Complessi
Ciao, sto cercando d imparare qualcosa su i complessi. Qualcuno puo spiegarmi come risolvere un esercizio del genere:
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!
Risposte
ma scusa z non e un numero complesso?come mai ne considero 2?
"richard84":
ma scusa z non e un numero complesso?come mai ne considero 2?
ti ho semplicemente fatto vedere come, dato $z in CC$, possa essere espresso $sin(z)$ e $cos(z)$ in funzione di $e^(+-i*z)$. nulla più
ok pero cmq devo considerare due num complessi ?
"richard84":
ok pero cmq devo considerare due num complessi ?
A partire dalle definizioni $cos(z)=(e^(i*z)+e^(-i*z))/2$ e $sin(z)=(e^(i*z)-e^(-i*z))/(2*i)$
devi calcolare $|cos(z)|$ e $|sin(z)|$ con $z=a+i*b$
le definizioni di seno e coseno pero le ottengo da due numeri complessi o sbaglio?
"richard84":
le definizioni di seno e coseno pero le ottengo da due numeri complessi o sbaglio?
sì, ma ti sono note. ora dato $z=a+i*b$ devi calcolare il modulo
che non e il seno del modulo di z giusto?
"richard84":
che non e il seno del modulo di z giusto?
$|sin(z)|!= sin(|z|)$
Sarebbe semplice calcolare $sin(|z|)=sin(a^2+b^2)$
nn so farlo,..
"richard84":
nn so farlo
$z=a+i*b$ $->$ $i*z=i*a-b$ e $-i*z=-i*a+b$
Quindi $e^(i*z)-e^(-i*z)=e^(i*a-b)-e^(-i*a+b)=e^(-b)*e^(i*a)-e^b*e^(-i*a)=e^(-b)[cos(a)+i*sin(a)]-e^(b)[cos(a)-i*sin(a)]$=
$cos(a)*[e^(-b)-e^b]+i*sin(a)*[e^(-b)+e^b]$
Quindi $sin(z)=(cos(a)*[e^(-b)-e^b]+i*sin(a)*[e^(-b)+e^b])/(2*i)$ e
$|sin(z)|=|cos(a)*[e^(-b)-e^b]+i*sin(a)*[e^(-b)+e^b]|/|2*i|=1/2*|cos(a)*[e^(-b)-e^b]+i*sin(a)*[e^(-b)+e^b]|$=
$1/2*sqrt(cos^2a*(e^(-b)-e^b)^2+sin^2a*(e^(-b)+e^b)^2)=1/2*sqrt(cos^2a*(e^(2b)+e^(-2b)-2)+sin^2a*(e^(2b)+e^(-2b)+2)$=
$1/2*sqrt((e^(2b)+e^(-2b))*(cos^2a+sin^2a)+2sin^2a-2cos^2a)=1/2*sqrt(e^(2b)+e^(-2b)-2cos2a)$
Prova tu con $|cos(z)|$: ci provo io prima
$e^(i*z)+e^(-i*z)=e^(i*a-b)+e^(-i*a+b)=e^(-b)*e^(i*a)+e^b*e^(-i*a)=e^(-b)[cos(a)+i*sin(a)]+e^(b)[cos(a)-i*sin(a)]$=
$cos(a)*[e^(-b)+e^b]+i*sin(a)*[e^(-b)-e^b]$
Quindi $cos(z)=(cos(a)*[e^(-b)+e^b]+i*sin(a)*[e^(-b)-e^b])/2$ e
$|cos(z)|=|cos(a)*[e^(-b)+e^b]+i*sin(a)*[e^(-b)-e^b]|/2=1/2*|cos(a)*[e^(-b)+e^b]+i*sin(a)*[e^(-b)-e^b]|$=
$1/2*sqrt(cos^2a*(e^(-b)+e^b)^2+sin^2a*(e^(-b)-e^b)^2)=1/2*sqrt(cos^2a*(e^(2b)+e^(-2b)+2)+sin^2a*(e^(2b)+e^(-2b)-2)$=
$1/2*sqrt((e^(2b)+e^(-2b))*(cos^2a+sin^2a)-2sin^2a+2cos^2a)=1/2*sqrt(e^(2b)+e^(-2b)+2cos2a)$
Quindi
${(|sin(z)|=1/2*sqrt(e^(2b)+e^(-2b)-2cos2a)),(|cos(z)|=1/2*sqrt(e^(2b)+e^(-2b)+2cos2a)):}$
In realtà $|cos(z)|$ lo si poteva calcolare a partire da quello di $|sin(z)|$.
