Complessi
Ciao, sto cercando d imparare qualcosa su i complessi. Qualcuno puo spiegarmi come risolvere un esercizio del genere:
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!
Risposte
non saprei...
mi viene da scrivere una cosa che non mi sembra per niente giusta
$z=(e^(ipi/2)e^(-iarctg(|b|/a))(a^2+b^2))^(1/8)$
mi viene da scrivere una cosa che non mi sembra per niente giusta
$z=(e^(ipi/2)e^(-iarctg(|b|/a))(a^2+b^2))^(1/8)$
"richard84":
non saprei...
mi viene da scrivere una cosa che non mi sembra per niente giusta
$z=(e^(ipi/2)e^(-iarctg(|b|/a))(a^2+b^2))^(1/8)$
utilizzando la forma polare si ha:
$rho^8*e^(i*8*theta)=i*rho*e^(i*theta)*rho$ dal momento che $|z|=rho$. Ora $i=e^(i*pi/2)$ per cui l'equazione diventa
$rho^8*e^(i*8*theta)=rho^2*e^(i*(theta+pi/2))$ cioè
$rho^2*(rho^6*e^(i*8*theta)-e^(i*(theta+pi/2)))=0$ ed una prima soluzione è $rho=0$ cioè $z=0$ e le altre si ricavano da
$ rho^6*e^(i*8*theta)=e^(i*(theta+pi/2))$. Ti renderai conto che tale equazione è vera se e solo se i due numeri complessi, al primo e secondo membro, hanno uguale modulo e fase, cioè se e solo se
${(rho^6=1),(8*theta=pi/2+theta+2kpi):}$ $<=>$ ${(rho=1),(theta=pi/14+k*(2pi)/7):}$ con $k in ZZ$ per cui le soluzioni sono
$z=0$ e
$z=e^(i*(pi/14+k*(2pi)/7))$ $k in ZZ$
Nota che $rho^6=1$ fornisce come soluzioni reali $rho=+-1$, ma poichè $rho>=0$ per definizione di forma polare, allora va scelta solo $rho=1$.
cos e la fase?
"richard84":
cos e la fase?
è il famigerato $arg(z)$
ok ma la seconda eq del primo sistema come viene fuori?
"richard84":
ok ma la seconda eq del primo sistema come viene fuori?
devi uguagliare gli argomenti ricordando la periodicità dell'esponenziale complesso. Infatti gli argomenti degli esponenziali sono $i*8*theta$ e $i*(pi/2+theta)$, e la periodicità è data da $i*2kpi$ per cui basta imporre
$8*theta=pi/2+theta+2kpi$
si allora avevo capito...solo che a volte ho bisogno delle conferme!!cavoli nica non riesco a farne uno che sia uno di questi es!!!
ora stavo guardando:
$9iz^5=16z^*$
ah!ma nel es prima c era z coniugato!!$z^8=iz(coniug)|z|$
ora stavo guardando:
$9iz^5=16z^*$
ah!ma nel es prima c era z coniugato!!$z^8=iz(coniug)|z|$
"richard84":
si allora avevo capito...solo che a volte ho bisogno delle conferme!!cavoli nica non riesco a farne uno che sia uno di questi es!!!
ora stavo guardando:
$9iz^5=16z^*$
richard nota che quando indichi il complesso coniugato lo devi indicare con due asterischi altrimenti non si vede nulla. n'ell'esercizio di prima io non ho tenuto conto del coniugato perchè nella formula che compare non si vede.
Allora se l'esercizio era
$z^8=i*z^(**)*|z|$ le soluzioni diventano
$z=0$ e
$z=e^(i*(pi/18+k*pi/9))$ $k in ZZ$ e si risolve analogamente.
per quanto riguarda quest'altro la traccia è
$9iz^5=16z^(**)$ e si risolve allo stesso modo di quelli precedenti. come vedi ora si nota il segno di coniugato
nell es di prima quindi quindi il coniugato in forma polare era:$e^(-itheta)$??
