Complessi
Ciao, sto cercando d imparare qualcosa su i complessi. Qualcuno puo spiegarmi come risolvere un esercizio del genere:
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!
Risposte
"richard84":
ma il determinante dell' eq. di secondo grado non sarebbe $1^2-4*1*(1-i)$??esiste solo questo modo per risolvere questa equazione?
poichè stai in $CC$ non ti interessa vedere il determinante perchè ogni soluzione è accettabile.
Un altro modo, te l'hanno già detto è quello di scrivere $z=a+i*b$ e risolvere il sistema.
ehm... discriminante...
no scusa volevo dire il modo di calcolare il discriminante non e come ti ho detto sopra?
"Kroldar":
ehm... discriminante...
ho corretto in tempo. lapsus freudiano
"nicasamarciano":
[quote="Kroldar"]ehm... discriminante...
ho corretto in tempo. lapsus freudiano[/quote]
"richard84":cusami avevo commesso un errore prontamente corretto
no scusa volevo dire il modo di calcolare il discriminante non e come ti ho detto sopra?
ok, con il sistema mi venivano fuori questi risultati e poi volevao capire come andare avanti. Allora $b=1$$a=0$ e $b_(1,2)=-(2+_-sqrt8)/4$
"richard84":
ok, con il sistema mi venivano fuori questi risultati e poi volevao capire come andare avanti. Allora $b=1$$a=0$ e $b_(1,2)=-(2+_-sqrt8)/4$
Il sistema fornisce come soluzioni: l'impostazione è errata. nel mio post precedente ho scritto quale è il sistema
$a=0,b=1$ e $a=-1,b=-1$ per cui
$z=i$ e $z=-1-i$ sono le soluzioni identiche a quelle che si hanno se risolvi l'equazione di 2° grado in maniera canonica come fatto vedere nel post precedente
$b=-1$ $a=-1$da dove viene?
"richard84":
$b=-1$ $a=-1$da dove viene?
${(a^2-b^2+a+1=0),(2ab+b-1=0):}$
Dalla seconda $a=(1-b)/(2b)$ e se sostituisci nella prima troverai l'equazione di $4°$ grado $4b^4-3b^2-1=0$ che dà come soluzioni
$b^2=1$ e $b^2=-1/4$. Ora poichè $b in RR$ allora $b^2=-1/4$ è inaccettabile, mentre $b^2=1$ fornisce $b=+-1$
ah ok, io avevo esplicitato b da $2ab+b-1=0$
ora provo $(z-1)^3=-i$
ora provo $(z-1)^3=-i$
"richard84":
ah ok, io avevo esplicitato b da $2ab+b-1=0$
a te nel sistema la seconda condizione veniva $2a+b-1=0$ e non $2ab+b-1=0$ perciò non ti trovavi
$(z-1)^3=-i$
$z_(1,2,3)=1+root(3)(-i)$ e per de moivre
$root(3)(-i)=e^(i*1/3*(-pi/2+2kpi))$ $k=0,1,2$. Quindi
$z_(1,k=0)=1+e^(-i*pi/6)=(1+cos(pi/6))-i*sin(pi/6)=(1+sqrt(3)/2)-i*1/2$
$z_(2,k=1)=1+e^(i*pi/2)=1+i$
$z_(3,k=2)=1+e^(i*7/6*pi)=(1+cos(7/6*pi))+i*sin(7/6*pi)=(1-sqrt(3)/2)-i*1/2$
$z_(1,2,3)=1+root(3)(-i)$ e per de moivre
$root(3)(-i)=e^(i*1/3*(-pi/2+2kpi))$ $k=0,1,2$. Quindi
$z_(1,k=0)=1+e^(-i*pi/6)=(1+cos(pi/6))-i*sin(pi/6)=(1+sqrt(3)/2)-i*1/2$
$z_(2,k=1)=1+e^(i*pi/2)=1+i$
$z_(3,k=2)=1+e^(i*7/6*pi)=(1+cos(7/6*pi))+i*sin(7/6*pi)=(1-sqrt(3)/2)-i*1/2$
non mi ricordo come fare la $-i^(1/3)$....non mi ricordo come trovare l argomento.
Vedo facilmente che $b=isin(-pi/2)$ pero non posso fare $2pi-arctg(|b|/a)$giusto?e l unico modo per trovare l argomento e vedere dove il cos vale 0 e il sin -1?
Poi:
$z^5=-1-i$
$z=(-1-i)^(1/5)$
$(-1-i)^(1/5)=(sqrt2)^5e^(i1/5(5/4pi+2kpi)_(K=0,1,2,3,4)$
$z_(1,2,3,4,5)=(sqrt2)^5e^(i1/5(5/4pi+2kpi)_(K=0,1,2,3,4)$
$z_1=4+isqrt2/2$
sbaglio?
Vedo facilmente che $b=isin(-pi/2)$ pero non posso fare $2pi-arctg(|b|/a)$giusto?e l unico modo per trovare l argomento e vedere dove il cos vale 0 e il sin -1?
