]

Sfruttando gli sviluppi di Taylor di $ \sin x $ (al primo grado dovrebbe essere sufficiente), ottengo:
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{-(x + o(x))^2}{(x^2 + o(x^2))} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2(1+o(1))}{x^2(1+o(1))} = -1
\]

Va bene?

EDIT: come notato da @pilloeffe, c'erano degli errori di battitura. Ora non dovrebbero più esserci.

[pilloeffe]

Ciao ncant,

C'è qualche errore di scrittura, ma il risultato è corretto.
Io l'avrei risolto più semplicemente coi limiti notevoli:

$ \lim_{x \to 0^+} \frac{(cos x)^2-1}{sin (x^2)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(cos x - 1)(cos x + 1)}{\sin (x^2)} = - \lim_{x \to 0^+} \frac{(1 + cos x)(1 - cos x)}{\sin (x^2)} =$
$ = - \lim_{x \to 0^+} (1 + cos x) \cdot \lim_{x \to 0^+}\frac{1 - cos x}{x^2}\cdot \lim_{x \to 0^+}\frac {x^2}{\sin (x^2)} = - 2 \cdot 1/2 \cdot 1 = - 1$

[ncant04]

Grazie @pilloeffe