"richard84":
nell es di prima quindi quindi il coniugato in forma polare era:$e^(-itheta)$??
si
quindi l altro diventa cosi:
$e^(ipi/2)e^(i5theta)=(16)/9e^(-itheta)$
$e^(ipi/2)eta^4e^(i5theta)e^(itheta)=(16/9)$
$e^(ipi/2)e^(i5theta)=(16)/9e^(-itheta)$
$e^(ipi/2)eta^4e^(i5theta)e^(itheta)=(16/9)$
"richard84":
quindi l altro diventa cosi:
$e^(ipi/2)e^(i5theta)=(16)/9e^(-itheta)$
calma l'equazione diventa
$9*rho^5*e^(ipi/2)e^(i5theta)=16*rho*e^(-itheta)$
per cui una soluzione è $rho=0$ cioè $z=0$ e l'altra si ricava da
$9*rho^4*e^(i*(pi/2+5*theta))=16*e^(-itheta)$ da cui....
$rho^4e^(i(pi/2+6theta))=16/9$
"richard84":
$rho^4e^(i(pi/2+6theta)=16/9$
Si, $rho^4e^(i(pi/2+6theta))=16/9$ per cui....chi sono $rho$ e $theta$?
modulo e argomento che....
"richard84":
modulo e argomento che....
allora? stesso modulo e fase, per cui...
quindi sistema con equaz. $rho^4$ uguale al modulo di 16/9 e l argomento del primo membro uguale a quello del secondo membro....
"richard84":
quindi sistema con equaz. $rho^4$ uguale al modulo di 16/9
yes, e per la fase?
quali sono i risultati?
i risultati del sistema sono (ricorda $rho>=0$)
$rho=sqrt(4/3)$ e $theta=-pi/12+k*pi/3$ con $k in ZZ$. Per cui le soluzioni dell'intera equazione sono
$z=0$ e
$z=sqrt(4/3)*e^(i*(-pi/12+k*pi/3))$ $k in ZZ$
sistema con $rho^4=16/9$ e $pi/2+6theta=0$
da cui non riesco a vedere la soluz $z=0$
cioe la soluzione z=0 la vedo da $e^(ipi/2)rho^5e^(i5theta)=16/9rhoe^(-itheta)$??
da cui non riesco a vedere la soluz $z=0$
cioe la soluzione z=0 la vedo da $e^(ipi/2)rho^5e^(i5theta)=16/9rhoe^(-itheta)$??
"richard84":
sistema con $rho^4=16/9$ e $pi/2+6theta=0$
da cui non riesco a vedere la soluz $z=0$
cioe la soluzione z=0 la vedo da $e^(ipi/2)rho^5e^(i5theta)=16/9rhoe^(-itheta)$??
l'equazione risolvente è
$9*rho^5*e^(ipi/2)e^(i5theta)=16*rho*e^(-itheta)$ cioè
$rho*(9*rho^4*e^(i*(pi/2+5*theta))-16*e^(-itheta))=0$
per cui una soluzione è $rho=0$ cioè $z=0$ e l'altra si ricava da
$9*rho^4*e^(i*(pi/2+5*theta))-16*e^(-itheta)=0$ cioè
$rho^4*e^(i*(pi/2+6*theta))=16/9$ cioè uguagliando modulo e fase e ricordando la periodicità deve aversi
${(rho^4=16/9),(pi/2+6*theta=2kpi):}$ con $k in ZZ$
Ora $rho^4=16/9$ $<=>$ $(rho^2-4/3)(rho^2+4/3)=0$ e ricordando $rho>=0$ allora la soluzione accettabile è $rho=sqrt(4/3)$ e per la fase $theta=-pi/12+k*pi/3$ per cui le soluzioni sono
$z=0$ ($rho=0$) e
$z=sqrt(4/3)*e^(i*(-pi/12+k*pi/3))$ $k in ZZ$
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