Equazione differenziale oscillatore armonico
Ciao, avrei alcuni dubbi sulle soluzioni della equazione edo: $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
In due corsi distinti ho trovato questi metodi risolutivi e non riesco a capire perché di fatto portino allo stesso risultato, in sostanza non riesco a entrare in profondità del ragionamento. Mi spiego:
1) si mostra che le soluzioni sono del tipo $e^(iomegat)$ ed $e^-(iomegat)$, quindi dice che la soluzione generale sarà: $x(t)=A_+e^(iomegat)+A_-e^(-iomegat)$ (d), siccome il problema da cui scaturiva era fisico voglio che quella somma $in RR$, allora questo è vero sse $A_(-) =-A_+^+$ (g) (^+ intendo notazionalmente il complesso coniugato)
Da questi pongo: $A_+=A_0e^(iphi)$ e ottengo $A_(-)=A_+^+=A_0e^(-iphi)$ quindi:
$A_+e^(iomegat)+A-e^(-iomegat)=A_0(e^(i(omegat+phi))+e^(-i(omegat+phi)))$ da cui non mi dilungo ma chiaramente si ottiene $A_0cos(omegat+phi)$ (ottenere anche il caso seno è facile per semplice fase distinta)
Benissimo.
Io ho sempre visto soluzioni reali per la x(t) anche in analisi (quindi il primo metodo non mi crea dubbio alcuno), però in un altro corso di fisica trovo questa trattazione:
2)
Si vuole risolvere la solita equazione differenziale, la quale ha due soluzioni complesse:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$
Ora, $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ dice che si scrive ovviamente in modo facile anche come: $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)$ ove $x_0' in RR$ stavolta.
Cio detto: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
Ora il punto dubbio (primo dubbio) il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
LE cose che mi mettono dubbi sono che: ma di solito si cerca x(t) reale mentre qui per la prima volta vedo una soluzione complessa, posso soprassedere anche su questo, però non capisco perché partendo solo dalla (a) io ottenga anche la soluzione (b), io sinceramente mi aspettavo che si dovessero sommare proprio come nel caso reale le due soluzioni $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$ cioè una loro combinazione lineare come visto in (d) (cioè nel caso reale faceva una c.l delle due) invece qui con il trick di raccogliere $x_0'$ reale trova già due soluzioni dalla prima delle due (la seconda manco la tocca)? non capisco come faccia solo basandosi sul notare che ho due parametri liberi come l'ordine della edo.
Procedo poi su (secondo dubbio): della $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ dice: "prendiamo parte reale e parte immaginaria e otteniamo le soluzioni reali della edo"
Ora $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ prese le due parti ho:
$x_1(t)=x_0'sin(omegat+alpha)$ e $x_2(t)=x_0'cos(omegat+alpha)$ che effettivamente magicamente coincide proprio con la soluione x(t) realea ottenuta al punto (1), però questo onestamente mi stupisce: mentre si là si otteneva il risultato imponendo la condizione (g) (cioè che la somma fosse reale) qui invece la ottengo come mero artificio di escludere parte reale e/o immaginaria dalla soluzione complessa... non mi sembrano ragionamenti assimilabili e invece funziona, ma perché in effetti torna la stessa cosa? Non mi è chiaro.
Sapreste aiutarmi a capire questi due punti dubbi? Grazie
In due corsi distinti ho trovato questi metodi risolutivi e non riesco a capire perché di fatto portino allo stesso risultato, in sostanza non riesco a entrare in profondità del ragionamento. Mi spiego:
1) si mostra che le soluzioni sono del tipo $e^(iomegat)$ ed $e^-(iomegat)$, quindi dice che la soluzione generale sarà: $x(t)=A_+e^(iomegat)+A_-e^(-iomegat)$ (d), siccome il problema da cui scaturiva era fisico voglio che quella somma $in RR$, allora questo è vero sse $A_(-) =-A_+^+$ (g) (^+ intendo notazionalmente il complesso coniugato)
Da questi pongo: $A_+=A_0e^(iphi)$ e ottengo $A_(-)=A_+^+=A_0e^(-iphi)$ quindi:
$A_+e^(iomegat)+A-e^(-iomegat)=A_0(e^(i(omegat+phi))+e^(-i(omegat+phi)))$ da cui non mi dilungo ma chiaramente si ottiene $A_0cos(omegat+phi)$ (ottenere anche il caso seno è facile per semplice fase distinta)
Benissimo.
Io ho sempre visto soluzioni reali per la x(t) anche in analisi (quindi il primo metodo non mi crea dubbio alcuno), però in un altro corso di fisica trovo questa trattazione:
2)
Si vuole risolvere la solita equazione differenziale, la quale ha due soluzioni complesse:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$
Ora, $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ dice che si scrive ovviamente in modo facile anche come: $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)$ ove $x_0' in RR$ stavolta.
