Complessi
Ciao, sto cercando d imparare qualcosa su i complessi. Qualcuno puo spiegarmi come risolvere un esercizio del genere:
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!
Risposte
"richard84":
ho guardato pero non ci sono scritti tutti passaggi che fa per arrivare al risultato....
ma scusa:$ln2*4$ e uguale a $ln2+ln4$??
$ln(2*4)=ln2+ln4$, ma $4*ln2!=ln2+ln4$
Hai ricavato $ln(z)$?
non l ho ricavato l ho guardato, anche se c ero quasi arrivato se mi ricordi che: e vera $ln2+ln4=ln(2*4)$??
ora vado a dormire, prossimamente provero a calcolare quelli che mi hai detto tu. Hai anche altre eq. di 2 grado?
ora vado a dormire, prossimamente provero a calcolare quelli che mi hai detto tu. Hai anche altre eq. di 2 grado?
"richard84":
non l ho ricavato l ho guardato, anche se c ero quasi arrivato se mi ricordi che: e vera $ln2+ln4=ln(2*4)$??
ora vado a dormire, prossimamente provero a calcolare quelli che mi hai detto tu. Hai anche altre eq. di 2 grado?
stanno su quella dispensa tre o quattro: senza risultato. prova a farle, anche io le ho svolte. Oppure ci stanno quelle che dicono di trovare il luogo dei punti , sempre su quella dispensa. li potresti fare.
nica ma l'eq.di secondo grado dove sono sulle dispense?
Ricominciamo da questa:
$z|z+2|=-i$
la riscrivo
$(a+ib)|a+ib+2|=-i$
poi il valore assoluto come si considera?
$(a+ib)sqrt((a+ib)^2+4)=-i$??
quindi
$(a+ib)^2((a+ib)^2+4)=1$?
$z|z+2|=-i$
la riscrivo
$(a+ib)|a+ib+2|=-i$
poi il valore assoluto come si considera?
$(a+ib)sqrt((a+ib)^2+4)=-i$??
quindi
$(a+ib)^2((a+ib)^2+4)=1$?
"richard84":
Ricominciamo da questa:
$z|z+2|=-i$
la riscrivo
$(a+ib)|a+ib+2|=-i$
poi il valore assoluto come si considera?
$(a+ib)sqrt((a+ib)^2+4)=-i$??
quindi
$(a+ib)^2((a+ib)^2+4)=1$?
Mi sembrava di aver ampiamente discusso questo esercizio... però ho il sospetto che a postarlo è stato un altro utente... ora faccio una ricerca va!
ok grazie
allora non mi sbagliavo!??son contento...voglio solo capire questo metodo del sistema che ho visto citare nel forum da te suggerito. Come mai compare $(a+2)^2$ sotto radice?
però se vedi bene i miei post, ho sconsigliato l'uso del sistema, visto che si possono fare interessanti considerazioni sul testo del problema... ti consiglio di usare un po' di fantasia e non avvinghiarti agli schemi canonici...
infatti a me e venuto abbastanza istintivo procedere come vedi scritto sopra
non ti ho mai suggerito di seguire l'istinto... bensì di pensare prima iniziare a risolvere un qualunque esercizio...
ad esempio scrivere il generico numero complesso $z=a+jb$ non è utile nel nostro caso, poiché è banalmente $a=0$...
ad esempio scrivere il generico numero complesso $z=a+jb$ non è utile nel nostro caso, poiché è banalmente $a=0$...
In tal caso basta intuire che $|z+2|$ con $z=a+i*b$ è un numero reale, quindi affinchè abbia senso l'equazione il numero complesso da trovare deve solo avere parte immaginaria, cioè $z=i*b$. In tal modo l'equazione diventa
$i*b*sqrt(b^2+4)=-i$ cioè $b*sqrt(b^2+4)=-1$. Ora affinchè tale equazione abbia senso deve aversi $b<0$. Elevando al quadrato si ottiene:
$b^4+4b^2-1=0$ che è una biquadratica. Con $y=b^2$ si ottiene $y^2+4y-1=0$ cioè $y_(1,2)=-2+-sqrt(5)$.