Infatti $cos(z)=sin(pi/2-z)=-sin(z-pi/2)$ per cui $|cos(z)|=|sin(z-pi/2)|$.
Ora $z-pi/2=(a-pi/2)+i*b$, quindi nella formula del $|sin(z)|$ basta sostituire ad $a$ il valore $a-pi/2$ per trovare $|cos(z)|$. Ed infatti così facendo si ha
$|cos(z)|=1/2sqrt(e^(2b)+e^(-2b)-2cos(2(a-pi/2)))=1/2sqrt(e^(2b)+e^(-2b)-2cos(2a-pi))=1/2*sqrt(e^(2b)+e^(-2b)+2cos2a)$
nica ma perche nell es di ieri quando abbiamo moltiplicato per il coniugato del denominatore non abbiamo moltiplicato per $-2i$anziche per $i$??il coniugato di $2i$ non e $-2i$?
Invece quando calcoli il seno e espliciti $1/2$ la i dove finisce???
Invece quando calcoli il seno e espliciti $1/2$ la i dove finisce???
"richard84":
nica ma perche nell es di ieri quando abbiamo moltiplicato per il coniugato del denominatore non abbiamo moltiplicato per $-2i$anziche per $i$??il coniugato di $2i$ non e $-2i$?
Invece quando calcoli il seno e espliciti $1/2$ la i dove finisce???
$z=(1-i)/(2i)=((1-i)*(-2i))/(2i*(-2i))=(1-i)*(-i)/2=(-1-i)/2$
Ieri avevamo moltiplicato numeratore e denominatore per $-i$ e non per $-2i$ perchè nella moltiplicazione il 2 al numeratore si elide con quello del denominatore.
Poi nel caso di $|sin(z)|$ devi ricordare che se hai $z=z_1/(z_2)$ allora $|z|=|z_1|/(|z_2|)$ ecco per cui
$|sin(z)|=|e^(i*z)-e^(-i*z)|/|2*i|=|e^(i*z)-e^(-i*z)|/2$ perchè $|i*2|=2$
Chiaro?
abbastanza chiaro: praticamente il due che si elide deriva dal fatto che a den verrebbe $4$ che posso semplificare con $-2i$ del num?il sen e abbastanza chiaro anche il cos anche se per ora ho visto il procedimento piu veloce.
Ho provato a fare i seguenti es.mi dite se sono giusti?
$1)$calcolare $(sqrt3-i)^5$
io ho calcolato il modulo $|sqrt3-i|=2$ e poi l argomento:$eta=-arctg(1/sqrt3)$
quindi elevando alla 5:$2^5e^(i5(-arctg(1/sqrt3))$ , $2^5e^(-i5/6pi)$
$2)$calcolare$(sqrt2-sqrt2i)^5$:
$|sqrt2-sqrt2i|=2$ , $eta=-arctg(1)=-pi/4$ quindi: $2^5e^(-5/4pii)$
$3)$trovare i numeri complessi z tali che : $z^6-8=0$
$z'=-8$ $|z'|=8$ $z=[8^(1/6)e^((2Kpi)/6)]_(K=0,1,2,3,4,5)$
e giusto?
ho ancora provato a risolvere la seguente eq. ma non ci sono riuscito:
$iz^2-2z+3i=0$
Ho provato a fare i seguenti es.mi dite se sono giusti?
$1)$calcolare $(sqrt3-i)^5$
io ho calcolato il modulo $|sqrt3-i|=2$ e poi l argomento:$eta=-arctg(1/sqrt3)$
quindi elevando alla 5:$2^5e^(i5(-arctg(1/sqrt3))$ , $2^5e^(-i5/6pi)$
$2)$calcolare$(sqrt2-sqrt2i)^5$:
$|sqrt2-sqrt2i|=2$ , $eta=-arctg(1)=-pi/4$ quindi: $2^5e^(-5/4pii)$
$3)$trovare i numeri complessi z tali che : $z^6-8=0$
$z'=-8$ $|z'|=8$ $z=[8^(1/6)e^((2Kpi)/6)]_(K=0,1,2,3,4,5)$
e giusto?
ho ancora provato a risolvere la seguente eq. ma non ci sono riuscito:
$iz^2-2z+3i=0$
"richard84":
abbastanza chiaro: praticamente il due che si elide deriva dal fatto che a den verrebbe $4$ che posso semplificare con $-2i$ del num?il sen e abbastanza chiaro anche il cos anche se per ora ho visto il procedimento piu veloce.