Cio detto: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
Ora il punto dubbio (primo dubbio) il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
LE cose che mi mettono dubbi sono che: ma di solito si cerca x(t) reale mentre qui per la prima volta vedo una soluzione complessa, posso soprassedere anche su questo, però non capisco perché partendo solo dalla (a) io ottenga anche la soluzione (b), io sinceramente mi aspettavo che si dovessero sommare proprio come nel caso reale le due soluzioni $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$ cioè una loro combinazione lineare come visto in (d) (cioè nel caso reale faceva una c.l delle due) invece qui con il trick di raccogliere $x_0'$ reale trova già due soluzioni dalla prima delle due (la seconda manco la tocca)? non capisco come faccia solo basandosi sul notare che ho due parametri liberi come l'ordine della edo.
Procedo poi su (secondo dubbio): della $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ dice: "prendiamo parte reale e parte immaginaria e otteniamo le soluzioni reali della edo"
Ora $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ prese le due parti ho:
$x_1(t)=x_0'sin(omegat+alpha)$ e $x_2(t)=x_0'cos(omegat+alpha)$ che effettivamente magicamente coincide proprio con la soluione x(t) realea ottenuta al punto (1), però questo onestamente mi stupisce: mentre si là si otteneva il risultato imponendo la condizione (g) (cioè che la somma fosse reale) qui invece la ottengo come mero artificio di escludere parte reale e/o immaginaria dalla soluzione complessa... non mi sembrano ragionamenti assimilabili e invece funziona, ma perché in effetti torna la stessa cosa? Non mi è chiaro.
Sapreste aiutarmi a capire questi due punti dubbi? Grazie
Risposte
Ciao l'oscilloscopio,
Benvenuto sul forum!
Per rispondere alle tue domande, credo che potresti trovare interessante questo thread e quelli ad esso collegati che sono riportati nello stesso thread.
Benvenuto sul forum!
Per rispondere alle tue domande, credo che potresti trovare interessante questo thread e quelli ad esso collegati che sono riportati nello stesso thread.
Ciao pilloeffe e grazie per il benvenuto.
Ho preso visione dei link e di tutti quelli a matrioska ma ammetto che mi sembra proprio la soluzione al mio punto (1) i miei dubbi sono un poco diversi e si rifanno al punto (2) della mia precedente. Non so se mi sono spiegato male oppure se sembrava una domanda simile perché molti si incastrano in quel punto. Ma in realtà rendere la soluzione reale è proprio quello che ho fatto al punto 1 (ripeto
)..
Il mio dubbio è espresso al fine del mio precedente scritto prolisso (invero due domande) se hai modo di rileggerlo sarei molto interessato a una risposta. Se mi sono invece spiegato male provo a riformularla.
Un saluto!
Ho preso visione dei link e di tutti quelli a matrioska ma ammetto che mi sembra proprio la soluzione al mio punto (1) i miei dubbi sono un poco diversi e si rifanno al punto (2) della mia precedente. Non so se mi sono spiegato male oppure se sembrava una domanda simile perché molti si incastrano in quel punto. Ma in realtà rendere la soluzione reale è proprio quello che ho fatto al punto 1 (ripeto
)..Il mio dubbio è espresso al fine del mio precedente scritto prolisso (invero due domande) se hai modo di rileggerlo sarei molto interessato a una risposta. Se mi sono invece spiegato male provo a riformularla.
Un saluto!
Se ho inteso bene il tuo dubbio, credo che il core della risposta stia nel fatto che se una funzione complessa è soluzione di una equazione lineare a coefficienti reali, allora le sue parti reale ed immaginaria sono separatamente soluzioni (stavolta a valori reali) della stessa equazione.
https://www.science.unitn.it/~fisica1/f ... node3.html
Questo fatto è alla base del cosiddetto "Metodo dei Fasori", molto usato soprattutto per determinare le soluzioni particolari delle equazioni differenziali a coefficienti costanti non omogenee con termini noti sinusoidali.
Nel caso in questione essendo l'equazione del secondo ordine e avendo già trovato 2 soluzioni separate questo è sufficiente per concludere.
https://www.science.unitn.it/~fisica1/f ... node3.html
Questo fatto è alla base del cosiddetto "Metodo dei Fasori", molto usato soprattutto per determinare le soluzioni particolari delle equazioni differenziali a coefficienti costanti non omogenee con termini noti sinusoidali.
Nel caso in questione essendo l'equazione del secondo ordine e avendo già trovato 2 soluzioni separate questo è sufficiente per concludere.
@ingres: avevo mandato un messaggio ma temo che sia rimasto incastrato nel momento della moderazione o per qualche disguido tecnico non sia rimasto. Tuttavia ci terrei a risponderti e quindi ci riprovo, dato che ci tengo a capire il problema...