La soluzione $y=-2-sqrt(5)<0$ va scartata e quella accettabile è $sqrt(5)-2$ che fornisce
$b=+-sqrt(sqrt(5)-2)$ e poichè deve essere $b<0$ la soluzione accettabile è $b=-sqrt(sqrt(5)-2)$. Quindi
$z=-i*sqrt(sqrt(5)-2)$
$i*b*sqrt(b^2+4)=-i$ cioè $b*sqrt(b^2+4)=-1$. Ora affinchè tale equazione abbia senso deve aversi $b<0$. Elevando al quadrato si ottiene:
$b^4+4b^2-1=0$ che è una biquadratica. Con $y=b^2$ si ottiene $y^2+4y-1=0$ cioè $y_(1,2)=-2+-sqrt(5)$.
La soluzione $y=-2-sqrt(5)<0$ va scartata e quella accettabile è $sqrt(5)-2$ che fornisce
$b=+-sqrt(sqrt(5)-2)$ e poichè deve essere $b<0$ la soluzione accettabile è $b=-sqrt(sqrt(5)-2)$. Quindi
$z=-i*sqrt(sqrt(5)-2)$
come mai affinchè abbia senso l'equazione, il numero complesso da trovare deve solo avere parte immaginaria, cioè z=ib??
il modulo di un numero complesso è un numero reale (tra l'altro non negativo), dunque $|z+2| in RR^+$; orbene, affinché la quantità $z|z+2|$ sia puramente immaginaria, occorre che $z$ sia puramente immaginario
Altro problema:
$z^2+z+1-i=0$
qua come posso ragionare?
invento $b^2+b+1=-1$?
$z^2+z+1-i=0$
qua come posso ragionare?
invento $b^2+b+1=-1$?
No , poni $ z = x+iy $ e sostituisci.
ok, mi salta fuori:
$a^2-b^2+a+1+i(2a+b-1)=0$
ora devo risolvere il sistema con $a^2-b^2+a+1=0$ e $2a+b-1=0$ ??
$a^2-b^2+a+1+i(2a+b-1)=0$
ora devo risolvere il sistema con $a^2-b^2+a+1=0$ e $2a+b-1=0$ ??
Risolvila come una equazione di secondo grado:
$z=(-1+-sqrt(1-4(1-i)))/2=(-1+-sqrt(4i-3))/2$
Ora per de Miovre
$sqrt(4i-3)=sqrt(5)*e^(i*1/2*(pi-arctg(4/3)+2kpi))$ $k=0,1$ ed è fatta
per $k=0$ si trova $sqrt(4i-3)=1+i*2$ e per $k=1$ $sqrt(4i-3)=-1-i*2$ per cui
$z_1=i$ e $z_2=-1-i$. Nota come le soluzioni fornite da de moivre sono uguali ed opposte come previsto dal segno $+-$ di risoluzione dell'equazione di secondo grado. Questo ci dice che sarebbe bastato solo il calcolo per $k=0$ perchè per $k=1$ era di segno opposto la soluzione. Cioè bastava la determinazione principale di $sqrt(4i-3)$.
Se lo vuoi fare col sistema il sistema è
${(a^2-b^2+a+1=0),(2ab+b-1=0):}$ e se sostituisci ti viene una equazione di 4° grado (che è una biquadratica).
$z=(-1+-sqrt(1-4(1-i)))/2=(-1+-sqrt(4i-3))/2$
Ora per de Miovre
$sqrt(4i-3)=sqrt(5)*e^(i*1/2*(pi-arctg(4/3)+2kpi))$ $k=0,1$ ed è fatta
per $k=0$ si trova $sqrt(4i-3)=1+i*2$ e per $k=1$ $sqrt(4i-3)=-1-i*2$ per cui
$z_1=i$ e $z_2=-1-i$. Nota come le soluzioni fornite da de moivre sono uguali ed opposte come previsto dal segno $+-$ di risoluzione dell'equazione di secondo grado. Questo ci dice che sarebbe bastato solo il calcolo per $k=0$ perchè per $k=1$ era di segno opposto la soluzione. Cioè bastava la determinazione principale di $sqrt(4i-3)$.
Se lo vuoi fare col sistema il sistema è
${(a^2-b^2+a+1=0),(2ab+b-1=0):}$ e se sostituisci ti viene una equazione di 4° grado (che è una biquadratica).
ma il determinante dell' eq. di secondo grado non sarebbe $1^2-4*1*(1-i)$??esiste solo questo modo per risolvere questa equazione?
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