Ho provato a fare i seguenti es.mi dite se sono giusti?
$1)$calcolare $(sqrt3-i)^5$
io ho calcolato il modulo $|sqrt3-i|=2$ e poi l argomento:$eta=-arctg(1/sqrt3)$
quindi elevando alla 5:$2^5e^(i5(-arctg(1/sqrt3))$ , $2^5e^(-i5/6pi)$
$2)$calcolare$(sqrt2-sqrt2i)^5$:
$|sqrt2-sqrt2i|=2$ , $eta=-arctg(1)=-pi/4$ quindi: $2^5e^(-5/4pii)$
$3)$trovare i numeri complessi z tali che : $z^6-8=0$
$z'=-8$ $|z'|=8$ $z=[8^(1/6)e^((2Kpi)/6)]_(K=0,1,2,3,4,5)$
e giusto?
ho ancora provato a risolvere la seguente eq. ma non ci sono riuscito:
$iz^2-2z+3i=0$
OK, nel 3) $z'=8$ ma è stata una distrazione perchè i calcoli tutto OK
Allora
$iz^2-2z+3i=0$
$z=a+i*b$ $a,b in RR$ quindi
$i*(a+i*b)^2-2*(a+i*b)+3*i=0$ cioè $i*(a^2-b^2+i*2ab)-2a-i*2b+3*i=0$ da cui $i*(a^2-b^2)-2ab-2a-i*2b+3*i=0$ e raccogliendo parti reali ed immaginarie
$(-2ab-2a)+i*(a^2-b^2-2b+3)=0$ cioè
${(-2ab-2a=0),(a^2-b^2-2b+3=0):}$ $->$ ${(-2a(b+1)=0),(a^2-b^2-2b+3=0):}$
Quindi otteniamo
${(a=0),(a^2-b^2-2b+3=0):}$ U ${(b=-1),(a^2-b^2-2b+3=0):}$
Per il primo sistema $a=0$ $->$ $b^2+2b-3=0$ cioè $(b+3)(b-1)=0$ cioè $b=-3$ U $b=1$
Quindi il primo sistema è risolto dalle coppie $(0,-3)$ e $(0,1)$ cui corrispondono $z=i$ e $z=-3*i$
Per il secondo $b=-1$ comporta $a^2+4=0$ cioè nessuna soluzione visto che come abbiamo scritto il numero complesso $a in RR$.
Quindi gli unici $z$ sono $z=i$ e $z=-3*i$
In modo alternativo , semplice ed intuitivo, bastava notare che $i*z^2-2z+3*i=0$ può essere messo nella forma $(z-i)*(i*z-3)=0$ da cui $z=i$ e $z=3/i=-3*i$
Ma se non si riusciva ad intuirlo bastava risolvere l'equazione di secondo grado
$i*z^2-2z+3*i=0$ $->$ $z=(1+-2)/i$ da cui $z_1=-1/i=i$ e $z_2=3/i=-3*i$
Tre modi diversi, stesso risultato. Scegli tu. La prima strada è generale e vale sempre anche con equazioni di grado superiore al secondo. Le altre due valgono se hai una equazione di secondo grado ovviamente
spettacolo Nica!!!come mi vedi???apprendo piano piano?
"richard84":
spettacolo Nica!!!come mi vedi???apprendo piano piano?
hai appreso molte cose, in fretta e bene.
Ora prova a fare l'esercizio che ti dissi. Visto il seno ed il coseno, ti manca il logaritmo
Sia $z=a+i*b$ $a,b in RR$ chi è $ln(z)$?. Dopo calcola $ln(1-i)$ e $(1-i)^(1+i)$
Ricorda $z=|z|e^(i*(phi+2kpi))$ e $f(z)^g(z)=e^(g(z)lnf(z))$. Ti servono questi due suggerimenti per proseguire.
c e l ho sul libro il log cmq prima magari provo ad inventare....
nica guardo o non guardo'??
$e^(i(eta+2Kpi)ln(|z|e)$ sono sulla cattiva strada?
$e^(i(eta+2Kpi)ln(|z|e)$ sono sulla cattiva strada?
"richard84":
nica guardo o non guardo'??
$e^(i(eta+2Kpi)ln(|z|e)$ sono sulla cattiva strada?
ke cosa è questo? $ln(z)$?
ho guardato pero non ci sono scritti tutti passaggi che fa per arrivare al risultato....
ma scusa:$ln2*4$ e uguale a $ln2+ln4$??
ma scusa:$ln2*4$ e uguale a $ln2+ln4$??
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