Se ho ben capito dalla tua speigazione è prprio per la linearità dell'operazione di derivazione sul numero complesso che si spezza facilmente in due parti come derivata di reale + derivata di parte complessa che fnziona.
Questo in effetti risolve il dubbio 2 ma mi permane il dubbio 1:
Cio che non ho ben capito è quanto segue:
Noi troviamo due soluzioni complesse: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$
Fatto questo il professore procede solo sulla a) e dice: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$, dato che $x_0$ è complesso posso scriverlo come $x_0'*e^(−iα)$ nulla di fantasmagorico.
Quindi: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
E come dicevo qui il dubbio: io mi aspettavo di dover sommare (cioè fae una C.L di) (a) e (b): $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$, invece il prof dice: noi abbiamo per soluzione $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ e "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri liberi e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale"
IN pratica solo da (a) ottiene anche la soluzione (b). MA perché non mi è chiaro.
mentre come scrivi tu, avendo soluzione (a) e (b) so che sarebbero soluzioni se sommate obv:
a me stupisce invece che il prof trovi le due soluzioni solo elaborando (a) e non fregandosene nulla di (b). Non riesco a capire.
Se ho ben capito dalla tua speigazione è prprio per la linearità dell'operazione di derivazione sul numero complesso che si spezza facilmente in due parti come derivata di reale + derivata di parte complessa che fnziona.
Questo in effetti risolve il dubbio 2 ma mi permane il dubbio 1:
Si vuole risolvere la solita equazione differenziale, la quale ha due soluzioni complesse:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$
Ora, $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ dice che si scrive ovviamente in modo facile anche come: $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)$ ove $x_0' in RR$ stavolta.
Cio detto: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
Ora il punto dubbio (primo dubbio) il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
LE cose che mi mettono dubbi sono che: ma di solito si cerca x(t) reale mentre qui per la prima volta vedo una soluzione complessa, posso soprassedere anche su questo, però non capisco perché partendo solo dalla (a) io ottenga anche la soluzione (b), io sinceramente mi aspettavo che si dovessero sommare proprio come nel caso reale le due soluzioni $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$ cioè una loro combinazione lineare come visto in (d) (cioè nel caso reale faceva una c.l delle due) invece qui con il trick di raccogliere $x_0'$ reale trova già due soluzioni dalla prima delle due (la seconda manco la tocca)? non capisco come faccia solo basandosi sul notare che ho due parametri liberi come l'ordine della edo.
Cio che non ho ben capito è quanto segue:
Noi troviamo due soluzioni complesse: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$
Fatto questo il professore procede solo sulla a) e dice: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$, dato che $x_0$ è complesso posso scriverlo come $x_0'*e^(−iα)$ nulla di fantasmagorico.
Quindi: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
E come dicevo qui il dubbio: io mi aspettavo di dover sommare (cioè fae una C.L di) (a) e (b): $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$, invece il prof dice: noi abbiamo per soluzione $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ e "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri liberi e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale"
IN pratica solo da (a) ottiene anche la soluzione (b). MA perché non mi è chiaro.
mentre come scrivi tu, avendo soluzione (a) e (b) so che sarebbero soluzioni se sommate obv:
Nel caso in questione essendo l'equazione del secondo ordine e avendo già trovato 2 soluzioni separate questo è sufficiente per concludere.
a me stupisce invece che il prof trovi le due soluzioni solo elaborando (a) e non fregandosene nulla di (b). Non riesco a capire.
"l'oscilloscopio":
@ingres: avevo mandato un messaggio ma temo che sia rimasto incastrato nel momento della moderazione o per qualche disguido tecnico non sia rimasto. Tuttavia ci terrei a risponderti e quindi ci riprovo, dato che ci tengo a capire il problema...
Nella coda di moderazione non c'è nessun tuo messaggio. Mi dispiace, lo so che è molto frustrante perdere lavoro così, mi è successo varie volte. Prossima volta scrivi il messaggio su un editor di testo e poi fai copia-incolla qui. Questo vale anche se devi riempire moduli su altri siti (domande di lavoro, borse di studio, etc...). Un piccolo life hack
@dissonance: [ot]sì, hai ragionissima. Infatti ora non uso un notepad prima di salvare su siti! La precedente l'ho scritta così. Ti ringrazio per il consiglio [/ot]
[/ot]
@l'oscilloscopio
Non so dirti onestamente il ragionamento che può aver fatto il tuo professore, ma credo che l'idea di fondo è che come detto parta dal fatto che le due soluzioni di parte reale e immaginaria sono due funzioni separate ovvero nel caso specifico (suppongo per semplicità $alpha = 0$ tanto nulla toglie dal punto di vista generale perchè è sempre ottenibile con un'opportuna traslazione nel tempo):
$e^(i*omega*t)=cos(omega t) + i sin(omega t)$
e ne prendo le parti reali e immaginarie ottengo $cos(omega t), sin(omega t)$ che sono effetttivamente 2 soluzioni indipendenti dell'equazione differenziale (il loro wronskiano non è nullo).