Poi:
$z^5=-1-i$
$z=(-1-i)^(1/5)$
$(-1-i)^(1/5)=(sqrt2)^5e^(i1/5(5/4pi+2kpi)_(K=0,1,2,3,4)$
$z_(1,2,3,4,5)=(sqrt2)^5e^(i1/5(5/4pi+2kpi)_(K=0,1,2,3,4)$
$z_1=4+isqrt2/2$
sbaglio?
di nuovo in crisi con l argomento:
$4z^4+1=0$
$z=(-1/4)^(1/4)$ $|z|=1/4$ ma l argomento?e $arcos(-1)=pi$??
quindi
$1/16e^(i1/4(pi+2Kpi))_(K=0,1,2,3)$
$z_(1,2,3,4)=1/16e^(i1/4(pi+2Kpi))_(K=0,1,2,3)$
$4z^4+1=0$
$z=(-1/4)^(1/4)$ $|z|=1/4$ ma l argomento?e $arcos(-1)=pi$??
quindi
$1/16e^(i1/4(pi+2Kpi))_(K=0,1,2,3)$
$z_(1,2,3,4)=1/16e^(i1/4(pi+2Kpi))_(K=0,1,2,3)$
1)
$z^5=-1-i$
Sia $z'=-1-i$. Ora $|z'|=sqrt(2)$ mentre $arg(z')=pi+arctg(1)=5/4*pi$.
Ora per de Moivre
$z_(1,2,3,4,5)=|z'|^(1/5)*e^(i*1/5*(arg(z')+2kpi))=sqrt(2)^(1/5)*e^(i*1/5*(5/4*pi+2kpi))$ $k=0,1,2,3,4$
2)
$4z^4+1=0$ $<=>$ $z^4=-1/4$
Sia $z'=-1/4$, $|z'|=1/4$ e $arg(z')=pi$ per cui per de moivre
$z=|z'|^(1/4)*e^(i*1/4*(arg(z')+2kpi))=(1/4)^(1/4)*e^(i*1/4*(pi+2kpi))$ $k=0,1,2,3$
Per trovare l'argomento: $z=a+i*b$
1)$a>0,b>0$ $arg(z)=arctg(b/a)$
2)$a>0,b<0$ $arg(z)=2pi-arctg(|b|/a)=-arctg(|b|/a)$
3)$a<0,b<0$ $arg(z)=pi+arctg(|b/a|)$
4)$a<0,b>0$ $arg(z)=pi-arctg(b/|a|)$
Ad esempio $z=-1-i$ rientra nel caso 3) per cui $arg(z)=pi+arctg(1)=5/4*pi$
mentre $z=-1/4$ rientra nel 4) con $b=0$ per cui $arg(z)=pi-arctg(0)=pi$
$z^5=-1-i$
Sia $z'=-1-i$. Ora $|z'|=sqrt(2)$ mentre $arg(z')=pi+arctg(1)=5/4*pi$.
Ora per de Moivre
$z_(1,2,3,4,5)=|z'|^(1/5)*e^(i*1/5*(arg(z')+2kpi))=sqrt(2)^(1/5)*e^(i*1/5*(5/4*pi+2kpi))$ $k=0,1,2,3,4$
2)
$4z^4+1=0$ $<=>$ $z^4=-1/4$
Sia $z'=-1/4$, $|z'|=1/4$ e $arg(z')=pi$ per cui per de moivre
$z=|z'|^(1/4)*e^(i*1/4*(arg(z')+2kpi))=(1/4)^(1/4)*e^(i*1/4*(pi+2kpi))$ $k=0,1,2,3$
Per trovare l'argomento: $z=a+i*b$
1)$a>0,b>0$ $arg(z)=arctg(b/a)$
2)$a>0,b<0$ $arg(z)=2pi-arctg(|b|/a)=-arctg(|b|/a)$
3)$a<0,b<0$ $arg(z)=pi+arctg(|b/a|)$
4)$a<0,b>0$ $arg(z)=pi-arctg(b/|a|)$
Ad esempio $z=-1-i$ rientra nel caso 3) per cui $arg(z)=pi+arctg(1)=5/4*pi$
mentre $z=-1/4$ rientra nel 4) con $b=0$ per cui $arg(z)=pi-arctg(0)=pi$
ok ricordavo male la formula di Moivre....
ma nel secondo caso per trovare l argomento di $-1/4$ non potevo ragionare anche sapendo che $a/(modz)=cos(arg)$??
ma nel secondo caso per trovare l argomento di $-1/4$ non potevo ragionare anche sapendo che $a/(modz)=cos(arg)$??
"richard84":
ok ricordavo male la formula di Moivre....
ma nel secondo caso per trovare l argomento di $-1/4$ non potevo ragionare anche sapendo che $a/(modz)=cos(arg)$??
si. ti ho pure esplicitato le formule da usare $AA z in CC$
si, infatti subito ho provato con il metodo che mi avevi suggerito a suo tempo pero, ho avuto un dubbio stupido: vedevo a<0 pero io avevo b=0 e non b>0 o b<0 allora mi veniva piu facile pensare nel modo che ti ho detto sopra...
Ora, $z^8=iz*|z|$
$z=(i(a-ib)sqrt(a^2+b^2))^(1/8)$
Ora, $z^8=iz*|z|$
$z=(i(a-ib)sqrt(a^2+b^2))^(1/8)$
"richard84":
si, infatti subito ho provato con il metodo che mi avevi suggerito a suo tempo pero, ho avuto un dubbio stupido: vedevo a<0 pero io avevo b=0 e non b>0 o b<0 allora mi veniva piu facile pensare nel modo che ti ho detto sopra...
Ora, $z^8=iz*|z|$
consiglio: usa la forma polare $z=rho*e^(i*theta)$ $rho>=0$, $theta in [0,2pi]$
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