In quest'ottica considerare anche $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ non avrebbe aggiunto nulla perchè avrei ottenuto le stesse 2 funzioni (per l'arbitrarietà delle costanti che abbia $sin(omega t)$ oppure $- sin(omega t)$ è indifferente)
Non so se questa spiegazione, un pò semplicistica, sia soddisfacente.
Non so dirti onestamente il ragionamento che può aver fatto il tuo professore, ma credo che l'idea di fondo è che come detto parta dal fatto che le due soluzioni di parte reale e immaginaria sono due funzioni separate ovvero nel caso specifico (suppongo per semplicità $alpha = 0$ tanto nulla toglie dal punto di vista generale perchè è sempre ottenibile con un'opportuna traslazione nel tempo):
$e^(i*omega*t)=cos(omega t) + i sin(omega t)$
e ne prendo le parti reali e immaginarie ottengo $cos(omega t), sin(omega t)$ che sono effetttivamente 2 soluzioni indipendenti dell'equazione differenziale (il loro wronskiano non è nullo).
In quest'ottica considerare anche $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ non avrebbe aggiunto nulla perchè avrei ottenuto le stesse 2 funzioni (per l'arbitrarietà delle costanti che abbia $sin(omega t)$ oppure $- sin(omega t)$ è indifferente)
Non so se questa spiegazione, un pò semplicistica, sia soddisfacente.
Ciao ingres, grazie per aver ascoltato il mio grido di aiuto
Allora, ho seguito il tuo ragionamento e mi torna, nel senso che tu dici che essendo parte reale e immaginaria due funzioni reali di variabile reale e linearmente indipendenti sono possibili soluzioni REALI dell'equazione.
Questo è vero, sono d'accordissimo e l'avevo già dedotto dalla tua prima risposta, però per soluzioni reali.
Mentre a me pareva che il prof dicesse che date:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$ soluzioni complesse.
Io prendo a e scrivo (dopo i rimaneggiamenti di cui sopra): $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
e questa è la soluzione generale del caso complesso.
Cioè a me pare che il prof asserisca che questa soluzione in quanto ha due parametri liberi è soluzione della complessa in toto (cioè è per lui la sol. generale della eq. diff. complessa), non reale. E' questo che non mi convince, perché io invece dico: secondo me la soluzione generale della complessa è combinazione linare di (a) e (b). Non so se mi spiego. Sbaglio? Tu che ne pensi?
Allora, ho seguito il tuo ragionamento e mi torna, nel senso che tu dici che essendo parte reale e immaginaria due funzioni reali di variabile reale e linearmente indipendenti sono possibili soluzioni REALI dell'equazione.
Questo è vero, sono d'accordissimo e l'avevo già dedotto dalla tua prima risposta, però per soluzioni reali.
Mentre a me pareva che il prof dicesse che date:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$ soluzioni complesse.
Io prendo a e scrivo (dopo i rimaneggiamenti di cui sopra): $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
e questa è la soluzione generale del caso complesso.
Cioè a me pare che il prof asserisca che questa soluzione in quanto ha due parametri liberi è soluzione della complessa in toto (cioè è per lui la sol. generale della eq. diff. complessa), non reale. E' questo che non mi convince, perché io invece dico: secondo me la soluzione generale della complessa è combinazione linare di (a) e (b). Non so se mi spiego. Sbaglio? Tu che ne pensi?
"l'oscilloscopio":
e questa è la soluzione generale del caso complesso.
Cioè a me pare che il prof asserisca che questa soluzione in quanto ha due parametri liberi è soluzione della complessa in toto (cioè è per lui la sol. generale della eq. diff. complessa), non reale. E' questo che non mi convince, perché io invece dico: secondo me la soluzione generale della complessa è combinazione linare di (a) e (b).
Non capisco perché parli di equazione differenziale complessa: la edo iniziale è reale ed è associata ad un problema fisico, sicché ci si aspetta che le soluzioni siano reali, non complesse. Il modo per rendere la soluzione reale a partire da una combinazione lineare con coefficienti complessi delle soluzioni complesse è quello mostrato in questo thread. D'altronde, se prendi la soluzione complessa che hai chiamato con (a) e la metti dentro l'equazione differenziale iniziale (cioè la derivi due volte e poi ci sommi $\omega^2 x$) ti accorgerai facilmente che la risolve; accade lo stesso anche se prendi la soluzione complessa che hai chiamato con (b). Quindi ognuna delle due soluzioni (a) e (b) presa singolarmente è soluzione della edo iniziale, ma sono soluzioni che non ci vanno bene perché sono complesse e non reali. Un modo per rendere reale una soluzione complessa, che è ciò che si vuole, è prendere una delle due soluzioni (a) o (b) e scrivere la costante moltiplicativa complessa come prodotto di una costante moltiplicativa reale e di $e^{i\alpha} $ (oppure di $e^{- i\alpha} $) e poi prendere la parte reale o la parte immaginaria di tale soluzione, che come ti ha già scritto ingres sono entrambe soluzioni reali della edo iniziale.
Certo, è tutto giusto quello che dici e quello in realtà mi è ormai chiaro dato il corso della discussione avuta con voi. Mi è chiaro: abbiamo come dici una eq. diff. reale a coefficienti reali la soluzione fisica inoltre è reale.
Io però ponevo la domanda su un altro punto!
E' però comodo lavorare col formalismo complesso, torvarci la soluzione complessa dell'equazione e estrarci a posteriore parte reale (o complessa) che è soluzione (funzione reale) della equazione. Tutto perfetto.
L'unico punto che mi rimane dubbio è questo: nel formalismo complesso della soluzione per la nostra eq. reale cosa troviamo? Beh troviamo due funzioni: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$ soluzioni complesse.
Fin qui ok no? bene, detto ciò il prof prende la prima delle due funzioni (la "a") e la elabora usando la scrittura esponenziale del complesso: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ benissimo.
Ora il dubbio: (cit prof.) "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri liberi e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale" proprio in virtù di avere due parametri $alpha$ e $x'_0$ liberi.
CIoè sta dicendo che la soluzione complessa $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ è soluzione generale (complessa non ancora reale) della equazione differenziale. E a me par strano perché come soluzione COMPLESSA mi aspetterei una cobinazione lineare sia di (a) che di (b), cioè di entrambe le soluzioni. Ma noi siamo pervenuti ad $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ solamente sfruttando (a) non curandoci di (b). Come fa quindi (a) a comprendere anche la soluzione (ripeto complessa) (b)?
Io però ponevo la domanda su un altro punto!
E' però comodo lavorare col formalismo complesso, torvarci la soluzione complessa dell'equazione e estrarci a posteriore parte reale (o complessa) che è soluzione (funzione reale) della equazione. Tutto perfetto.
L'unico punto che mi rimane dubbio è questo: nel formalismo complesso della soluzione per la nostra eq. reale cosa troviamo? Beh troviamo due funzioni: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$ soluzioni complesse.
Fin qui ok no? bene, detto ciò il prof prende la prima delle due funzioni (la "a") e la elabora usando la scrittura esponenziale del complesso: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ benissimo.
Ora il dubbio: (cit prof.) "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri liberi e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale" proprio in virtù di avere due parametri $alpha$ e $x'_0$ liberi.
CIoè sta dicendo che la soluzione complessa $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ è soluzione generale (complessa non ancora reale) della equazione differenziale. E a me par strano perché come soluzione COMPLESSA mi aspetterei una cobinazione lineare sia di (a) che di (b), cioè di entrambe le soluzioni. Ma noi siamo pervenuti ad $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ solamente sfruttando (a) non curandoci di (b). Come fa quindi (a) a comprendere anche la soluzione (ripeto complessa) (b)?
"l'oscilloscopio":
CIoè sta dicendo che la soluzione complessa $x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} $ è soluzione generale (complessa non ancora reale) della equazione differenziale. E a me par strano [...]
Perché ti pare strano? Sta dicendo il giusto: se chiamiamo con (c) la soluzione complessa $x(t) = x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} $ in effetti questa è soluzione della ODE iniziale: per convincertene, basta che la derivi un paio di volte rispetto a $t$ e ci sommi $\omega^2 x $. Allo stesso modo è soluzione complessa (d) anche $x(t) = x_0' e^{i(\omega t + \alpha)} $, esattamente come lo sono indipendentemente l'una dall'altra le due soluzioni (a) e (b). Comunque volendo potresti ottenere la soluzione reale anche con la combinazione lineare che hai pensato tu ponendo $x_0' := A/2 $:
$ x_0' e^{i(\omega t + \alpha)} + x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} = A \frac{e^{i(\omega t + \alpha)} + e^{- i(\omega t + \alpha)}}{2} = A cos(\omega t + \alpha) $
Perché ti pare strano? Sta dicendo il giusto: se chiamiamo con (c) la soluzione complessa $x(t) = x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} $ in effetti questa è soluzione della ODE iniziale: per convincertene
No, ma non devo convincermene perché questo già mi è chiaro!
E' una soluzione.L'altra complessa come dici tu è (d) anche $x(t) = x_0' e^{i(\omega t + \alpha)} $.
Io però dico che presa solo (c) non ho la soluzione generale complessa, perché la generale non dovrebbe essere la combinazione lineare di f(c)+g(d), con f e g parametri della combinazione lineare?
Insomma, se io prendo solo (c) come soluzione non dovrei riuscire a tirare fuori la soluzione (d) da essa, questo dico perché sono linearmente indipendenti.
Facendo un semplice parallelismo è come per la soluzione reale (per quello parlavo di soluzione reale, ma solo per fare un parallelo a un fatto noto, il seguente: ) io ho una soluzione (a) $cosomegat$ e una (b) $sinomegat$, la soluzione generale non è SOLO (a) ma la combinazione lineare delle due f'(a)+g'(b).
Il prof invece sembra dire, avendo la soluzione (c) la soluzione complessa $x(t) = x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} $ ha al sui interno due parametri liberi ($x_0'$ e $alpha$) e quindi proprio per questi due gradi di libertà dei parametri è la soluzione generale.
mentre io dico no! per essere generale devo fare f(c)+g(d)
"l'oscilloscopio":
ho una soluzione (a) $cos\omega t $ e una (b) $sin\omega t $, la soluzione generale non è SOLO (a) ma la combinazione lineare delle due f'(a)+g'(b).
Non necessariamente: anche in questo caso la soluzione generale si può scrivere come $A cos(\omega t + \alpha) $
(usando solo la soluzione (a)) che infatti è possibile ottenere dalla combinazione lineare delle due soluzioni che hai scritto:
$x(t) = k_1 cos\omega t + k_2 sin\omega t $
Ponendo $k_1 := Acos\alpha $ e $k_2 := - Asin\alpha $ e ricordando che $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta $, si ottiene:
$x(t) = A cos\alpha cos\omega t - A sin\alpha sin \omega t = A cos(\omega t + \alpha) $
nella quale compaiono come costanti $A$ e $\alpha $ invece di $k_1 $ e $k_2 $ (le costanti devono comunque essere due). Naturalmente si può fare un ragionamento analogo usando solo la soluzione (b).
[EDIT] correzione typo
Ok siamo arrivati finalmente al nocciolo della questione, perdonami se finora non ti avevo fatto ben capire il dubbio.
Credo di non convenire su questo:
Usando solamente $sinomegat$ non posso ottenere quella cosa, per farlo devo deliberatamente aggiungere "alpha" e "A" a mano. Non mi pare proprio di ottenere quel risultato partendo solo da (a).
Ovviamente posso invece ottenerlo come hai fatto tu combinando (a) e (b) soluzioni, e ponendo le sostituzioni da te imposte MA io appunto userei sia (a) che (b) per farlo.
Mentre quando scriviamo: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ questa scrittura io la ottengo SOLO rimaneggiano (c') $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (esprimendo in forma esponenziale il complesso x0 al suo interno) e non sfrutto in alcun modo (d') $x(t)=x_1e^(iomegat)$.
Cioè sarebbe come ottenere d' solo da c'. strana come cosa.
Mi sembra ci sia una bella differenza
Ok siamo arrivati finalmente al nocciolo della questione, perdonami se finora non ti avevo fatto ben capire il dubbio.
Credo di non convenire su questo:
anche in questo caso la soluzione generale si può scrivere come $A cos(\omega t + \alpha) $
(usando solo la soluzione (a)) (che ricordo essere $sinomegat$)
Usando solamente $sinomegat$ non posso ottenere quella cosa, per farlo devo deliberatamente aggiungere "alpha" e "A" a mano. Non mi pare proprio di ottenere quel risultato partendo solo da (a).
Ovviamente posso invece ottenerlo come hai fatto tu combinando (a) e (b) soluzioni, e ponendo le sostituzioni da te imposte MA io appunto userei sia (a) che (b) per farlo.
Mentre quando scriviamo: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ questa scrittura io la ottengo SOLO rimaneggiano (c') $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (esprimendo in forma esponenziale il complesso x0 al suo interno) e non sfrutto in alcun modo (d') $x(t)=x_1e^(iomegat)$.
Cioè sarebbe come ottenere d' solo da c'. strana come cosa.
Mi sembra ci sia una bella differenza
"l'oscilloscopio":
Mi sembra ci sia una bella differenza
No, non c'è alcuna differenza: anche nella soluzione complessa abbiamo sostituito la costante complessa aggiunta a mano $x_0 \in \CC$ introducendo le due costanti $\alpha \in \RR$ e $x_0' \in \RR $ e questo lo si può fare a partire da una qualsiasi delle soluzioni complesse della EDO. Prendendo poi la parte reale o la parte immaginaria di una qualsiasi soluzione complessa si ottiene la soluzione generale reale dell'EDO proposta.
Prendendo poi la parte reale o la parte immaginaria di una qualsiasi soluzione complessa si ottiene la soluzione generale reale dell'EDO proposta.
Ripeto, a scanso di equivoci, che questo mi è chiaro e non verte più su questo il dubbio, già risolto da ingres col suo link, il mio problema è solo su quella aggiunta dei parametri che non vedevo nel caso complesso.
No, non c'è alcuna differenza: anche nella soluzione complessa abbiamo sostituito la costante complessa aggiunta a mano $x_0 \in \CC$ introducendo le due costanti $\alpha \in \RR$ e $x_0' \in \RR $ e questo lo si può fare a partire da una qualsiasi delle soluzioni complesse della EDO.
Non credo di aver capito perché dici che nel caso complesso venga a aggiunto a mano, mi spiego:
Nel caso reale una delle due soluzioni è: $Asinomegat$ da questa non si riesce a far uscire anche la seconda soluzione $Bcosomegat$ agendo su quella funzione sfruttando A.
Insomma: $Asinomegat$ non è la soluzione generale di per sé perché non contiene il caso $Bcosomegat$.
L'unico modo per ottenere il caso del coseno è aggiungere io di mia voltontà uno sfasameto arbitrario: $Asin(omegat+alpha')$
Nella soluzione complessa $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ io scrivo $x_0=x_0'e^(-ialpha)$ e vedi che qui il parametro alpha è gia presente non lo aggiungo mica io, io ho solamente riscritto un numero complesso come notazione esponenziale. A questo punto $x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ (facendo un parallelismo siamo nel caso $Asinomegat$) perché allora questo $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ contiene anche l'altra soluzione: $x(t)=x_1e^(iomegat)$? (facendo un parallelismo a puro scopo di spiegazione, ripeto, $x_1=Asinomegat$ non continene $x_2Bcosomegat$ MA $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ contiente come mostrato $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$)
"l'oscilloscopio":
MA $x_1(t)=x_0 e^{- i\omega t}$ contiente come mostrato $x_2(t)=x_1 e^{i\omega t} $
Non è che "contiene", sono due soluzioni generali aventi pari dignità: è il vantaggio di operare con le soluzioni complesse...
"l'oscilloscopio":
Io però dico che presa solo (c) non ho la soluzione generale complessa, perché la generale non dovrebbe essere la combinazione lineare di f(c)+g(d), con f e g parametri della combinazione lineare?
A parte che mi dovresti spiegare cosa intendi per soluzione generale complessa di un'equazione differenziale reale proveniente da un problema fisico reale, dalla quale ci aspettiamo una soluzione generale reale, la risposta è no, e te lo dimostro:
$x_1(t) = x_0 e^{i \omega t} = x_0' e^{i (\omega t +\alpha)} = x_0'[cos(\omega t + alpha) + i sin(\omega t + \alpha)]$
$x_2(t) = x_1 e^{- i \omega t} = x_1' e^{- i (\omega t +\alpha)} = x_1'[cos (\omega t + alpha) - i sin(\omega t + \alpha)]$
Vediamo cosa succede se ne facciamo la somma ottenendo quella che tu chiami "soluzione generale complessa" $x_{g}(t)$:
$x_{g}(t) = x_1 (t) + x_2 (t) = (x_0' + x_1') cos(\omega t + alpha) + i(x_0' - x_1') sin(\omega t + \alpha) $
Che cosa contiene questa "soluzione generale complessa" che non sia già contenuto in ognuna delle due soluzioni $x_1(t) $ e $x_2(t) $ singolarmente prese? Nulla. Se poi si assume $ x_0' = x_1' = A/2 $ ritroviamo una nostra vecchia conoscenza:
$ x_{g}(t) = A cos(\omega t + alpha) $
"l'oscilloscopio":
$x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
... il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
Se hai riportato fedelmente quello che ha detto il docente, l'affermazione non ha senso. Del resto, la famiglia di soluzioni complesse:
$x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
non può essere, nel senso letterale, la famiglia di soluzioni reali solo perchè entrambe dipendono da due costanti arbitrarie reali. Anche se il docente intendeva riferirsi alla parte reale e alla parte immaginaria separatamente, avrebbe dovuto argomentare diversamente. Tra l'altro, non è nemmeno necessario. Infatti, volendo rispettare quelle che sembrano le tue esigenze, basta la condizione sottostante:
$c_2=bar(c_1)$
che riduce le quattro costanti arbitrarie reali a due, per estrarre, dall'integrale generale complesso:
$x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)$
l'integrale generale reale:
$x(t)=2*Re(c_1)*cos\omegat+2*Im(c_1)*sin\omegat$
In questo modo, per ricavare l'integrale generale reale, devi comunque combinare linearmente i due integrali particolari complessi:
$[x_1(t)=e^(-i\omegat)] ^^ [x_2(t)=e^(i\omegat)]$
a patto che:
$c_2=bar(c_1)$
@pilloeffe: per soluzione generale complessa intendevo la funzione phi che renda vera l'uguaglianza https://www.science.unitn.it/~fisica1/f ... node3.html cioè la soluzione che "racchiude" tutte le funzioni con parametri (due) che risolvono quell'equazione.
Insomma al pari della soluzione reale generale che è: $Asin(omegat+alpha')$ data dalla somma/combinazione lineare di $x_1(t)=Asinomegat$ e $x_2(t)=Bcosomegat$
Sì esatto ma quello mi stupisce infatti, perché non comprendo il motivo per cui nel caso reale devo combinare le due soluzioni $x_1(t)=Asinomegat$ e $x_2(t)=Bcosomegat$ per avere la "generale", mentre per la funzione soluzione complessa $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ non ho bisogno di combinarla con: $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$, da $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ ho la stessa informazione di $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ come dici tu.
Ma da $x_1(t)=Asinomegat$ non avrei mai la stessa informazione fornita da: $x_2(t)=Bcosomegat$ (essendo funzioni linearmente indipendenti tra loro, dovrei combinarle con due parametri liberi per avere tutte/generali le soluzioni).
@noodles:
Non ho capito benissimo questa parte, nel senso che nel caso reale prendendo separatamente parte reale e immaginaria ho già le due soluzioni linearmente indipendenti del caso reale no? ottengo infattila parte in cos e in sin.
Insomma al pari della soluzione reale generale che è: $Asin(omegat+alpha')$ data dalla somma/combinazione lineare di $x_1(t)=Asinomegat$ e $x_2(t)=Bcosomegat$
Vediamo cosa succede se ne facciamo la somma ottenendo quella che tu chiami "soluzione generale complessa" $x_{g}(t)$:
$x_{g}(t) = x_1 (t) + x_2 (t) = (x_0' + x_1') cos(\omega t + alpha) + i(x_0' - x_1') sin(\omega t + \alpha) $
Che cosa contiene questa "soluzione generale complessa" che non sia già contenuto in ognuna delle due soluzioni $x_1(t) $ e $x_2(t) $ singolarmente prese? Nulla.
Sì esatto ma quello mi stupisce infatti, perché non comprendo il motivo per cui nel caso reale devo combinare le due soluzioni $x_1(t)=Asinomegat$ e $x_2(t)=Bcosomegat$ per avere la "generale", mentre per la funzione soluzione complessa $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ non ho bisogno di combinarla con: $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$, da $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ ho la stessa informazione di $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ come dici tu.
Ma da $x_1(t)=Asinomegat$ non avrei mai la stessa informazione fornita da: $x_2(t)=Bcosomegat$ (essendo funzioni linearmente indipendenti tra loro, dovrei combinarle con due parametri liberi per avere tutte/generali le soluzioni).
@noodles:
"Noodles":
Anche se il docente intendeva riferirsi alla parte reale e alla parte immaginaria separatamente, avrebbe dovuto argomentare diversamente.
Non ho capito benissimo questa parte, nel senso che nel caso reale prendendo separatamente parte reale e immaginaria ho già le due soluzioni linearmente indipendenti del caso reale no? ottengo infattila parte in cos e in sin.
Tra l'altro, non è nemmeno necessario. Infatti, volendo rispettare quelle che sembrano le tue esigenze, basta la condizione sottostante:credo inoltre di non aver colto bene cosa volessi dirmi con questo.
Avevo capito che tu volessi ricavare l'integrale generale reale:
a partire da entrambi gli integrali particolari complessi:
cioe:
senza necessariamente considerre la parte reale e la parte immaginaria di uno solo dei due integrali particolari complessi:
oppure:
Inutile dire che i due metodi sono del tutto equivalenti.
$x(t)=A*cos\omegat+B*sin\omegat$
a partire da entrambi gli integrali particolari complessi:
$[x_1(t)=e^(-i\omegat)] ^^ [x_2(t)=e^(i\omegat)]$
cioe:
$[x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)] ^^ [c_2=bar(c_1)] rarr$
$rarr [x(t)=2*Re(c_1)*cos\omegat+2*Im(c_1)*sin\omegat] ^^ [A=2*Re(c_1)] ^^ [B=2*Im(c_1)]$
senza necessariamente considerre la parte reale e la parte immaginaria di uno solo dei due integrali particolari complessi:
$x_1(t)=e^(-i\omegat) rarr$
$rarr x_1(t)=cos\omegat-isin\omegat rarr$
$rarr x(t)=A*cos\omegat+B*sin\omegat$
oppure:
$x_2(t)=e^(i\omegat) rarr$
$rarr x_2(t)=cos\omegat+isin\omegat rarr$
$rarr x(t)=A*cos\omegat+B*sin\omegat$
Inutile dire che i due metodi sono del tutto equivalenti.
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